马铖毕业论文

陕西理工学院毕业论文

线性方程组的几种新解法及应用

马铖

（陕理工数学系数学与应用数学专业071班级，陕西 汉中 723001）

指导教师：周亚兰

[摘要] 本文主要是在线性方程组的两种解法的基础上来探讨线性方程组的另三种解法----求逆矩

阵法、行列初等变换法、矩阵的三角分解法.先给出这几种方法的理论基础，再分别给出通过例题之处它们相互之间的适用性.这些方法中有的计算量不是很大，颇为实用.

1. [关键词] 线性方程组;解法;基础解系;矩阵的秩;逆矩阵.

1 引言

我们在生活中常遇到许多与线性方程组有关的数学问题，如古代著名的“鸡兔同笼”问题就是

一个含有两个方程两个未知量的线性方程组.同时，线性方程组也是高等代数的重要研究对象.从高等教材中我们已经知道了解线性方程组的三种方法:①克莱姆法则②消元法③初等变换法.现在我们在原有理论的基础上再来研究线性方程组的另两种方法，称为求逆矩阵法、行列初等变换法、矩阵的三角分解法.

2 预备知识

2.1 线性方程组的定义 一般线性方程组是指形式为

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ? (2.1)

???????as1x1?as2x2???asnxn?bs的方程组，其中x1,x2,?xn代表n个未知量，方程的个数为s个，aij(i?1,2,?s,j?1,2,?,n) 称

为方程组的系数，bj(j?1,2,?,s)称为常数项.方程组中未知量的个数n与方程的个数s不一定相等.aij的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标j表示它是xj的系数.

3 线性方程组的求解方法

3.1 克拉默法则

设有线性方程组（n个未知数n个方程）

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ????????an1x1?an2x2???annxn?bn其矩阵形式为 Ax?b

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?x1??b1??a11?a1n???????其中 A??????,x????,b????

?a?a??x??b?nn??n1?n??n?如果线性方程组的系数行列式不为零，即det(A)?0，则该方程组有唯一解.有克拉默法则知，

其解为

xi?det(Ai)(i?1,2,?,n)

det(A)其中Ai为用上述方程组的右端向量b代替A中第i列向量所得的矩阵.?r?A??n,n为未知数的个数

3.2 高斯消元法 定理3.2

[1]1）线性方程组Am?nXn?1?Bm?1有解?r?A??r?A,B??2）线性方程组Am?nXn?1定理3.2[2]?r?A??n有唯一解?r?A??n有无穷解?Bm?1无解?r?A??r?A,B?.?r?A??n,n为未知数的个数.

齐次线性方程组Am?nX?0有非零解?r?A??n

齐次线性方程组Am?nX?0有唯一解?r?A??n.

推论3.1 在Am?nX?0中，当m?n时，有非零解. 3.3 矩阵的三角分解法

把一个n阶方阵A分解成结构简单的三角形矩阵称为矩阵的三角分解.事实上，只要A非奇异，经过一定的行交换后，它一定可以分解成两个三角形矩阵的乘积.设,其中A?LU为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵.

?1??l21?lL??31?????l?n1?11?ln2?ln3????1lnn?10??u11?0???0??,U?????0??0???1?u12u22u13u23u33????u1nu2nu3n?unn[3]??? ?????对矩阵A进行LU分解是有条件的，它要求在对A进行高斯消元的时候，所有的主元素均不为零.那么，A满足什么条件才能保证这一要求呢？见下面的定理.

定理3.3[3] 若A为n阶矩阵，且所有顺序主子式都不等于零，则存在唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A?LU.

如果线性方程组Ax?b的系数矩阵已经进行三角分解，A?LU，则解方程组Ax?b等价于求解两个三角形方程组Ly?b,Ux?y，即由

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?1?l21?Ly?????ln1可求出

01ln200ln3???0??y1??b1??????0??y2??b2??

?????????????1??yn??bn??b1(k?1)?k?1yk??

b?ly(k?2,?,n)?k?kjjj?1??u11?0再由 Ux??????0u12u220u13u230???u1n??x1??y1??????u2n??x2??y2??

?????????????unn??xn??yn??yn/unn(k?n)?n. 解得 xk??(y?ux)/u(k?n?1,?,1)kk?k?kjjj?k?1?n3用三角分解法求解线性方程组的乘法运算量是数量级.由于在求出uij，lij和yi后，aij和bi就

3无须保留了，故上机计算时，可把L,U和y存在A,b所占的单元，回代时x取代y，整个计算过

程中不需要增加新的存储单元.而且系数矩阵的三角分解与右端常数项无关，故在计算系数矩阵相同

而右端项不同的一系列方程组时,用三角分解法更为简便.

3.4 求逆矩阵法

定理3.4 设矩阵A可逆，则矩阵方程AX?B有解，并且把矩阵合成分块矩阵?A,B?.对这个矩阵施行初等行变换，当A化为单位矩阵?时，B就化成了X.

[4]证明 设有矩阵方程AX?B，其中矩阵A可逆. 那么应有X?AB 又显然有I?AA

于是对分块矩阵?A,B?，我们有A?1?1?1?A,B???I,X?

-1-1而A可逆，故?也可逆，因此?也可以表示为一系列初等矩阵P1,P2,?Pn的积：A?1?P1,P2,?Pn?A,B???I,X? 1,P2,?Pn.因此，我们得出P以上等式说明：若对分块矩阵?A,B?施行初等行变换，当左边的一块A化为单位矩阵?时，右边的

?1?1一块?就化为了X?AB，即?A,B??I,AB（证毕）

??3.4.1 现在我们来研究齐次线性方程组

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?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn ? （3.1）

???????????am1x1?am2x2???amnxn?0其中A?aij??mn是（3.1）的系数矩阵.

由于齐次线性方程组存在零解，因此总是有解的.下面我们来讨论齐次线性方程组的解法. 假设秩A?r(?0)，不失一般性，为了讨论的方便假定A的左上角的r阶子式

?a11?a1r???D???????0

?a?a?rr??r1这时A的前r个行向量是行向量组的极大无关组，于是方程组（3.1）的后m?r个方程是多余的，

即方程组（3.1）与方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?0? ????????? （3.2）

?ax?ax???ax?0rnn?r11r22同解.

当r?n时，根据克莱姆法则，方程组（3.2）或（3.1）只有零解. 当r?n时，将xr?1,?,xn看作参数移到等式的右边，把（3.2）改写成

?a11x1???a1rxr??a1,r?1xr?1???a1nxn? ????????? （3.3）

?ax???ax??ax???axrrrr,r?1r?1rnn?r11而（3.3）就相当于矩阵方程A1X1?B1 其中

?a?1??11?ar1?x1???a1,r?1xr?1???a1nxn????a1r??x2?,????????????? ,??11?????arr?????ar,r?1xr?1???arnxn??????xr?且A1可逆

于是，由定理3.4?A1,B1???I,X1?就得到线性方程组⑴的一般解.

从以上的讨论得到了求解齐次线性方程组的方法.就是：先求出⑴的系数矩阵的A的秩r，再取A中某个不为零的r阶子式D所在的r个方程组成的方程组，把与D的元素相应的未知量当作未知量，而将其余的n?r个未知量当作参数移到方程的右边，就得到了形如

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AX?B

的矩阵方程，再用定理3.4的方法求解即可.

3.5 行列初等变换法 3.5.1定义

设一般的齐次线性方程组如下：

AX?0 （3.4） 其中A是m?n阶矩阵，

??x1?X??x??2????

??x?n??由行列初等变换， A????Er0??00?? 秩A?r? 则

??Er00????00????PAQ?A?P?1??E?r?00??Q?1， ?其中P,Q分别为m阶和n阶非奇异矩阵.

由 AX?0?P?1??Er00????1?00???Q?1X?0?AX?0???E?r?00???QX?0??y1???yr?1??其中 Yy?2yr?21????,Y2?????????

?y???r??yn?则 ???Er0??Q?10?0?X?0???E?r?0??00???Y?0 由以上可知，由方程组（3.5）的解可得方程组（3.4）的解 而 ?E00??r???00??Y???E?r00?????Y?1???Y?0???Y1?????0?Y1?2????0?0? 第 5 页 共 11 页

3.5） （

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?0???0???????由此可知方程组（3.5）的解 Y??0?

?yr?1???????y??r??0??第1行??0??第1行??0??第1行????????????????????????????????0??第r行??0??第r行??0??第r行??????????????1??第r?1行??0??第r?1行??0??第r?1行???令?1????，，，???? ????? 2n?r?????0??第r?2行??1??第r?2行??0??第r?2行???0??第r?3行??0??第r?3行??0??????????????????第n?1行?????????????0??第n行??0??第n行??1??第n行?????????????则?1，?2，?，?n?r是方程组（3.5）的解，且?1，?2，?，?n?r线性无关

设?是方程组（3.5）的任一解，则

?0???0??????????0??yr?1?1?yr?2?2???yn?n?r

?y??r?1??????y?n?由此可知，?1，?2，?，?n?r是方程组（3.5）的解空间的一个基础解系. 由Y?QX?X?QY

令?1?Q?1,?2?Q?2,?,?n-r?Q?n-r, 则?1,，?2，?，?n-r是方程组（3.4）的解

?1??，?，?，???Q??，?，?，??，且Q可逆知：

秩??，??=n-r ?，?，?，??=秩??，?，由

1,1,2n-r12n?r2n-r12n?r即?1,，?2，?，?n-r线性无关.

设?是方程组（3.4）的任一解，则??Q?1，其中?1是方程组（3.5）的解. 即

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?0????0???????1??0??yr?1?1?yr?2?2???yn?n-r

?y??r?1??????y???你?则

??Q?1?Q?yr?1?1?yr?2?2???yn?n?r??yr?1Q?1?yr?2Q?2???ynQ?n?r

?yr?1?1?yr?2?2???yn?n?r

?，?n-r是方程组（3.4）的解空间的一个基础解系，则方程组AX?0的通解为 ??1,，?2， X?k1?1?k2?2???kn-r?n-r，?，n-r 其中ki是所给数域中任意数，i?1,2，由以上推断可知，当A经过有限次的行、列变换化为???Er?00??时，Q是其中的列变换所对应的?0?一系列初等矩阵的乘积，即Q?Q1Q2?Qt?EQ1Q2?Qt，其中E是n阶单位矩阵，Qi是n阶初

?，t也就是Q是对E只施行的列初等变换儿得到的，由此可得下面的计算式子等矩阵，i?1,2，?Er0????A??00? ?????EQ????????总结 本文首先介绍了两种课本上介绍的两种最基本的线性方程组的两种基本解法—克莱默法

则和高斯消元法，然后在原有的基础上再介绍了另外三种解法，矩阵的三角分解法在系数矩阵可分解且容易分解的情况下比较实用,但是总的来说这种方法只是提供了一种理论基础，在实际中不具有太大的可操作性;求逆矩阵法是在系数矩阵非满秩的情况下比较实用，且对于那些二三阶系数矩阵很实用；行列初等变换法在系数矩阵向量比较大的情况下比较实用.

4. 例题

例1 解齐次线性方程组

?2x1?x2?5x4?0???4x1?2x2?2x3?5x4?0 ??2x?x?4x?5x?01234?第 7 页 共 11 页

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解 系数矩阵

5??2?105??2?10????A???42?2?5???00?25?

??21?45??0000???????10??秩A=2<4，且D????2?0,

?2?2?于是原方程与方程组

???x2??2x1?5x42xx ?2x2?3?4x1?54同解

由定理6

?A,B?????10?2x1?5x10?4????2?24x1?5x?4?????01?x2???2x1?5x4???x5 3?2x4因此方程组的一般解是

??x2?2x1?5x4? ??x53?2x4其中x1,x4为自由未知量.

例2：解线性方程组

??x1?x2?3x3?x4?5x5?1?3x1?x2?3x3?4x4?x5?0 ??x1?7x2?9x3?13x4?27x5??5解

?11?3?11??11?3A??5?3?1?34?10??????0?46?1?7913?27?5????000?秩A=秩A=2<5，?线性方程组有无穷多解

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2x5?5x?2x?? 4??157?16001??3??

0?? 陕西理工学院毕业论文

且

11D??0

3?1因此原方程组与方程组

?x1?x2?1?3x3?x4?5x5 ?3x?x?3x?4x?x345?12同解

由定理1

?A,B????11??3?1因此线性方程组的一般解为

其中x3,x4,x5为自由变量.

例3 解下面线性方程组

解 由AX?0，其中

?3x5x?3?x4?5??1014?32x3?34x4?x?5?3x3?4x?? 4?x?5?????337?014?2x3?4x4?4x5??????x1?1334?2x3?4x4?x5????x32?4?32x7 3?4x4?4x4??2x1?4x2?5x3?3x4?0?3x1?6x2?4x3?2x4?0 ??4x1?8x2?17x3?11x4?0?2?453?A???3?642??

??4?81711??第 9 页 共 11 页

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1000??2?453???????3?642??0100?E20??4?81711??0000????????2?A????00? 00???112????107??Q???E????00??0010?????01??5?0010??010??7??????01??00?0001?其中对A施行行列初等变换，对E只施行其中的列初等变换.

由此得方程组

?E2??0?而方程组

0??Y?0, 0???E2??0?的一个基础解系为

0??Y?0 0???0??0?????0???0??1???,?2???

10?????0??1?????由此得方程组的一个基础解系为

??0??1????0??1?Q????01????0?0????0?2???0??2?7?????010??0???1?，5??1??0?

10-????7??0??0?????001??122??2???0???7????7?010??0???0?，5??0??5?

10-??-??7?1?7???001????1??12??0??1????0?0 ?2?Q????0????0?1????0?所以方程组⑶的的通解为X?k1?1?k2?2，其中ki是所给的数域中任意数，i?1,2

由齐次线性方程组的解法可探索一般线性方程组解的求法.

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总结 本文主要在课本介绍的线性方程组的两种解法的基础上来探讨线性方程组的另两种解法----求逆矩阵法与行列初等变换法.先给出这种方法的理论基础，再从特殊到一般，即先讨论齐次线性方程组的解法，在讨论一般的线性方程组的解法.此方法计算量不是很大，颇为实用.

参考文献

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社.1988.176-209. [2] 关治,陆金甫.数值分析基础[M].北京: 高等教育出版社,1998 .86-89

[3] 李庆扬，关治,白峰杉.数值计算原理[M].北京: 清华大学出版社,2000.56-58 [4] Wilkinson J H 著.石钟慈等译.代数特征值问题[M].北京:科学出版社,1987.98-99 [5] 李庆扬，易大义，王能超.现代数值分析[M].北京:高等教育出版社,1995.102-103 [6] 王萼芳.高等代数教程.上册[M].北京:清华大学出版社,2000.1:73-246. [7] 姚慕生.高等代数[M].上海:复旦大学出版社.2002.8.38-39,195. [8] 卢刚.线性代数(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2004.53-96

[9] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京:中央民族大学出版社,2002.120-122 [10] 余航.试论分块矩阵的秩.[J].桂林师范高等专科学校学报,2001,15（3）.

The new method of linear equations and its

applications

ChengMa

(Grade07, Class1, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics,

Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723001,Shaanxi)

Tutor: Yalan Zhou

Abstract: this paper is mainly in several solutions of linear equations discussed based up of linear equations of

the other two solution inverse matrix method and - ranks elemtntary transformation. First presents the theoretical basis of this method, and again from special to general, namely first discuss the homogeneous linear equations solutions, in discussing the general linear equations solving method. This method computation is not very big very practical.

key words:linear equations; Matrix rank; Inverse matrix; Base solution is; Ranks elemtntary transformation

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总结 本文主要在课本介绍的线性方程组的两种解法的基础上来探讨线性方程组的另两种解法----求逆矩阵法与行列初等变换法.先给出这种方法的理论基础，再从特殊到一般，即先讨论齐次线性方程组的解法，在讨论一般的线性方程组的解法.此方法计算量不是很大，颇为实用.

参考文献

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社.1988.176-209. [2] 关治,陆金甫.数值分析基础[M].北京: 高等教育出版社,1998 .86-89

[3] 李庆扬，关治,白峰杉.数值计算原理[M].北京: 清华大学出版社,2000.56-58 [4] Wilkinson J H 著.石钟慈等译.代数特征值问题[M].北京:科学出版社,1987.98-99 [5] 李庆扬，易大义，王能超.现代数值分析[M].北京:高等教育出版社,1995.102-103 [6] 王萼芳.高等代数教程.上册[M].北京:清华大学出版社,2000.1:73-246. [7] 姚慕生.高等代数[M].上海:复旦大学出版社.2002.8.38-39,195. [8] 卢刚.线性代数(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2004.53-96

[9] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京:中央民族大学出版社,2002.120-122 [10] 余航.试论分块矩阵的秩.[J].桂林师范高等专科学校学报,2001,15（3）.

The new method of linear equations and its

applications

ChengMa

(Grade07, Class1, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics,

Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723001,Shaanxi)

Tutor: Yalan Zhou

Abstract: this paper is mainly in several solutions of linear equations discussed based up of linear equations of

the other two solution inverse matrix method and - ranks elemtntary transformation. First presents the theoretical basis of this method, and again from special to general, namely first discuss the homogeneous linear equations solutions, in discussing the general linear equations solving method. This method computation is not very big very practical.

key words:linear equations; Matrix rank; Inverse matrix; Base solution is; Ranks elemtntary transformation

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