广东省广州市113中2012届高三第二次月考数学(文科)试卷

最新高考经典预测模拟文科数学试卷

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113中2012届高三第二次月考考试（数学文科）（2011.10.6）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1

．函数y

）

A． ,1 B． ,1 C． 1, D． 1, 2．复数

2 i

i

A. 1 2i

（i为虚数单位）等于（ ）

B. 1 2i

C. 1 2i

D. 1 2i

3．已知命题p: x R,2x2 1 0，则（ ）

A． p: x R,2x2 1 0 C． p: x R,2x2 1 0

2

B． p: x R,2x2 1 0

D． p: x R,2x2 1 0

4．圆(x 1)2

(y 3)

1的一条切线方程是（ ）

A．x y 0 B．x y 0 C．x 0 D．y 0 5．不等式

x 3x 2

＜0的解集为（ ）

A． x 2 x 3 B． xx 2 C． xx 2或x 3 D． xx 3

6．若平面向量a (1, 2)与b的夹角是180

°，且|b| ，则b等于( ) A．( 6,3) B．(3, 6) C．(6, 3) D．( 3,6)

x y 3

7．设变量x、y满足线性约束条件 x y 1，则目标函数z 2x 3y的最小值

2x y 3

为（ ）

A.6 B.7 C.8 D.23

8．一个几何体的三视图如图1所示，其中俯视图与左视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（ ） A．

4 3

2 3

B． C． D．

3

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主（正）视图

俯视图

（图1）

左（侧）视图

（图2）

9． 执行图2中的程序框图，若p

0.8，则输出的n （ ） A．2 B．3 C．4 D． 5

10．对函数f(x) xsinx，现有下列命题： ①函数f(x)是偶函数； ②函数f(x)的最小正周期是2 ； ③点( ,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心； ④函数

f(x)在区间 0, 上单调递增，在区间 ,0

2 2

上单调递减。 其中是真命题的

是（ ）

A．①④ B．②④ C．②③ D．①③ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）

11．在等差数列 an 中，a1 a9 10，则a5的值为12．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图3： 据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在 15,30 内的人数为

（图3）

a1a0

13．已知a0 0,设方程a0x a1 0的一个根是x1,则x1

a0x ax 1

3

2

2

，方程

a 02

的两个根是x1,x2，则x1 x2

a1a0

，由此类推方程

a0x a1x a2x a3 0的三个根是x1,x2,x3，则x1 x2 x3

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（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．在极坐标系中，曲线 4(sin cos )和

2

( R)所得的弦长等于15．如图4，⊙O的直径AB 6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接

AC

，若P

C CPA A

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.(本小题12分) 在 ABC中

,cosB （1）求sinA； （

2）设BC

求CA CB值.

10

cosC

5

P

图4

17．(本小题12分)

某班主任统计本班50名学生放学回家后学习时间的数据，用条形图表示（如图）。 (1)求该班学生每天在家学习时间的平均值； (2)该班主任用分层抽样方法（按学习时间分五层）选出10个学生谈话，求在学习时间为1个小时的学生中选出的人数；

(3)假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率. 18．（本小题14分） 如图5，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC BC，

AC BC 1，CC1 2，点D

A图5

、E分别是AA1、CC1的

B

中点.

（1）求证：AE//平面BC1D； （2）证明：平面BC1D 平面BCD；

1

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19.（本小题14分） 已知椭圆

xa

22

yb

22

2

1(a b 0)的一个焦点F与抛物线y 4x的焦点重合，且截

45 的直线l过点F. （1）求该椭圆的方程；

（2）设椭圆的另一个焦点为F1，问抛物线y2 4x上是否存在一点M，使得M与F1关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由.

20.（本题满分14分） 已知函数f x

1a 1x

(a 0,x 0).

（1）求证：函数f x 在(0, )上是单调递增函数；（2）当a

25

时，求函数在[,2)

2

1

上的最值；（3）函数f x 在[1,2]上恒有f x 3成立，求a的取值范围.

21.（本小题14分）

已知数列 an 是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足

an S2n 1，n N*．数列 bn 满足bn

2

1an an 1

，Tn为数列 bn 的前n项和．

（1）求a1、d和Tn；

（2）若对任意的n N*，不等式 Tn n 8 ( 1)n恒成立，求实数 的取值范围；

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2012届高三第二次月考考试（数学文科）（2011.10.6）

答卷

一、选择题：共10小题，每小题5分，满分50分．

二、填空题：共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题为选做题，

考生只能选做一题

.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分) 解：

17. (本小题满分12分) 解：

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18(本小题满分14分) 证明：

第 6 页 共 12 页 AB

图5

1

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19．(本小题满分14分) 解：

20．(本小题满分14分) 解：

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21．(本小题满分14分) 解：

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2012届高三第二次月考考试（数学文科）（2011.10.6）

参考答案

一．选择题：

1—5：DAACA 6—10：DBBCA 二．填空题：11：5 12：100 13： 三．解答题：

16.(本小题12分) 解:（1

） cosB

cosC

5

10

B

0, , sinB

a1a0

14：4 15：30

5

10

, 1分

C

0, , sinC

2分

A (B C), sinA sin B C , 3分

6

1051052

BCACBC sinB

, AC , 8分

（2）根据正弦定理得

sinAsinBsinA

sinA

sinBcosC cosBsinC

分

AC

3, 10

分

2

CA CB CA CB cosC 35

3. 12

分

17．(本小题12分) 17.解：（1）平均学习时间为

（2）20

1050

4

20 1 10 2 10 3 5 4

50

1.8小时 4

分

8分

（3）设甲开始学习的时刻为x，乙开始学习的时刻为y，试验的全部结

果所构成的区域为 x,y x 21,18 y 20 ，面积S 2 3 6. 事件A表示“22时甲、乙正在学习”，所构成的区域为A x,y 20 x 21,19 y 20 ，面积为SA 1 1 1，这是一个几何概型，所以P A 18．（本小题14分）

（1）证明：在矩形ACC1A1中， 由C1E//AD,C1E AD

得AEC1D是平行四边形。…………………2分 所以AE//DC1， …………………4分 又AE 平面BC1D，C1D 平面BC1D，

SAS

16

12分 AB

1

图5

第 9 页 共 12 页

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所以AE//平面BC1D…………………6分

（2）证明：直三棱柱ABC A1B1C1中，BC CC1，AC BC，CC1 AC C， 所以BC 平面ACC1A1，…………………8分 而C1D 平面ACC1A1，

所以BC C1D。…………………9分

在矩形ACC1A

1中，DC DC1 CC1 2，从而DC2 DC12 CC12， 所以C1D DC， …………………10分 又DC BC C，

所以C1D 平面BCD， …………………12分 而C1D 平面BC1D，

所以平面BC1D 平面BCD …………………14分

19. 解：（1）抛物线y2 4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x 1，…………2分 ∴ a2 b2 1 ① …………………3分 又椭圆截抛物线的准线x 1， ∴ 得上交点为( 1,

11a

2

22

)，

∴

22 1 ②…………………4分 b

12

由①代入②得2b4 b2 1 0，解得b2 1或b2 从而a2 b2 1 2 …………………6分 ∴ 该椭圆的方程为

（舍去），

x

2

2

y

2

1

1 …………………7分

（2）∵ 倾斜角为45的直线l过点F，

∴ 直线l的方程为y tan45 (x 1)，即y x 1，…………………8分

由（1）知椭圆的另一个焦点为F1( 1,0)，设M(x0,y0)与F1关于直线l对称…………………9分

y0 0

x 1 1 1 则得 0 …………………10

x ( 1) y0 0

0 1

2 2

分

解得

x0 1 y0 2

，即M(1, 2) …………………11分

又M(1, 2)满足y2 4x，故点M在抛物线上。 …………………13分 所以抛物线y2 4x上存在一点M(1, 2)，使得M与F1关于直线l对称。

…………………14分

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20（本题满分14分）

解：（1）证明：设x1 x2且x1,x2 (0, ),则x2 x1 0,x1x2 0. 1分 ∵f(x2) f(x1)

(1a 1x2

) (

1a 1x1

)

x2 x1x2x1

0

，

∴f(x2) f(x1). 3分 ∴ 函数f x 在(0, )上是单调递增函数. 4分

(或用导数等其他方法) （2）当a

25

时，f x

52

1x

(x 0)；

由（1）知函数f x 在(0, )上是单调递增函数. 5分 ∴

12

f x 2 7

1

分

∴ f x 的最小值为，此时x

2

121x

；无最大值. 8分

3

（3）依题意， ∵函数g(x) ∴

1a

1x

1a

1x

3

，即

1a

在[1,2]上恒成立.

分 分

3在[1,2]上单调递减，∴g(x)max 4 11

4，又a 0. ∴0 a

14

，a的取值范围是(0,

14

]. 14

21.（本小题14分）

（1）（法一）在an2 S2n 1中，令n 1，n 2，

22

a1 S1, a1 a1,得 2 即 ………………………32

(a1 d) 3a1 3d, a2 S3,

分

解得a1 1，d 2， …………………5分

an 2n 1．

bn

12

1anan 1(1

13

1

(2n 1)(2n 1)13 15

1

1

22n 1

12n 1

(

1

12n 1n

)，

Tn

2n 1

)

2n 1

． …………7分

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（法二） an 是等差数列，

a1 a2n 1

2

a1 a2n 1

2

an

S2n 1

(2n 1) (2n 1)an． ………………3分

2

由an2 S2n 1，得 an (2n 1)an， 又 an 0， an 2n 1，则a1 1,d 2． ………………5分 (Tn求法同法一)

（2）①当n为偶数时，要使不等式 Tn n 8 ( 1)n恒成立，即需不等式

(n 8)(2n 1)

n8n

2n

8n 17

恒成立． ……………………7分

2n 8，等号在n 2时取得．

此时 需满足 25． ……………………………9分

②当n为奇数时，要使不等式 Tn n 8 ( 1)n恒成立，即需不等式

(n 8)(2n 1)

n8n

2n

8n

15恒成立． ………………11

8n

分

2n 是随n的增大而增大， n 1时2n 取得最小值 6．

此时 需满足 21． ……………………………13分

综合①、②可得 的取值范围是 21． ………………………14分

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