18年高考数学二轮复习三道题经典专练11函数、导数之一存在与恒成

内部文件，版权追溯 函数、导数之一 存在与恒成立问题

一、（2018东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学）一

已知函数f?x??ex，g?x??lnx，h?x??kx?b．

（1）当b?0时，若对任意x??0,???均有f?x??h?x??g?x?成立，求实数k的取值范围；

（2）设直线h?x?与曲线f?x?和曲线g?x?相切，切点分别为A?x1,f?x1??，B?x2,g?x2??，其中x1?0． ①求证：x2?e；

②当x?x2时，关于x的不等式a?x1?1??xlnx?x?0恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）?1??e，e???；（2）①证明见解析；②a?1．

【解析】（1）当b?0时，h?x??kx， 由f?x??h?x??g?x?知：ex?kx?lnx， 依题意：exx?k?lnxx对x??0,???恒成立，

m?x??ex设ex?x?1?x(x?0)，?m??x??x2，

当x??0,1?时m??x??0；当x??1，+??时m??x??0，???m?x???min?m（）1?e，

设n?x??lnxx(x?0)，?n??x??1?lnxx2， 当x??0,e?时n??x??0；当x??e，+??时n??x??0，???n?x???max?n?e??1e，

故实数k的取值范围是?1???e，e??．

（2）由已知：f??x??ex，g??x??1x， ①：由y?ex1?ex1?x?x1?得：h?x??ex1??x?x1??ex1， 由y?lnx2?1x?x?x?x??12?得：hx?lnx2?1， 2x2?故?ex1?1?x2 ， ??ex1?x1?1??1?lnx2x1?0，?ex1?x1?1??0，?lnx2?1，故：x2?e．

1

②：由①知：x2?e?x1，x1?1?x2?1?lnx2?且x2?e?1， 由a?x1?1??xlnx?x?0得：a?x1?1??x?xlnx，?x?x2? 设G?x??x?xlnx?x?x2?，

G??x??1?lnx?1??lnx?0， ?G?x?在?x2,???为减函数，???G?x???max?G?x2??x2?x2lnx2，

由a?x1?1??x2?x2lnx2得：a?x1?1??x2?1?lnx2?，?a?x1?1???x1?1?， 又x1?0，?a?1．

二、(2018河北八市第一次测评考试)

已知函数f?x???mx2??2m?1?x?lnx?1?m?m?R?．

（1）若函数g?x??f?x??x?1有一个极小值点和一个极大值点，求m的取值范围； （2）设m?1??? ，求m的取值范围． ，若存在n??1,2?，使得当x??0，n?时，f?x?的值域是[f?n?，21． 2???；【答案】（1）?2，（2）1?ln2?m?21?2mx2?2mx?1【解析】（1）g?x???m?x?1??lnx，则g??x???2m?x?1???，

xx令h?x???2mx2?2mx?1(x?0)，若函数g?x?有两个极值点，则方程h?x??0必有两个不等的正根，设为x1，x2，不妨设x1?x2，

????4m2?8m?0?于是?x1?x2?1?0 ，解得m?2，

??1?x1?x2??0?2m?则g??x???2m?x?x1?x?x2??x??h?x?x．

当0?x?x1时，h?x??0，g??x??0，g?x?在?0，x1?上为减函数； 当x1?x?x2时，h?x??0，g??x??0，g?x?在?x1,x2?上为增函数； ??)上为减函数． 当x?x2时，h?x??0，g??x??0函数g?x?在(x2，由此，x?x1是函数g?x?的极小值点，x?x2是函数g?x?的极大值点．符合题意．

2

综上，所求实数m的取值范围是?2，???．

2（2）f??x??1?2m?x?1??12mx??2m?1?x?1x??x???x?1??2mx?1?x，

①当m?0时，2mx?1x?0．当0?x?1时，f??x??0，f?x?在?01，?上为减函数；

当x?1时，f??x??0，f?x?在?1，???上为增函数． 所以，当x??0，n?(1?n?2)时，f?x?min?f?1??0?f?n?，f?x?的值域是?0，???． 不符合题意．

②当0?m?12m?x?1???x?1??2时，f??x????2m?x．

2（i）当12m?1，即m?12时，f??x????x?1?x?0，当且仅当x?1时取等号． 所以f?x?在?0，???上为减函数．从而f?x?在?0，n?上为减函数．符合题意． （ii）当

12m?1，即0?m?12时，当x变化时，f??x?，f?x?的变化情况如下表：

x ?01，? 1 ??1，1?? 1??2m?2m ?1?2m，????? f??x? ? 0 ? 0 ? f?x? 减函数 极小值0 增函数 极大值 减函数 若满足题意，只需满足f?2??f?1?，且12m?2（若12m?2，不符合题意）

， 即m?1?ln2，且m?14． 又1?ln2?14，所以m?1?ln2，此时1?ln2?m?12． 所以实数m的取值范围是1?ln2?m?12． 三、(2018百校联盟TOP20高三三月联考)

已知函数f?x??lnx．

（1）设g?x??f?x??ax?1，讨论g?x?的单调性；

（2）若不等式f?x???a?e?x?b恒成立，其中e为自然对数的底数，求

ba的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）?1e．

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