北京市2013届高三数学一模试题 文（大兴一模）新人教A版

大兴区2013年高三统一练习数学（理科）

一、选择题

2(1+i)（1）复数的值是

（A）2 （B）-2 （C）2i （D）-2i

2A={x|x>1}，B={x|log2x>0|}，则A?B等于 （2）设集合

（A）{x|x?1} （B）{x|x?0} （C）{x|x??1} （D）

{x|x??1，或x?1}

开始 （3）执行如图所示的程序框图．若n?4，则输出s的值是 （A）-42 （B） -21

（C） 11 （D） 43

输入n s=1,i=1 1y1?40.7,y2?80.45,y3?()?1.52(4)设，则

（A）y3>y1>y2 （C）y1>y2>y3

（B ）y2>y1>y3 （D）y1>y3>y2

i?i?1 s=s+(-2)i (5)已知平面?,?，直线m,n，下列命题中不正确的是 （A）若m??，m??，则?∥? （B）若m∥n，m??，则n??

i≤n? 否 输出s 是 结束 （C）若m∥?，????n，则m∥n （D）若m??，m??，则???．

1?cos2xf(x)?cosx （6）函数

ππππ(?,0](0,)(?,)22上递减 （A）在22上递增 （B）在上递增，在ππππ(?,0](0,)(?,)2上递增 （C）在22上递减 （D）在2上递减，在

222a,ba+b≤1xx（7）若实数满足，则关于的方程-2x+a+b=0无实数根的概率为

- 1 -

13（A）4 （B） 4 π-23π+2（C）4π （D）4π

2y=x(-2≤x≤2)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体（8）抛物线

内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长

是

（A）1 （B）2 （C）22 （D）4

二、填空题

x?sincxosx（9）函数f()的最小正周期是

（10）已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心

3率为2，实轴长为4，则双曲线的方程是

????????????（11）已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E、F分别是BC、CD的中点，则(AE+AF) AC等于 ．

禳镲1镲18睚anan+1{a}a=an+2，a1=1，数列镲镲铪（12）已知数列n,n+1的前n项和为37，则n= .

?x??21?1x?0f(x)???x2?（13）已知函数 x?0在区间[-1,m]上的最大值是1，则m的取值范围是

． （14）已知函数

f(x)是定义在(0,+ )上的单调递增函数，且x?N*时，f(x)?N*，若

f[f(n)]=3n，则f(2)= ；f(4)+f(5)=

三、解答题

（15）（本小题满分13分）

ABC 在?中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

(Ⅰ)求a的值；

cosA=π3B=4，b=5，

2．

ABC(Ⅱ)求sinC及?的面积．

（16）（本小题满分13分）

- 2 -

一次考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩如下表： 学生 数学 物理 A1 A2 A3 A4 A5 89 87 91 89 93 89 95 92 97 93 (Ⅰ)分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；

(Ⅱ)从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率． （17）（本小题满分13分） 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，DABC是等边三角形，D是BC的中点. （Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；

（Ⅱ）判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.

（18）（本小题满分14分）

x 已知函数f(x)=(ax+1)e．

（I）求函数

f(x)的单调区间；

f(x)在区间[-2,0]上的最小值．

（Ⅱ）当a>0时，求函数

19.（本小题满分14分）

1 已知动点P到点A（-2,0）与点B（2,0）的斜率之积为4，点P的轨迹为曲线C。

?(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D。求线段MN长度的最小值。

(20)（本小题满分13分） 已知数列

{an}的各项均为正整数，且

na1?a2???an，

设集合

Ak?{x|x???iai，?i??1，或?i?0，或?i?1（}1≤k≤n）i?1。

- 3 -

性质1 若对于?x?Ak，存在唯一一组?i（i?1,2,???，k）使完备数列，当k取最大值时称数列

kx???iaii?1k成立，则称数列

{an}为

{an}为k阶完备数列。

mk??a（）i1≤k≤nx≤mkx?Zi?1性质2 若记，且对于任意，，都有x?Ak成立，则称数列

{an}为完整数列，当k取最大值时称数列

{an}为k阶完整数列。

性质3 若数列

{an}同时具有性质1及性质2，则称此数列

{an}为完美数列，当k取最大值时

{an}称为k阶完美数列；

（Ⅰ）若数列

{an}的通项公式为

an?2n?1，求集合A2，并指出{an}分别为几阶完备数列，

几阶完整数列，几阶完美数列； （Ⅱ）若数列

{an}n?1{a}Aa?10n的通项公式为，求证：数列n为n阶完备数列，并求出集合n中所有元素的和（Ⅲ）若数列

Sn。

为n阶完美数列，试写出集合An，并求数列

{an}{an}通项公式。

2013年高三统一练习

高三数学（文科）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）A （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

(9)(11)x2y2(10)??1π45 15(12)182

三、解答题（共6小题，共80分） （15）（本小题共13分）

(13)??1,1?(14)3,1543sinA?,cosA?,A是?ABC内角 5 5解:（Ⅰ）因为,所以

- 4 -

a2?ab84π?sina?4 得: 5 由正弦定理:sinAsinB 知5 （Ⅱ）在?ABC 中, sinC?sin[??(A?B)]?sin(A?B)

423272?sinAcosB?cosAsinB?????525210

1187228s?absinC???2??2251025 ?ABC 的面积为:

（16）（本小题共13分）

解：

1(89?91?93?95?97)?9355名学生数学成绩的平均分为:

5名学生数学成绩的方差为:

1[(89?93)2?(91?93)2?(93?93)2?(95?93)2?(97?93)2]?8 5 1(87?89?89?92?93)?905 5名学生物理成绩的平均分为:

5名学生物理成绩的方差为:

124[(87?90)2?(89?90)2?(89?90)2?(92?90)2?(93?90)2]?5 5 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成

绩稳定.

(Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A 5名学生中选2人包含基本事件有：

A1A2, A1A3,A1A4,A1A5, A2A3,A2A4,A2A5,A3A4,A3A5,A4A5, 共10个.

事件A包含基本事件有：A1A4,A1A5,A2A4,A2A5,A3A4,A3A5,A4A5,共7个.

则 P(A)?

710

7 所以，5名学生中选2人, 选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为10.

(17)（本小题共13分）

解: (Ⅰ)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，

AA1?面ABC，所以AA1?BC,

- 5 -

在等边?ABC 中，D是BC中点，所以AD?BC

BC?面A1AD

因为 在平面A1AD中，A1A?AD?A，所以

又因为A1D?面A1AD，所以，A1D?BC 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，四边形 所以，A1D?B1C1

(Ⅱ) 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，四边形 在平行四边形

BCC1B1是平行四边形，所以B1C1//BC

ACC1A1是平行四边形，

ACC1A1中联结A1C,交于AC1点O,联结DO.

故O为A1C中点.

在三角形A1CB中,D 为BC中点,O为A1C中点,故DO//A1B. 因为

DO?平面DAC1,A1B ?平面DAC1,所以,A1B//面 ADC1

故,A1B与面 ADC1平行 （18）（本小题共14分） 解：定义域为R

f'(x)?(ax?1)'ex?(ax?1)(ex)'?ex(ax?a?1)

'xf(x)?e?0,则f(x)的单调增区间为(??,??) a?0(Ⅰ)①当时，

②当a?0时，解f(x)?0得,

'x??a?1a?1x??'a, a,解f(x)?0得,

则f(x)的单调增区间为

(?a?1a?1,??)(??,?)f(x)aa ,的单调减区间为

x??a?1a?1x??'a,解f(x)?0得, a,

③当a?0时，解f(x)?0得,

' 则f(x)的单调增区间为

(??,?a?1a?1)(?,??)f(x)a,a的单调减区间为

?a?0??a?1???2?a(Ⅱ) ①当?- 6 -

时, 即 当a?1时, f(x)在

(?2,?a?1)a上是减函数,在

a?1(?a?1,0)f(?a?1)??ae?aa上是增函数,则函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值为

a

??a?0??a?1??2 ②当??a时, 即 当0?a?1时, f(x)在[?2,0]上是增函数,

1?2a 则函数f(x)f(?2)?在区间[-2,0]上的最小值为

e2

(x)?a?1综上: 当a?1时, f在区间[-2,0]上最小值为?aea

1?2a 当0?a?1时, f(x)在区间[-2,0]上最小值为e2

（19）（本小题共14分） k?k1解：（Ⅰ）设P(x,y)，由题意知

APBP??y4?2?yx?2??14(x??2)，即x

x2?y2?1 (x??2)化简得曲线C方程为：4

（Ⅱ）思路一

满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y?k(x?2)，

kk??1?由（Ⅰ）知

QB?4QBy?1，所以，设直线方程为4k(x?2)，

- 7 -

当x?4时得N点坐标为

N(4,?1)2k，易求M点坐标为M(4,6k)

|MN|?6k?所以

111?2|6k|??23|6k|?|2k||2k|2k=，

k??当且仅当

36时，线段MN的长度有最小值23.

思路二：满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y?k(x?2)，

?x2??y2?1?4?y?k(x?2)联立方程：?

2222(4k?1)x?16kx?16k?4?0， 消元得

设

Q(x0,y0)，M(x1,y1),N(x2,y2)，

16k2?4?2?x0?4k2?1， 由韦达定理得：

4k?8k2?2y?x0?024k2?1， 4k?1所以，代入直线方程得

2?8k24kQ(,)221?4k1?4k所以，又B(2,0) 4k?0211?4k,??4k2?8k2?22所以直线BQ的斜率为1?4k

以下同思路一

思路三：设

Q(x0,y0)，则直线AQ的方程为

y?y0(x?2)x0?2M(4,y?y0(x?2)x0?2

直线BQ的方程为

yM?

当x?4，得

6y0x0?22y0x0?2，即

N(4,6y0)x0?2

当x?4，得

- 8 -

yN?，即

2y0)x0?2

MN?则

26y02y02x?8??2y0?20x0?2x0?2x0?42x0?82)x02?4

MN?4y02?(

22x?4y?4 00又

4(x0?4)2MN?24?x0所以

2利用导数，或变形为二次函数求其最小值。

（20）（本题满分13分）

解：（Ⅰ）A2?{?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4}；

{an}为2阶完备数列，n阶完整数列，2阶完美数列；

A??（Ⅱ）若对于?x?n，假设存在2组i及i（i?1,2?,n）使

x???iaii?1n成立，则有

?1100??2102????n10n?1??1100??2102????n10n?1，即

(?1??1)100?(?2??2)101???(?n??n)10n?1?0，其中?i,?i?{?1,0,1}，必有

?1??1,?2??2??n??n，

?所以仅存在唯一一组i（i?1,2?,n）使

即数列

x???iaii?1n成立，

{an}为n阶完备数列；

Sn?0，对?x?An，

则

x???iaii?1n，则

?x????iai??(??i)aii?1i?1nn，因为

?i?{?1,0,1}，

??i?{?1,0,1}，所以?x?An，即Sn?0

An中必有3个元素，由（Ⅱ）知

n（Ⅲ）若存在n阶完美数列，则由性质1易知对出现（互为相反数），且

An中元素成

0?An，又

{an}具有性质2，则

An中3个元素必为

n3n?13n?33n?33n?1An?{?,?,??1,0,1,?,}2222。

an?3n?1

- 9 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jr35.html