（答案）07级《线性代数与概率论》期末考试试题(A)

07级《线性代数与概率统计》期末考试试题（A卷）

2008学年（1）学期

《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位。”

姓名：___________________学号：____________________分数：____________________

（答案一律写在答题纸上）

一、是非题（下列叙述正确的打“√”，错误的打“×”）（共10分）

1、若A、B均是n阶方阵（n≥2），则（AB）2=A2B2的充分必要条件是AB=BA。

（ √ ）

2、从10双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率为P(A)?C10C18C42012. （ × ）

3、等价的线性相关向量组必定包含有相同个数的向量。 （ × ） 4、对于事件A和B，则有P(A)?0?A??(空集),??P(B)?1?B?S(样本空间)同时成立。 （ × ）

5、对于任意一个初等矩阵P，均存在初等矩阵Q，使得PQ=QP=I。 （ √ ） 6、若随机变量X服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，则其概率函数为： P(X?k)?e-??kk!, k? 1,2, 3 , . . . （ × ）

7、一个向量?线性相关????。 （ √ ）

8、对于事件A、B、C，必定有A+（B-C）=A+B-C成立。 （ × ） 9、设A、B是n阶方阵，则AB?AB，反之亦然。 （ × ） 10、“天有不测风云”与“天气可以预报”两者之间并没有矛盾，他们都是《概率论与数理统计》这门课程的研究内容。 （ √ ）

二、选择题（20分）

1、设AX=b有无穷多组解，则AX=0（ C ）。

（A）必有唯一解； （B）必定没有解；

（C）必有无穷多组解； （D）A、B、C均不正确 2、设???(x), 如果（ A ），则恒有0??(x)?1.

22??N(2,????N(?,???); ??N(0,???); （A）（B）（C）（D）??N(?,??1);

181)

3、设K为已知正整数，则下列矩阵A中满足AK=A的是（ C ）。 （A）??1?0?1??; 1?（B）??0?11??; 0?（C）??1?01??;0? （D）??1?10??; 1?4、设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为

f1（x）和f2（x），分布函数分别为F1（x）和F2（x），则（ D ） （A）f1（x）+ f2（x）必定为某一随机变量的概率密度； （B）f1（x）f2（x）必定为某一随机变量的概率密度； （C）F1（x）+ F2（x）必定为某一随机变量的分布函数； （D）F1（x）F2（x）必定为某一随机变量的分布函数。 5、设?1,?2,?3线性无关，?2,?3,?4线性相关，则（ D ）。

（A）?1可由?2,?3,?4线性表出； （B）?4不可由?1,?2,?3线性表出； （C）?1可由?2,?3线性表出； （D）?4可由?2,?3线性表出；

?122?,???????x?y?1f(x,y)???,

?0,????????其它?6、设(?,???)的联合密度为则?和?为（ B ）

的随机变量。

（A）独立同分布； （B）不独立同分布； （C）独立不同分布； （D）不独立不同分布 7、设A、B均为可逆矩阵，且AB=BA，则（ D ）。 （A）A?1B?B?1A; （B）AB?B?1A?1; （C）(A?1?B?1)(A?B)?0; （D）AB?1?B?1A 8、设随机变量?的数学期望E?为一非负值，且E(E?=（ A ）。

?22?1)?2,???D(?2?1)?12, 则

（A）2； （B）1； （C）0； （D）22

a10a2b300b2a30b100a4?9、行列式

00b4（ B ）。

（A）a1a2a3a4?b1b2b3b4; （B）(a1a4?b1b4)(a2a3?b2b3); （C）a1a2a3a4?b1b2b3b4; （D）(a1a2?b1b2)(a3a4?b3b4)

10、已知P(B)?0,???A1A2??, 则下列各式中不正确的是（ C ） （A）P(A1A2B)?0; （B）P(A1?A2B)?P(A1B)?P(A2B); （C）P(A1A2B)?1; （D）P(A1?A2B)?1

三、填空题（30分）

1、设随机变量X服从正态分布N(?,??2)(??0), 且关于y的一元二次方程

y?4y?X?0无实根的概率为0.5，则μ

2= 4 。

12A*2、设A为5阶方阵，且A?4, 则(A)?1?41? 8 。

3、设(X,??Y)的联合分布律如下表所示，则p=

Y X 110和q=

215时，X与Y相互独立。

1 -1 1150 p 151 q 15 2 310 ?1??3??1?17?????4、设向量组?1??。 3,????2?2,????3?1线性相关，则K=??????7????5???6???K??5、掷n枚骰子，则出现的点数之和的数学期望为n。

2?16、已知A??0???01?10?1??0??21, 且A?AB?I3, 则矩阵B=0???1???0000?1??0 ?0??77、若随机变量X服从[-1，b]上的均匀分布，若由切比雪夫不等式有

P{X?1??}?23,则??2;b?3?

?128、已知方程组????123a??a?2??2??1?x1??1?????x?3无解，则a? -1 。 ?2?????0???x3???9、设A、B、C构成一个完备事件组，且P(A)?0.5,???P(B)?0.7, 则P（C）= 0.2 ；P（AB）= 0 。

10、若排列x1x2...xn?1xn的逆序数为K，则排列xnxn?1...x2x1的逆序数是

n(n?1)2?K。

三、计算题与证明题（40分）

1、已知下列非齐次线性方程（I）、（II）

?x1?mx2?x3?x4??5?2??x?4??6????x?1?x2???? (I)?4x1?x2?x3?x4?1； (II)?????????nx2?x3?2x4??11

??3x?x?x?????????3123????????????????????x3?2x4??t?1 （1）求解方程组（I），并用其导出方程组的基础解系表示通解；

（2）当方程组（II）中的参数m、n、t为何值时，方程组（I）与方程组（II）同解。（12分）

?kx?y2、设随机变量（ξ，η）的分布密度为?(x,y)???00?x?2,0?y?2x其它

试分别求：Z1=ξ+2η及Z2=max（ξ，η）的分布密度。（12分）

3、证明：若A2?I, 且A?I, 则A?I为非可逆矩阵。（8分）

4、设X服从[a,??b]上的均匀分布，令Y?cX?d(c?0), 求随机变量Y的概率密度。（8分）

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