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磁共振成像

磁共振成像是一种常见医疗影像技术，用于各种任务例如脑显像／血管造影法和动态心电图中。传统方法中（本质上基于香农采样原理），临床环境时，产生高分辨率图像的测量时间可能会是不定的（取决于任务分成几分钟至几小时）。例如，心脏病患者不能期望太长时间屏住呼吸，孩子保持坐姿两分钟的耐心都没有。在这样的情况下，使用压缩传感基于小样本获得高分辨率显得很有前景。

MRI依靠强磁场与体内水分子含的氢核（质子）相互作用。一个标准磁场导致磁矩中的自旋质子极化。运用一个附加射频激发场产生一个稳定场的进动横磁化。其进动频率和磁场强度线性相关。通过传感器可以检测到产生的电磁场。

使用空间独立强度加强磁场，进动频率也与空间位置有关。依据横磁化取决于组织的物理性质 （例如，质子密度）这一事实，某物体图像可通过测量的信号进行重建。

使用数学术语，我们通过公式:

X(z)?X(z)e?i??z?，其中

X(z)??z?表示强度，

表示相，发现横磁化在z?R3。额外可能的与时间相关的磁场被设计成与位置线性相关，因此被叫做梯度场。以G?R表示的梯度场，进动频率（R3的位置函数）可以被写成

B表示稳定场强度 磁化相

是一个物理常量。伴随着相关时间梯度G：

，

3用积分式

表示。

t = 0与射频激发时间一致。我们引入函数k：

接受线圈使整个空间体积结合在一起，也测量了信号

定义为

表示磁化级数|X|的三维傅里叶变换。也可以利用三维傅里叶变

换代替二维傅里叶变换测量物体的一个切面。

综上所述，使用MRI系统的信号测量是指磁化空间级数|X|（影像）的傅里叶转换，对曲线

二次抽样。通过使用修正因数重复一些

无线电频率，可循着有关R3的一些曲线k1, . . . , kL获得傅里叶装换的样本。需求测量时间和这些曲线的数目L成比例，我们希望这些数目L最小化。

自然离散化用简单三维像素或像素表示每个元素或二维图像的部分区域元素，所以磁化级数|X|变为一个有限维向量x?R 。索引于：Q := [N1] × [N2] × [N3]、N = card(Q) = N1N2N3和[Ni]:= {1， . . .， Ni}. 离散化曲线k1， . . . ， kL后，测量数据也成为X三维傅里叶离散变换的信号，即

N

令K ? Q其中card(K) = m表示离散频率间隔Q的子集，被k1, . . . , kL的轨线覆盖。

然后测量数据向量Y使之与

性映射，其限制Q的一个指数向量对应K中它的指数。测量矩阵

是一个傅里叶子矩阵。用语言表达为向量Y收集了设置在K

中分散影像X的三维傅里叶变换信号。

在具体医学成像应用如血管造影法中，假设关于典范基图像稀疏是可实现的。所以我们立刻得到了一个标准压缩感知问题。一般方案中，离散图像X只有在利用微波转换成适合的域后才稀疏或可压缩。例如，用数学表达，对单位矩阵

和一些稀疏向量

，存在

，可建立模型 相符。

为线

图1.6传统MRI重建（左）和压缩感知重建（右）比较。图像显示了伴随着造影剂的注射时，一个3岁儿科病人的腹部冠状切面。图像尺寸设置为三维像素320

× 256 × 160。使用32频儿科用线圈获得数据。在频畴内利用7.2因数二次抽样可加快数据获得。左边图像是具有严重伪影的传统线性重组。右边图像是一个基于小波变换的压缩，压缩感知重组凸显了诊断质量和显著降低伪影。箭头指示的细微特征很好的展现了压缩感知重组，重影几乎在左图中消失。

使用测量转换矩阵

再次，我们获得标准压缩感知问题。

问题是确定少量但确保稀疏影像还原的优质抽样集K。目前可用的理论预测是在任意基数m的运行良好的可能子集中一致选取随机抽样集K。（至少当W是单位矩阵时）。实际上，12章的结果证明当m ≥ Cs lnN时，某S-稀疏被

-minnimization重建。

不幸的是，考虑到轨迹曲线k1, . . . , kL的连续性约束，这样的任意集K在实践中难以实现。因此，人们通过经验研究可行的集K。把轨迹看成R3的平行线是一种较好应用的方法，在它与坐标平面交集上均匀随机选择。在K完全随机

可

和一个稀疏或压缩向量。

处情况下在上述方法中选取一些近似值。其他选择如扰动螺旋也有可能。

图1.6对比了传统MRI重组技术和压缩感知重组技术。压缩感知重组具有更好的视觉质量。解决了一些医疗上的重要细节问题。这些细节问题在传统重建中是完全不可见的。

雷达

压缩感知可适用于一些雷达结构。这里展示一种天线散发出一种合理设计的电磁波-雷达脉冲-这种电磁波分散在周围环境中，例如，空中的飞机。一种接收天线接着从分散的波中测量一种电磁信号。基于接收信号的延迟过程，可以判断物体的距离，同时多普勒效应可通过视图方向推断出它的速度。

以图1.7为例，让我们为这个方案的简单有限维模型进行描述。我们以

表示表示

被称为频道，可表示为B?的调制。

向量X=（xk，l）表示信道。如果有一个散射物体存在环境中使位移和速度与转化Tk和调制Ml一致，则会出现非零项xk，l 。目前通常只存在有限数量的散射物体，这些散射物体转化成系数向量X的稀疏度。现在的任务是确定X和在环境中通过使用一个合适的电波探索波道的方法获得有关散射体，在有限维设置中用

k,lk2(k,l)??m?的循环平移算子，以

的调制算子。图谱转化发送信号至接收信号也

?xTMi，其间发生了转化一致的延迟和多普勒效应

向量制作电波。接收信号由Y给出。

图1.8 上左：转化-调制（延迟-多普勒）平面原始7级稀疏系数向量（m=59） 上右：使用最顶级窗口

最小化重建。底：

最小化重建比较。

测量矩阵测量信号Y还原

的m2纵列和

相等。从

意味着解决一个欠定线性方程组。考虑X的稀疏度，

最小化的应用。

我们将得到一个标准压缩感知问题。联合重建算法，包括

它也需要找到合适的射频脉冲数列

确保X可以从y = Bg还原出来。

一种g的通俗选择叫做全顶级向量，它规定m≥ 5时，

更多细节可参考第5章和图1.8的数例。

虽然全顶级窗口在实践中工作良好，但是由于g是确定的，理论保证在现在可行性会稍微受限。作为一个与压缩感知理论并存的选择项，我们可以随机选取例如，一个独立±1项的伯努利向量。在这种情况下，如果s ≤ Cm/ lnm，g?Cm，

一个s级稀疏向量x?Cm可从y?Bx?Cm中还原。更多的信息见12章的注释部分。

抽样法理论

从样品的离散集中重建某连续时间信号是许多科学技术应用中的重要任务。包括图像处理、一般的传感器技术，以及模数转换，例如，出现在音频娱乐系统或移动通信设备。目前，大多数采样技术依靠香农采样定理，这表明一个带宽B的函数为了保证重建必须以2B比例采样。

数学术语表示，连续时间信号的傅里叶变换f?L1(R)（表示由

?(?)?f(t)e?2?it?dt, ??R定义f(t)dt??） f??RR如果f的取值范围[?B,B]，f是关于带宽B受带限。 香农取样原理陈述这样的f可以通过公式

从它的离散集取样来重组。

其中sinc函数以形式给出。

为方便压缩感知对比，我们将香农取样原理设置在一个有限维中。我们考虑三角多项式的最大度数M，即，函数类型

用度数M代替带宽B。因为三角形多项式最大度数M存在维度N = 2M + 1，则期望f可以由N = 2M + 1个信号重建。实际上，附录中的 C.1定律表明

其中狄利克雷DM由公式：

给出

因为维度原因，从少于N = 2M + 1样本中将最大维度M的三角形多项式重建是不可能的。然而，实践证明度数M的需求量可能很大，因此信号的样本数量也很大，有时候显著大于实际上的信号数。所以问题在于是否可通过利用附加的假设减小信号的数量。例如傅里叶域的可压缩性在很多现实情况下是合理的假设。实际上，如果(1.6)中傅里叶系数f的向量x?CN是稀疏（可压缩的），很少的信号就可以满足准确的（或近似的）重建。

精确来说，给予一个信号点集{t1, . . . , tm} ? [0, 1]，我们可以用向量

表示

y=Ax （1.7）

其中是一个傅里叶矩阵带有项

问题从M信号的向量Y中还原出F降为找到系数向量X。这意味着解一个当

m < N时的不定线性方程组。利用稀疏假设，我们得到标准压缩感知问题。可运用一些算法，如最小化来解决问题。关键性的问题集中在信号点的选取。由前面

可知，随机性可起作用。实际上，我们在第12章中看到，在[0, 1]中一致独立地随机选取信号t1, . . . , tm，如果m ≥ Cs ln(N)，则从信号f(t1), . . . , f(tm)中重建f的可能性最大。因此，如果S很小，少量的信号就足够了。这已经在图1.2和1.3中证明。

稀疏逼近

压缩感知以经验观测值为基础，许多不同种类的信号可以通过稀疏信号使之近似。在这种情况下，压缩感知可以被理解为系数逼近的子域。在稀疏逼近中有一个类似于标准压缩感知问题特殊的问题：当m

假设一个向量

（通常是应用中的一个信号或图像）可用规定元素

的线性组合表示。这样跨度为

。系统

(a1, . . . , aN)一般称为一个程序库。因为已知N > m，注意到系统可能线性相关（多余的）。当线性无关限定过多时，我们需要多余性。例如，时间频率分析中，时间频率基础改变元素只有在产生很少的时间频率才成为可能，即巴里安–低定理。很多基准的组合也很有趣。这种情况下，其表达式

不是唯一的。传统上来说，通过用最小数量的项也就是最稀疏替代来改进它。

让我们以a1, . . . , aN 构造矩阵

。找到Y的最稀疏表示意味

着解决了

如果我们允许一个表示误差η，然后考虑到轻微的改变最佳选择问题

问题(P0)和先前部分遇到的是一样的。一般来说两种最优问题(P0) 和(P0,η)是非确定性多项式困难问题，但是所有出现在这本书中标准压缩感知问题算法包括l1最小化，可应用于这种环境下，去克服计算上的瓶颈。确保了最稀疏向量x的精确或逼近还原的情况A将在第4、5和6章中被导出，它仍然是适用的。

然而对比压缩感知问题，稀疏逼近在原理上有许多不同之处，稀疏逼近一般设计任意的

含有适当特性的矩阵A，同时A一般考虑到稀疏逼近的环境，像压缩感知一样依赖随机性是不可取的。因为它很难证明在最优参数方法中确保稀疏还原（s中m的线性取决于对数因子），理论保证不足于解随机矩阵。这个法则的例外之处在14章谈到。其复原保证来自于随机选取的信号。

稀疏逼近和压缩感知的第二个不同之处出现在目标错误估计。压缩感知中，我们一般关心系数水平中的错误

，其中X和

是各自初始的和重建系

，所

数向量，而在稀疏逼近中，目标是近似给予的Y和稀疏扩张以我们对

感兴趣。关于

的估计让步于

的估计，但是反过来一般不对。

最后我们简单的讨论一些信号和图像进程的稀疏逼近应用。

? = Ax?的稀疏逼近y?。接着?压缩。假设我们找到了一个信号Y和系数向量x?意味着只用存储非零系数x?。由于x?是稀疏的，相比原始信号Y项的存储，存储y?只需要非常小的内存。 x? = y + e，e表示噪音向量其?去噪。假设我们研究一个信号Y的噪音版本y中e??，接下来任务是去除噪音和原始信号Y的较好逼近。一般来说，如果对y一无所知，这个问题是不适定的。然而，假设y可以利用稀疏扩张很好表示。一

?的一个稀疏逼近。更精确的，我们理论上选取la最小种合理的方法包含在选取y?。??Ax?作为降噪?中的y来代替已知的信号y化问题(P0,η)的解x接着我们构造y后y的版本。对于一个便于处理的计算方法，它通过一种压缩感知（稀疏逼近）算法代替了非确定性多项式困难问题(P0,η)，例如，l1最小化变量重点考虑噪音，或者叫做基追踪降噪问题。

?数据分离。假设一个向量

是两个或多个成分的组成。这个问题

出现在一些信号进程任务中。例如，天文学家想在图像的细微处分离点体系（星，

星系团）。一个声音处理任务包含从短波中分离和声部分（纯正弦波）。没有附加的假设，这些分离问题是不适定的。然而，如果两种组分y1 和 y2在程序库中有不同特性（例如正弦波和尖峰信号）的分开的表达方式(a1, . . . , aN1)和(b1, . . . , bN2)。接着环境变化了。我们可以写

其中矩阵向量

条件下确定系数向量X，以此导出两种组分

。

有纵列a1, . . . , aN1 , b1, . . . , bN2。

稀疏。压缩感知方法允许在一定

和

数据纠正

在一般现实数据传输装置中，偶尔会出现部分数据错误。为了克服这种不可避免的事情，一种策略是收集这这些错误确保他们以后不经常出现。

假设我们要传输一个向量

。一种标准策略是编码长度N=n + m，

B?RN?n的向量v?Bz?RN。直观的，B（考虑到N >n）中可以帮忙辨认出传输

错误。数目m反应出余部的总量。

假设接收测量w?V?x?Rm 其中x表示传输错误。假设在转化成x的稀疏度时传输错误不会经常发生，表示为x0?s。对于编码部分，我们构建一个矩阵

A?Rm?N叫做广义校验矩阵，令AB = 0，也就是说，所有行的A和所有列的B垂直

相交。然后我们构建广义校验

y=Aw=A（v+x）=ABz+Ax=Ax

我们使用矩阵A得到标准压缩感知问题和稀疏错误向量X。在适当的条件下，这本书中的方法允许还原X和相应的原始传输向量v = w – x。然后解过定方程

组

v = Bz推导出数据向量Z。

为了计划的具体性，我们选择一个矩阵A?Rm?N作为合适的压缩感知矩阵，如高斯随机矩阵。然后我们以这个方法选取矩阵B?Rm?N使n + m = N，它的列

和A的行成正交补，因此保证AB=0.由这些设定，我们可以收集许多和Cm/ln(N/m)一样大的信息错误。

统计和机器学习（能力） 统计回归的目的是根据确定的输入数据预测结果。一般选用线性方程y=Ax+e,其中A?Rm?N—一般称之设计或预测矩阵—收集输入数据Y表示输出数据，e表示

一个随机噪音向量。

向量X是一个需要从数据中估计的参数。在一个统计结构中，一般使用标记法(n, p)代替(m,N)，但我们保留下后一个以保持连贯。

在临床研究中，举例来说，输入Aj,k可能指第j位病人那一行的血压、体重、身高、基因数据，表示一定的特征，等等。对应的输出

可能是另一个相关量，

例如，第j位病人得某种病的可能性。有了m位病人的数据，回归目标是要适合于模型，也就是说定下参数向量X。

实际上，参数N的数量远大于观测数量m，所以即使没有干扰，在没有更多假设的情况下是无法解出适当的参数X的。然而在许多情况下，只有一小部分参数对预测做出贡献，但是这些有影响的参数是推理出来的未知数。这导致了向量x稀疏，再一次我们得到了标准压缩感知问题。统计项中，定下一个稀疏参数向量相当于选择相关解释变量，也就是x的支集。这也会涉及模型选择。

这本书中提到的方法也适用于这种情况。然而，这种情况与噪声向量e的随机性一般步骤存在轻微的背离。特别是，不同二次约束一般考虑称之为LASSO（最小绝对收缩选择算子）

最小化问题(1.4)，

对一个适当的正则化参数τ，其依赖于噪音的变化。更多的变化称之为丹齐格选择

或择λ。

规则化问题（有时候叫做LASSO或基追踪降噪）再一次为了适合的选

我们将不再关注统计背景，但是我们简单的提及接近最优统计估计特征可以在A情况下，在LASSO和丹齐格选择中同时展现。它和下一章中的问题类似。

在机器学习中出现一个密切相关的回归问题。给予任意随机的样本

其中tj是一些输入参数向量同时yj是一个标量输出。我们希望从接下

来输入数据t中预测输出数据y。将输入t和输出y联系起来的模型是

y=f（t）+e

其中e表示随机噪音。目标是通过培养信号

来获得函数f。没有有关

f的更多猜想，这将是一个不可能的任务。因此，我们假设f在已知的函数ψ1,. . . , ψN

的程序库有一个稀疏扩大，也就是说函数可以写成

其中x是一个稀疏向量。提出输入为

的矩阵A?Rm?N 我们获得模型y=Ax+e，目标是为了估计稀疏系数向量x。这和上面提到的问题有同样的构造，相同的评估程序包括LASSO和丹齐格选择应用。

低阶矩阵还原和矩阵完成

最后，让我们通过它的一些应用讨论下压缩感知的扩展。不局限于还原一个

稀疏向量x?CN，我们现在将目标瞄准一个不完全信息的矩阵X?Cn1?n2。假设一个有低阶的稀疏度x。实际上，相比所有的矩阵集，给予矩阵低阶集，使之略微复杂对还原矩阵来说更有理。

对于线性图A：X?Cn1?n2→Cm ,m

阶。最单纯方

是非确定性多项式复杂问题，但是压缩感知问题与其相似也有所帮助。 为了论证这种相似，我们考虑x的奇异值分解，也就是

这里

是x的奇异值，而且

分别是左右奇异向量。我们参考附录A.2详情。矩阵是r

阶的，有且仅有向量

的奇异值是r级稀疏也就是

阶。想到有l1最小化方法求压缩感知，很自然的就引入一种核范数作为l1-norm

的奇异值，也就是

接下来我们考虑核范数最小化问题。

这是一个可以被高效解决的凸形最佳问题，例如，半定程序再成型。 一个非常类似于稀疏向量还原的理论可以被发现，A的合适条件确保通过核范数最小化的精确和逼近还原（和其他算法）。再一次，随机图片出现最优，在

m?Crmax{n1,n2}情况下，矩阵最高阶r可以从m测量值中得到很高的可能性还原。

这种边界是最佳的，因为右方自由度数足以描述一个r阶比向量形式，这里明显没有涉及对数因数。

矩阵。相

作为一种普遍的特殊情况，完全矩阵问题变为填充失去的低阶矩阵项问题。测量图A为指数j, k取一些相关l的项

。这个计划显现，例如，

在消费者品味预测中，假设在一个（线上）商店出售物品以矩阵行检索，消费者以矩阵列检索，可以估价这些商品。并不是每一个消费者会估价每一个商品，所以矩阵只有有限的元可用。为了个性化广告的目的，商店对预测整个估价矩阵感兴趣。一般，如果两个消费者都喜欢一些商品的子集，则他们将也会喜欢或不喜欢其他商品的子集（消费者的类型基本上是被限制的）。由于这个原因，可以假设，估价矩阵具有（至少近似的）低阶，它可以被经验证明。因此，地阶矩阵还原方法，包括核范数最小化方法，可以运用于这种假设中。

虽然很感兴趣，但是我们并不准备在本书中对低阶还原进行延伸。然而，考虑到其与稀疏还原紧密联系，主要结果在练习中有所涉及，读者有兴趣可以自己解决这些问题。 压缩感知

本章介绍了标准压缩感知问题，给出了这本书内容的概括。由于实际问题很大程度上推动了数学理论，我们也简单的讨论了一些可能的应用。

什么是压缩感知？

Ax = y. (1.1)

在许多科学技术方面的实际问题中，一旦遇到任务要求对量测信息进行推断，例如，在信号图像处理中，可能要从实测数据中重建信号，当信息获取过程呈线

my?C性时，问题便简化为求解线性方程组了。用数学术语表达，观测数据通过

AX＝Y（1.1）连接到目标信号X?C。

矩阵A?Cm?NN建立了线性测量进程的模型。然后通过求解上述线性方程组来

重建向量X?C。传统观点认为，测量次数m，即，测量数据量，至少和信号长

N

度N（X组分的数量）相等。

目前的技术中，大多数设备的使用都是以此原则作为基础，如模拟数字转换，医学影像，雷达，以及移动通信。事实上，如果m < N，经典的线性代数显示线性系统（1.1）是欠定的，且有无限多的解决方案（当然，存在至少一个）。

换句话说，没有额外信息的话，在m < N的情况下，是不可能从y中重新获得x的。

这个事实也涉及香农采样定理，即为了确保重建数据连续时间信号的采样率必须是最高频率的两倍。

图1.1安东，尼尔斯，和琳娜。

上图：原始图像。下图：使用1%的绝对值最大的小波系数重新构图，即，99%的系数被设置为零。

因此，它是一个令人惊讶的某些假设，它实际上是可能的重构信号时，可用的测量值的数目M小于信号长度，

更令人吃惊的是，高效的算法确实存在于重建中。稀疏性使所有这些深层次的假设成为可能。这一现象相关的研究领域被称为压缩感知，压缩感知，压缩采样，或稀疏恢复。这整本书是致力于这一领域的算法基础。

稀疏性

如果一个信号的大部分组成均为零称之为稀疏。经验观察到许多真实世界的信号是可压缩的，在这个意义上，一般经过适当的基础变化它们近似于稀疏信号。这就解释了为什么压缩技术，如JPEG，MPEG，或MP3在实践中应用很好。例如，JPEG依赖于存在于离散余弦原则或小波原则图像中的稀疏度且只有存储最大时会成功压缩。

什么是压缩感知？

离散余弦或小波系数。其他系数简单地设置为零。我们参考图1.1做自然影

像在小波域中是稀疏的证明。

让我们再次考虑信号的采集和数据测量结果。使用额外知识这个信号是稀疏的或可压缩的，传统方法采用信号测量至少同等长度似乎在浪费资源：首先，测量所有信号的输入需要巨大的气力，然后大部分的相关系数在压缩版中被弃用。相反，我们可能想通过开发信号的稀疏性或可压缩性“直接”以明显较少的测量数据获得一个信号的压缩版。换句话说，我们想压缩感知可压缩的信号！这是压缩感知的基本目标。

我们强调在这里主要的困难存在于非零向量的输入位置在事先是不知道的。如果他们在那个位置，他们会通过位置设置检索轻易的减少矩阵的纵列。线性方程的解变成超定从而可以解决非零信号的输入。不知道重建的非零向量的位置提出了一些非线性因为s-sparse向量（那些有最多s非零系数）形成了一个非线性集。实际上，加入两个Ss-sparse向量通常会有一个2S-s-sparse向。因此，任何成功的重建方法都必须是非线性的。

直观地说，复杂性或压缩信号“固有的“信息内容比信号长度小得多（否则压缩不可能）。所以人们可能认为对比信号长度，所需的数据量（测量数目）更应该是与固有信息内容成比例的。不过，怎样在这种方案下成功重建还不是很快可知的。

通过对稀疏向量

在欠定测量

重建

的标准压缩感知问题仔细查看，可以基本确定两个问题：如何设计线性测量过程？换句话说，什么矩阵

是合适的？

?如何从y = ax中重建x？换句话说，什么是有效的重建算法？

这两个问题都不是完全独立的，由于重建算法需要考虑到A，但我们会发现从分析算法中单独分析矩阵A。

我们注意到第一个问题目前是不重要的。实际上，压缩感知并不适宜任意矩阵

。比如，如果A组成单位矩阵的组，则y = Ax简单的挑选了

一些X的输入，因此，它包含大部分的零输入。特别是关于在Y中X的非零输入将没有信息被获取，同时重建将不可能出现在如此的矩阵A中。

图1.2

底部：时域信号实部16个信号复原算法-设计测量矩阵的第一个问题是同样重要和微妙的。我们也强调矩阵A理论上同时为所有信号x设计，伴随一个非适应性测量过程，在某种意义上来说数据前观察到的数据论性能。

（如第j列的A）的测量方法不依赖于以

。结果显示，一般自适应测量不展现出更好的理

算法

为了实用的目的，合理有效的快速重建算法是必不可少的。这个特征无疑为压缩感知带来了如此多的关注。进入脑海的第一种算法可能是符号

最小化。引入

表示某向量的非零输入数量，很自然的试着重建X作为组合最优化优

化问题的一个解决方案。

图1.3 上：通过2-最小化简单重建

下：通过精确重建。

换句话说，我们寻找与实测数据并存的最稀疏向量y = Ax。不幸的是，最小化问题一般是困难的非确定性多项式问题。因此，令人吃惊的是确实存在快速和有效可证的建算法。一个非常受欢迎的和现在很好理解的方法是基追最小化，这个问题以寻找

的较小值为主要部分。因为

是一个凸函数。这个最优化问题

最小化的凸松弛。可选

可通过凸面最优化的有效方法解决。基追踪可解释为

择的重建方法包括贪心算法如正交匹配追踪，以及基于阀值的方法包括迭代硬阈值法。我们会发现通过适当的假设这些方法确实重建了稀疏向量。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jr6g.html