2.3-最常见的随机过程或随机模型

最常见的随机过程或随机模型

主要内容Brown运动或 运动或Wiener过程 运动或 过程 二项过程 Poission过程 过程 白噪声过程 自回归过程 移动平均过程 混合自回归移动平均过程 利率期限结构或均值回复模型 ARCH类模型 类模型2

二项过程1979年Cox、Ross和Rubinstein利用二项过程 年 、 和 利用二项过程 提出了二叉树期权定价模型， 提出了二叉树期权定价模型，用以构造股票价格运 动过程，进行股票期权定价分析。 动过程，进行股票期权定价分析。 目前， 目前，二叉树模型已被广泛应用于金融资产定价 领域， 领域，并为直观理解金融资产价格的复杂随机行为 提供了最佳认识工具， 提供了最佳认识工具，为金融计算提供了可行的数 值方法。 值方法。

二项分布是指随机变量满足概率分布

P (ξ = k ) = C p (1- q )

k n

k

n- k

其中， 其中，k=1,2, …,0<p<1,q=p-1。 , 。 二项过程实质上是将二项分布作为一个过程来描 述金融资产价格变化的。

假设股票价格在t时刻为 假设股票价格在 时刻为S(t),当时间变化到 时刻为 ， t+ t时，价格要么以概率 从S上涨到 上涨到uS(u >1), 时 价格要么以概率p从 上涨到 ， 要么以概率q下降到 下降到dS(d<1);时间为 要么以概率 下降到 ；时间为t+2 t时有 时有 三种可能： 三种可能：u2S、udS、d2S,以此类推，见树型 、 、 ,以此类推， 结构

5

显然， 显然，在t + t 时刻，股票的期望价格为 时刻， E(St+ t)=puS+(1-p)dS, , 在t +2 t 时刻，股票的期望价格为： 时刻，股票的期望价格为：,

E(St+2 t ) = p u S + 2p(1 p)udS+ (1 p) d S2 2 2 2i = ∑c2 pi (1 p) 2 i u i d 2 i S i =0 2

在t + n t 时刻，股票的期望价格为： 时刻，股票的期望价格为：n

E ( S t + n t ) =

åi= 0

C p (1- p) u d S6

i n

i

n- i

i

n- i

Poission过程 过程引言： 引言： Brown运动是用以描述连续时间下金融资产价格 运动是用以描述连续时间下金融资产价格 运动的， 运动的，但金融资产价格并不都是随时间而连续变 化的，有时会出现跳跃， 化的，有时会出现跳跃，Poission过程就是经常 过程就是经常 用以模拟跳跃的一类随机过程。 用以模拟跳跃的一类随机过程。

计数过程： 计数过程： 如果用ξ 表示[0,t]内随机事件发生的总数，则随机 内随机事件发生的总数， 如果用ξt表示 内随机事件发生的总数 过程{ξ 称为计数过程，且满足： 过程 ξt }t≥0称为计数过程，且满足： (a) ξt ≥ 0; ; 是整数值； (b) ξt是整数值； (c) 对于任意两个时刻 ≤ s<t,有ξs<ξt; 对于任意两个时刻0≤ 有 ξ (d) 对于任意两个时刻 ≤ s<t, ξt -ξs等于

在区间 ( s, t ] 对于任意两个时刻0≤ ξ 中发生的事件的个数。 中发生的事件的个数。

若在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立 的，则称计数过程有独立增量。 则称计数过程有独立增量。 若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依 赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。 赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。 显然， 为一个正整数， 显然，ξt为一个正整数，ξ0=0;对于任意的时刻 ； 0≤ s<t, 有ξs ≤ ξt, ξt =ξt ξs表示s到t时间段内 ≤ ξ 表示 到 时间段内 出现的事件数目。 出现的事件数目。

定义9 定义 泊松过程 设随机过程{ξt }t≥0是独立增量过程，如果满足 设随机过程 ξ 是独立增量过程， (a) ξ0=0; (b) {ξt }t≥0是独立增量过程( ξt=ξt ξs); 是独立增量过程( ξ ξ (c) 对任一长度为 的区间中事件的个数服从均值 对任一长度为t的区间中事件的个数服从均值 分布， 为λ(t s)的Poission分布，即对一切 ≥ t0 ,有 的 分布 即对一切s

k! 则称{ξ 为参数为λ 的 过程。 则称 ξt }t≥0为参数为λ(t s)的Poission过程。 过程直接计算可知， ξ 所以λ 直接计算可知，Eξt =Vξt =λt,即，所以λ表示单 ξ λ , 位时间内事件出现的平均次数，因而λ 位时间内事件出现的平均次数，因而λ也常被称为 发生率或强度。 发生率或强度。10

P(ξt ξs = k) =

λk (t s)k e λ(t s)

, k = 0,1,2L, λ > 0

白噪声过程 随机过程{ξt}t≥0称为白噪声过程，若Eξt=0,且 随机过程 ξ 称为白噪声过程， ξ ,

σ 2, j = 0 E(εt εt j ) = 0, j ≠ 0显然，白噪声过程一个平稳的纯粹随机过程， 显然，白噪声过程一个平稳的纯粹随机过程，在金 融研究中主要用于模型无法解释的波动。 融研究中主要用于模型无法解释的波动。

自回归过程按时间次序排列的随机过程{ξt}( t=1,2,…)称为时间序 按时间次序排列的随机过程 ξ , , 称为时间序 列。 若时间序列是相互独立的， 若时间序列是相互独立的，则说明事件后一刻的行为与前一 刻毫无关系，即系统无记忆性。 刻毫无关系，即系统无记忆性。 若情况相反，则前后时刻事件之间就有一定的依存性。其中 若情况相反，则前后时刻事件之间就有一定的依存性。 最简单的关系就是事件后一刻的行为只与前一刻的行为有关， 最简单的关系就是事件后一刻的行为只与前一刻的行为有关， 而与其前一刻以前的行为无直接联系， 主要与ξ 相关。 而与其前一刻以前的行为无直接联系，即ξt主要与ξt -1相关。 从记忆的角度理解，是最短的记忆，即一期记忆， 从记忆的角度理解，是最短的

记忆，即一期记忆，描述这种 关系的模型称为一阶自回归过程，记为AR( ), ),即 关系的模型称为一阶自回归过程，记为 (1),即

ξt=aξt-1+ εt,t=1,2, …, ξ ,

其中，a为常数，εt为白噪声过程，称为扰动项。当|a|<1 其中， 为常数， 为白噪声过程，称为扰动项。 为常数 时为平稳过程； 时称为随机游走过程； 时为平稳过程；a=1时称为随机游走过程；|a|>1为非平 时称为随机游走过程 为非平 稳过程。 稳过程。12

更一般地， 阶自回归过程 阶自回归过程{ξ 更一般地，m阶自回归过程 ξt }( t=1,2,…), , , 记为AR(m), 满足： 记为 ( ) 满足： ξt =a1ξt -1+ a2ξt -2+…+amξt -m+εt ε t=1,2,… , , m阶自回归过程具有 期记忆或者说 阶动态性。 阶自回归过程具有m期记忆或者说 阶动态性。 阶自回归过程具有 期记忆或者说m阶动态性 若滞后算子多项式1 若滞后算子多项式 a1z …-amzm=0的根在单位 的根在单位 圆之外时，为平稳过程。否则，就是非平稳的。 圆之外时，为平稳过程。否则，就是非平稳的。

移动平均过程 自回归过程表示在t时刻的事件ξt 只与其以前的响 自回归过程表示在 时刻的事件ξ 时刻的事件 有关， 应ξt -1,ξt -2,…,ξt -m 有关，而与以前时刻的扰 ， 动无关。若时间序列{ξ 与其以前的冲击或扰动 动无关。若时间序列 ξt }与其以前的冲击或扰动 有关， εt -1,εt -2,…,εt -n有关，而与以前时刻的响应 ， 无关，那就是n阶移动平均过程 记为MA(n),即 阶移动平均过程， 无关，那就是 阶移动平均过程，记为 即 ξt = b0+εt +b1εt -1+ b2εt -2+…+ bnεt –n ε t=1,2,… , , 当|bj|<1时，表示冲击在一段时间内会消失； 时 表示冲击在一段时间内会消失； 表示冲击永远保持下去； |bj|=1表示冲击永远保持下去；|bj|>1表示冲 表示冲击永远保持下去 表示冲 击将放大，其中i=1,2,…,n。 击将放大，其中 ， , 。14

混合自回归—移动平均过程 混合自回归 移动平均过程 若时间序列{ξt }在t时刻，不仅与其以前的自身值 若时间序列 ξ 在 时刻， 时刻 有关， 有关，而且与以前时刻的冲击或扰动存在着一定的 依存关系，则称为混合自回归—移动平均过程 移动平均过程， 依存关系，则称为混合自回归 移动平均过程，其 一般形式(记作ARMA(m,n))为 一般形式(记作 ， ) ξt =a1ξt -1+ a2ξt -2+…+ amξt -m+εt +b1εt -1+ ε b2εt -2+…+ bn εt –n

利率期限结构或均值回复模型在金融市场中，许多情况下的金融资产价格的变化， 在金融市场中，许多情况下的金融资产价格的变化，随着时 间的推移常常趋于某个长期平均水平，称为均值回复现象

, 间的推移常常趋于某个长期平均水平，称为均值回复现象， 例如利率的变化就常常如此。 例如利率的变化就常常如此。具体的利率期限结构或均值回 复模型定义为

dS = λ (u S ) dt + σSε dt其中λ>0,ε服从标准正态分布。当股票价格 低于均值 时， , 服从标准正态分布 当股票价格S低于均值 服从标准正态分布。 低于均值µ时 其中 µ-S取正值，即S具有正的漂移率，dS将会变为正值。反之， 取正值， 具有正的漂移率， 将会变为正值 反之， 将会变为正值。 取正值 具有正的漂移率 当股票价格S高于均值 高于均值µ时 取负值， 当股票价格 高于均值 时，µ-S取负值，即S具有负的漂移 取负值 具有负的漂移 率，dS将会变为负值。尽管变化过程中价格可能会偏离均 将会变为负值。 将会变为负值 但长期来看S都会向均值 靠近。 都会向均值µ靠近 值µ ,但长期来看 都会向均值 靠近。过程中偏离的程度 由参数λ>0决定的。注意：资产价格表现出来的某种长期可 决定的。 由参数 决定的 注意： 预测性，与市场有效性的假定是不符合的。 预测性，与市场有效性的假定是不符合的。16

ARCH类模型 类模型事实上， 事实上，现实中的金融资产的收益变化和分布主要呈现出 以下基本特征： 以下基本特征： 金融资产的收益变化和分布表现出明显的非线性特点； 金融资产的收益变化和分布表现出明显的非线性特点； 与正态分布相比，金融资产的收益分布的尾部通常较厚， 与正态分布相比，金融资产的收益分布的尾部通常较厚， 方差小的变量绝大多数集中在均值附近， 方差小的变量绝大多数集中在均值附近，而方差大的变量 则多集中于分布的尾部； 则多集中于分布的尾部； 收益的波动性有时很大，有时却很小， 收益的波动性有时很大，有时却很小，而且有关波动性 的冲击常常要持续一段时间才会消失， 的冲击常常要持续一段时间才会消失，即同时呈现出集聚 性和持久性，这表明资产收益序列具有条件异方差的特性； 性和持久性，这表明资产收益序列具有条件异方差的特性； 金融资产收益呈现出明显的自相关性； 金融资产收益呈现出明显的自相关性； 金融市场尤其是股票市场， 金融市场尤其是股票市场，价格运动与波动性是常为负 相关的，也就是负的回报要比正的回报导致更大的条件方 相关的， 即具有非对称的杠杆效应。 差，即具有非对称的杠杆效应。17

传统的随机过程和模型对金融资产收益的模拟和描述主要 是线性的，不能很好处理上述特征，因而也常常无法准确 是线性的，不能很好处理上述特征， 估计和预测金融资产的收益及其

波动性。 估计和预测金融资产的收益及其波动性。 ARCH类模型一般由条件均值方程和条件方差方程两个方 类模型一般由条件均值方程和条件方差方程两个方 程组成。但由于此类方程主要用于估计波动性和相关性， 程组成。但由于此类方程主要用于估计波动性和相关性， 所以重点在条件方差方程，而条件均值方程常常比较简单. 所以重点在条件方差方程，而条件均值方程常常比较简单

rt=µ+εt ε其中µ为由样本均值估计的无条件均值，扰动项ε 其中µ为由样本均值估计的无条件均值，扰动项εt表示非预 为由样本均值估计的无条件均值 期收益的平均偏差。扰动项ε 常被假设为正态分布、 分布 分布、 期收益的平均偏差。扰动项εt常被假设为正态分布、t分布、 混合正态分布和广义误差分布等， 混合正态分布和广义误差分布等，对应的模型就称为正态 GARCH模型、t分布 模型、 分布GARCH模型、混合正态分布 模型、 模型 分布 模型 混合正态分布GARCH 模型和广义误差分布GARCH模型。 模型和广义误差分布 模型。 模型18

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