2019高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数的周期性学案 苏教版

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三角函数的周期性

一、考点突破 知识点 课标要求 1. 理解周期函数的定义； 2. 知道正弦函数、余弦函三角函数数的最小正周期； ＋φ）和y＝cos（ωx＋φ）的周期。

二、重难点提示

重点：求函数的周期、利用周期求函数值。 难点：对定义的理解及定义的简单应用。

一、周期函数的定义

一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x＋T）＝

填空 解答 的周期性 3. 会求函数y＝sin（ωx题型 说明 高考必考 周期性是三角型函数的重要性质，也是我们在所学的基本初等函数中唯一具备这一特性的函数。在解答题中往往出现在第1步，较为简单。客观题往往与图象等结合考查。 f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

【要点诠释】函数周期性的理解：

①定义应对定义域中的每一个x值来说，只有个别的x值满足f（x＋T）＝f（x）或不满足，都不能说T是f（x）的周期。

②从f（x＋T）＝f（x）来看，应强调是自变量x本身加的常数才是周期，如f（2x＋T）＝f（2x）中，T不是周期，而应写成f(2x?T)?f?2(x?)??f(2x)，则是f（x）的周期。

2?2?③对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做

?T?Tf(x)的最小正周期。今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是它的最小正周期。

④并不是所有的周期函数都存在最小正周期。例如常数函数f(x)?C(C为常数），其周期T是任意实数，

没有最小正数。

⑤周期函数的周期不是唯一的，如果T是函数f（x）的周期，那么kT（k∈Z，k≠0）也一定是函数的周期。

【核心归纳】如何利用定义判断函数是不是周期函数？

（1）首先看定义域

若x是定义域D内的一个值，则x?kT(k?Z,且k?0)也一定属于定义域D，因此周期函数的定义域D一定是无限集，而且定义域D一定无上界且无下界。

（2）其次看恒等式是否成立

对于定义域D内任意一个x，是否有f(x)?f(x?T)恒成立。如果成立，则是周期函数。否则，不是周期函数。

二、y?Asin(?x??)(A?0,??0)的周期

一般地，函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的

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周期T＝

2??。

【规律总结】

求三角函数的周期，通常有三种方法。 （1）定义法；

（2）公式法，对y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0），T＝

2?； |?|（3）图象法。

三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1。

示例：已知函数f(x)?sin(?x??7)的周期为3，则?? 。

2?思路分析：利用y＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0）的最小正周期为T＝这一

|?|结论解决。

答案：由题得

2??3，则???2? ?3技巧点拨：在运用公式法求周期时不要忽略绝对值。

例题1 （求三角函数的周期）求下列函数的周期：

??x＋）； 26x?（2）y＝2cos（－＋）；

24（1）y＝3sin（（3）y＝|sin x|。

思路分析：利用公式法或定义法求解即可。若ω＜0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式求周期。 答案：（1）T＝

2?（2）y＝2cos（－∴T＝

??2x?2＋

＝

2?＝4。

4）＝2cos（

x?－）， 242?＝4π。 12（3）由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π。验证：∵|sin（x＋π）|＝|－sin x|＝|sin x|，

∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的周期是π。

例题2 （函数周期性的判断）

设函数y＝f（x），x∈R，若函数y＝f（x）为偶函数并且图象关于直线x＝a（a≠0）对称，求证：函数

y＝f（x）为周期函数。

思路分析：要证函数y＝f（x）是周期函数，就是要找到一个常数T（T≠0），使得对于任意实数x，都有

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f（x＋T）＝f（x），可根据y＝f（x）的奇偶性与对称性推导证明。

答案：由y＝f（x）的图象关于x＝a对称得f（2a－x）＝f（x），∴f（2a＋x）＝f（－x）， ∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x）， ∴f（2a＋x）＝f（x），

∴f（x）是以2a为周期的函数。

【重要提示】

1. 判定或证明一个函数是周期函数，就是找出一个具体的非零常数T满足f（x＋T）＝f（x）对定义域中一切x都成立。

2. 若函数f（x）对定义域内的一切实数x满足f（x＋a）＝－f（x）或f（x＋a）＝－

函数周期性概念理解不透彻致误

【满分训练】

判断函数y＝cos 4x，x∈[－π，π]是否为最小正周期为

1或f（x＋a）＝f(x)1，则f（x）都是周期函数，且2a为它的一个周期，这里a为非零常数。 f(x)?的周期函数，若不是，请说明理由。 2【错解】记f（x）＝cos 4x，设T为f（x）的周期，则f（x＋T）＝f（x），即cos 4x＝cos 4（x＋T）对任意实数x都成立，也就是cos（μ＋4T）＝cos μ对任意实数μ都成立，其中μ＝4x，由于y＝cos μ的最小正周期为2π，

令4T＝2π，得T＝

??，故函数y＝cos 4x，x∈[－π，π]是最小正周期为的周期函数。 22【错因分析】导致错误的原因在于没有注意条件x∈[－π，π]的限制，∵x＝π时，x＋T?[－π，π]，不符合周期函数的定义，即忽略了f（x）＝f（x＋T）对任意x都成立。

【防范措施】要判断一个函数是否为周期函数，①要看定义域I，对任意x∈I，有x＋T∈I；②对任意x∈I，有f（x）＝f（x＋T）。要说明一个函数不是周期函数或者不是以T为周期的周期函数，只需要举一反例即可。 【正解】由周期函数的定义可知，对定义域内的每一个x值，有f（x＋T）＝f（x），故x＋T也应在定义域内，但是当x＝π时，x＋

利用周期解决多个值的和

若函数f（n）＝sin

?3?＝?[－π，π]，故函数y＝cos 4x，x∈[－π，π]不是周期函数。

22n?（n∈Z），求f（97）＋f（98）＋f（99）＋…＋f（102）的值。 6n?n?＝sin（＋2π） 66思路分析：直接求和较难，可以判断f（n）的周期性，利用周期函数在一个周期内函数值的变化情况求解。 答案：由题意得sin＝sin[

(n?12)?]（n∈Z）， 6∴f（n）＝f（n＋12），

∵97＝12×8＋1，98＝12×8＋2，…，102＝12×8＋6，

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∴f（97）＋f（98）＋f（99）＋…＋f（102） ＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）

2?3?4?5?6??＋sin＋sin＋sin＋sin＋sin

6666663311＝＋＋1＋＋＋0＝2＋3。

2222＝sin

技巧点拨：当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究函数在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jrra.html