实验一 离散时间信号与系统响应 - 图文

实验题目： 实验一 离散时间信号与系统响应 一、实验目的

1.观察离散系统的频率响应和单位脉冲响应并学会其应用。 2.掌握用MATLAB实现线性卷积的方法及差分方程的求解方法。 3.了解数字信号采样率转换过程中的频谱特征。

4.通过观察采样信号的混叠现象，进一步理解奈奎斯特采样频率的意义。

班 级 学号 姓 名 同组人 实验日期 室温 大气压 成 绩

二、实验仪器

计算机一台 MATLAB7.0软件

三、实验原理

在数字信号处理中，离散时间信号通常用序列{x(n)}表示。离散时间系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算，亦即将一个序列变换成另一个序列的系统。

(n)y(n)记为y(n)=T[x(n)],通常将上式表示成图?x??算子T[?]表示变换，对T[?]?T[?]????所示的框图。

加上种种约束条件，就可以定义出各类离散时间系统。

1.频率响应：在工程上进行时域分析和轨迹分析用频率响应法，它是分析和设计系统的一中有效经典的方法。线性时不变系统输入输出关系y(n)=x(n)*h(n)。H(ejw)是频率响应，离散时间系统的线性卷积，由理论学习我们可知，对于线性时不变离散系统，任意的输入信号

?x(n)??k???x(k)?(n?k)?...?x(n?1)?(n?1)?x(0)?(n)?x(1)?(n?1)?...x（n）可以用δ（n）及其位移的线性组合来表示，即，

当输入δ（n）时，系统的输出y(n)=h(n)。

2.卷积：y=conv(h,x),计算向量h和x的卷积，结果放在y中。由系统的线性移不变性质可以得

?到系统对x(n)的响应y(n)为y(n)??k???称为离散系统的线性卷积，简记为y(n)=x(n)*h(n),x(k)h(n?k)，

也就是说，通过系统的冲激响应，可以将输入信号与系统的冲激响应进行卷积运算，可求得系统的响应。MATLAB提供了进行卷积预运算的conv子函数。求解两个序列的卷积，很重要的问题在于卷积结果的时宽区间如何确定。在MATLAB中，卷积的子函数conv默认两个信号的时间序列从n=0开始，y对应的时间序号也从n=0开始。模拟系统通常用微分方程描述，而离散系统则是用差分方程来描述。对于离散系统来说，输入序列x(n)和输出序列y(n)将满足下列N阶常系数差分方

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程?biy(n?i)?i?0N?aix(n?i)，一般来说，这类系统不必是因果的。应用此差分方程式描述系统时，

i?0M如果没有附加的制约条件看，则它不能唯一地确定一个系统的输入和输出关系。可以利用MATLAB求差分方程的解，此时调用函数filter，y=filter(a,b,x),参数x为输入向量（序列），a,b分别为上式中的差分方程系数ai、bi构成的向量，y为输出结果。

3.单位脉冲响应：系统对单位脉冲输入的响应。也称作记忆函数。脉冲响应确定一个线性系统的特性，包含有与频率域中的传输函数相同的信息，而传输函数是脉冲响应的傅立叶变换。线性系统的输出由系统的输入与它的脉冲响应的卷积给出。单位脉冲响应是指一个无穷大的瞬时冲激，并且由于其在时间轴上的积分为1，而t又趋向于零，所以单位脉冲响应的大小应该是无穷大，但是要知道的是，无穷大量也有大小比较，所以单位脉冲响应可以用一个系数对之进行量度。

四、实验内容

1、给定一因果系统,求出并绘制H(z)的幅频响应与相频响应。

（1）实验程序： a=[1 sqrt(2) 1]; b=[1 -0.67 0.9]; w=0:2*pi/100:2*pi; h=freqz(a,b,w); subplot(3,1,1); plot(w/pi,abs(h)); grid on;

title('系统函数H(z)的幅度谱'); xlabel('w/\\pi'); ylabel('幅度');

subplot(3,1,2);plot(w/pi,angle(h)); grid on;

title('系统函数H(z)的相位谱'); xlabel('w/\\pi'); ylabel('相位/rad'); subplot(3,1,3); zplane(a,b); xlabel('Re[z]'); ylabel('jIm[z]');

title('系统函数H(z)的零极点分布图'); grid on;

2、计算系列{8 -2 -1 2 3}和序列{2 3 -1 -3}的离散卷积，并作图表示卷积结果。 a=[8 -2 -1 2 3]; b=[2 3 -1 -3]; c=conv(a,b);

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H(z)?(1?2z?z)/(1?0.67z?0.92z)?1?2?1?2

m=length(c)-1; n=0:1:m;

stem(n,c);grid on; xlabel('n'); ylabel('幅度');

title(' 离散卷积的结果');

3、求以下差分方程所描述系统的单位脉冲响应h(n),0≤n<50 y(n)+0.1y(n-1)-0.06y(n-2)=x(n)-2x(n-1).

a=[1 0.1 -0.06]; b=[1 -2];

x=zeros(1,49); n=[0:49]; x(1)=1;

h=filter(b,a,x); stem(h);grid on;

title('Impulse Response'); xlabel('n'); ylabel('h(n)');

4、一信号是三个正弦信号的和，正弦信号的频率为50Hz、500Hz、1000Hz,该信号以800Hz采样。用适当数量的样本画出该信号，并讨论信号的混叠状况。 clear all; n=0:99;

x=sin(0.0625*2*pi*n) +sin(0.625*2*pi*n) +sin(1.25*2*pi*n); y=x(1:100); subplot(2,1,1); stem(n,y);grid on; title('抽样后的图像'); xlabel('n');

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ylabel('幅值'); [h,w]=freqz(x); subplot(2,1,2);

plot(w(1:314),abs(h(1:314))); grid on;

title('幅频响应图像'); xlabel('ω'); ylabel('幅度');

五、实验总结

因为上学期已经学过了matlab软件，但有些matlab语言有些生疏了。通过查阅matlab书本的相关知识，使我对这次实验有了更进一步的了解。通过实验我掌握了用MATLAB实验线性卷积的方法，即调用子函数conv，c=conv(a,b)，及差分方程的求解方法，即调用函数filter，y=filter(a,b,x),参数x为输入向量（序列），a,b分别为上式中的差分方程系数ai、bi构成的向量，y为输出结果。观察到了离散系统的频率响应。另外通过实验我还了解了数字信号采样率转换过程中的频谱特征。

4

五:实验原理:

1． 脉冲响应不变法

用数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t),让h(n)正好等于ha(t)的采样值，即h(n)?ha(nT)，其中T为采样间隔，如果以Ha(s)及H(z)分别表示ha(t)的拉式变换及h(n)的Z变换，则

H(z)?1T?z?esT?m???Ha(s?j2?Tm)

2．双线性变换法

S平面与z平面之间满足以下映射关系：

21?zs??,z??1T1?z?11?1?T2T2s,(s???j?;z?resj?)

s平面的虚轴单值地映射于z平面的单位圆上，s平面的左半平面完全映射到z平面的单位圆内。 双线性变换不存在混叠问题：双线性变换是一种非线性变换

可通过预畸而得到校正。

IIR低通、高通、带通数字滤波器设计采用双线性原型变换公式：

变换类型 低通 变换关系式 备 注 ，这种非线性引起的幅频特性畸变

高通 ：带通 带通的上下边带临界频率 1.

确定数字滤波器的性能指标：通带临界频率fc、阻带临界频率fr、通带波动?、阻带内的最小衰减At、

采样周期T、采样频率fs ；

2.

确定相应的数字角频率 ?c?2?fcT；?r?2?frT；

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3.

计算经过预畸的相应模拟低通原型的频率?c?2Ttg(?c2)，?r?2Ttg(?r2)；

4. 根据Ωc和Ωr计算模拟低通原型滤波器的阶数N，并求得低通原型的传递函数Ha(s)； 5. 用上面的双线性变换公式代入Ha(s)，求出所设计的传递函数H(z)； 6. 分析滤波器特性，检查其指标是否满足要求。

六：实验思考题

1.双线性变换法中Ω和ω之间的关系是非线性的，在实验中你注意到这种非线性关系了吗？从哪几种数字滤波器的幅频特性曲线中可以观察到这种非线性关系？

答：在双线性变化法中，模拟频率与数字频率不再是线性关系，所以一个线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器不再保持原有的线性相位了，在每一幅使用了双线性变换的图中，可以看到在采样频率一半处，幅度为零，这显然不是线性变换能够产生的，这是由于双线性变换将模拟域中的无穷远点映射到了改点处。

2. 能否利用公式

答：IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数ak,bk，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。但是它的缺点是，存在频率混叠效应，故只适用于阻带的模拟滤波器。

完成脉冲响应不变法的数字滤波器设计？为什么？

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3.

计算经过预畸的相应模拟低通原型的频率?c?2Ttg(?c2)，?r?2Ttg(?r2)；

4. 根据Ωc和Ωr计算模拟低通原型滤波器的阶数N，并求得低通原型的传递函数Ha(s)； 5. 用上面的双线性变换公式代入Ha(s)，求出所设计的传递函数H(z)； 6. 分析滤波器特性，检查其指标是否满足要求。

六：实验思考题

1.双线性变换法中Ω和ω之间的关系是非线性的，在实验中你注意到这种非线性关系了吗？从哪几种数字滤波器的幅频特性曲线中可以观察到这种非线性关系？

答：在双线性变化法中，模拟频率与数字频率不再是线性关系，所以一个线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器不再保持原有的线性相位了，在每一幅使用了双线性变换的图中，可以看到在采样频率一半处，幅度为零，这显然不是线性变换能够产生的，这是由于双线性变换将模拟域中的无穷远点映射到了改点处。

2. 能否利用公式

答：IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数ak,bk，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。但是它的缺点是，存在频率混叠效应，故只适用于阻带的模拟滤波器。

完成脉冲响应不变法的数字滤波器设计？为什么？

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jr7r.html