2013年河南省初中学业水平暨高级中等学校招生考试试卷（word解析版）

2013年河南省初中学业水平暨高级中等学校招生考试试卷

数 学

注意事项：

1. 本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟，请用蓝、黑色水笔或圆珠

笔直接答在试卷上。

2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 题号 一 1~8 二 9~15 2三 16 17 18 19 20 21 22 23 总分 b4ac?b2,) 参考公式：二次函数图像y?ax?bx?c(a?0)的顶点坐标为(?2a4a一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，

将正确答案的代号字母填在题后括号内。 1、-2的相反数是【】

（A）2 (B)??2 (C)

11 (D)? 22【解析】根据相反数的定义可知：-2的相反数为2

【答案】A

2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】

【解析】轴对称是指在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。

中心对称图形是指平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与自身重

合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称。

结合定义可知，答案是D

【答案】D

3、方程(x?2)(x?3)?0的解是【】

（A）x?2 （B）x??3 （C）x1??2,x2?3 （D）x1?2,x2??3

【解析】由题可知：x?2?0或者x?3?0，可以得到：x1?2,x2??3

【答案】D

4、在一次体育测试中，小芳所在小组8个人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50.则这8个人体育成绩的中位数是【】

（A） 47 （B）48 （C）48.5 （D）49

【解析】中位数是将数据按照从小到大的顺序排列，其中间的一个数或中间两个数的平均数就是这组数的中位数。本题的8个数据已经按照从小到大的顺序排列了，其中间的两个数是48和49，它们的平均数是48.5。因此中位数是48.5

【答案】C

5、如图是正方形的一种张开图，其中每个面上都标有一个数字。那么在原正方形中，与数字“2”相对的面上的数字是【】

（A）1 （B）4 （C）5 （D）6

【解析】将正方形重新还原后可知：“2”与“4”对应，“3”与“5”对应，“1”与“6”对应。

【答案】B

6、不等式组??x?2的最小整数解为【】

?x?2?1 （A） -1 （B） 0 （C）1 （D）2

【解析】不等式组的解集为?1?x?2，其中整数有0,1,2。最小的是0

【答案】B

7、如图，CD是?O的直径，弦AB?CD于点G，直线EF与?O相切与点D，则下列结论中不一定正确的是【】

（A）AG?BG （B）AB∥EF （C）AD∥BC （D）?ABC??ADC

【解析】由垂径定理可知：（A）一定正确。由题可知：EF?CD，又因为AB?CD，所以AB∥EF，即（B）一定正确。因为?ABC和?ADC所对的弧是劣弧?AC，根据同弧所对的圆周角相等可知（D）一定正确。

【答案】C

8、在二次函数y??x?2x?1的图像中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是【】

2 （A）x?1 （B）x?1 （C）x??1 （D）x??1

【解析】二次函数y??x2?2x?1的开口向下，所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大，二次函数y??x2?2x?1的对称轴是x??b2???1，所以，x?1 2a2?(?1)【答案】A

二、填空题（每小题3分，共21分）

9、计算：?3?4?

【解析】原式=3?2?1

【答案】1

10、将一副直角三角板ABC和DEF如图放置（其中），使点E落在AC边上，且ED∥BC，则?A?60?,?F?4?5?CEF的度数为

【解析】有图形可知：?ACB?30?,?DEF?45?。因为ED∥BC，

所以?DEC??ACB?30?,∴?CEF??DEF??DEC?45??30??15?

【答案】15

11、化简：

11?? xx(x?1)【解析】原式=

(x?1)?1x1??

x(x?1)x(x?1)x?1【答案】

1 x?112、已知扇形的半径为4㎝，圆心角为120°，则此扇形的弧长是 ㎝

【解析】有扇形的弧长公式l?n?rn?r120?4??8??? 可得：弧长l?1801801803【答案】?

8313、现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字-1，-2，3，4。把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是

【解析】任意抽取两张，数字之积一共有2，-3，-4，-6，-8，12六种情况，其中积为负数的有-3，-4，-6，-8四种情况，所以概率为

42，即 63【答案】

2 314、如图，抛物线的顶点为P(?2,2),与y轴交于点A(0,3)，若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P'(2,?2)，点A的对应

点为A，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为

'【解析】阴影部分PAA'P'可认为是一个平行四边形， PP'?[2?(?2)]2?(?2?2)2?42 过A作AB?PP',则AB?OA?sin45??3?232 ?22∴阴影部分PAA'P'的面积为S?PP'?AB?42?32?12 2【答案】12 15、如图，矩形ABCD中，AB?3,BC?4,点E是BC边上一点，连接AE，把?B沿AE折叠，使点B落在点B'处，当△CEB'为直角三角形时，BE的长为

【解析】

①当?EB'C?90?时，由题可知：?ABE??AB'E?90?,即：A,B',C在同一直线上，

B'落在对角线AC上，此时，设BE?x，则B'E?x，CE?4?x,B'C?AC?AB'?2，

在Rt?B'EC中，解得x?3 2②当?B'CE?90?时，即B'落在CD上，AB?AB'?3，此时在Rt?ADB'中， 斜边AB'大于直角边AD，因此这种情况不成立。

③当?B'EC?90?时，即B'落在AD上，此时四边形ABEB'是正方形，所以

AB?BE?3,

3 2【答案】3或三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16、（8分）先化简，再求值：

(x?2)2?(2x?1)(2x?1)?4x(x?1)，其中x??2 【解答】原式?(x2?4x?4)?(4x2?1)?(4x2?4x)

?x2?4x?4?4x2?1?4x2?4x?x2?3 当x??2时，原式=?2??2?3?5

17、从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气。某市记者为了了解“雾霾天气的主要成因”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表

组别 A B C D E 观点 频数（人数） 大气气压低，空气不流动 80 地面灰尘大，空气湿度低 m 汽车尾气排放 工厂造成的污染 其他 n 120 60 请根据图表中提供的信息解答下列问题：

（1）填空：m? ，n? ，扇形统计图中E组所占的百分比为 %。

（2）若该市人口约有100万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数

（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？

【解析】（1）由A组的频数和A组在扇形图中所占的百分比可以得出调查的总人数：

? 80?20%4 0 0 ∴m?400?10%?40，n?400?80?40?120?60?100 E组所占百分比是60?400?0.15?15%

（2）由题可知：D组“观点”的人数在调查人数中所占的百分比为

120?400?0.3?30%

∴100?30%?30（万人）

（3）持C组“观点”的概率为

1001? 4004【答案】（1）40；100；15% （2）30万人 （3）

1 418、（9分）如图，在等边三角形ABC中，BC?6cm,射线

AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，

同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)

（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：?ADE??CDF 证明：∵AG∥BC ∴?EAD??ACB ∵D是AC边的中点 ∴AD?CD

又∵?ADE??CDF ∴?ADE??CDF

（2）填空：

①当t为 s时，四边形ACFE是菱形；

②当t为 s时，以A,F,C,E为顶点的四边形是直角梯形。

【解析】①∵当四边形ACFE是菱形时，∴AE?AC?CF?EF

由题意可知：AE?t,CF?2t?6，∴t?6

②若四边形ACFE是直角梯形，此时EF?AG

过C作CM?AG于M，AG?3，可以得到AE?CF?AM，

即t?(2t?6)?3，∴t?3，

此时，C与F重合，不符合题意，舍去。

若四边形若四边形AFCE是直角梯形，此时AF?BC， ∵△ABC是等边三角形，F是BC中点，

∴2t?3，得到t?3 2 经检验，符合题意。

【答案】①t?6 ②t?3 219、（9分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某

一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角?BAE?68，新坝体的高为DE，背水坡坡角?DCE?60?。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度

?AC.

(结果精确到0.1米，参考数据：sin68??0.93,cos68??0.37,tan68??2.50,3?1.73）

【解答】

在Rt△BAE中，?BAE?68，BE=162米

?∴AE?BE162??64.80（米）

tan?BAE2.50在Rt△DEC中，?DCE?60?，DE=176.6米

∴CE?DE176.6??102.08（米）

tan?DCE3∴AC?CE?AE?102.08?64.80?37.28?37.3（米） 即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米

20、（9分）如图，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2,3)。双曲线y?k(x?0)的图像经过xBC的中点D，且与AB交于点E，连接DE。

（1）求k的值及点E的坐标；

（2）若点F是边上一点，且?FBC??DEB，求直线FB的解析式

【解答】（1）在矩形OABC中，

∵B点坐标为(2,3)，∴BC边中点D的坐标为（1,3）

又∵双曲线y?

k

的图像经过点D(1,3) x

∴3?k，∴k?3 1 ∵E点在AB上，∴E点的横坐标为2.

又∵y?

3

经过点E, x

33，∴E点纵坐标为(2,) 22 ∴E点纵坐标为

（2）由（1）得，BD?1,BE?3,BC?2, 23BDBE1? ∵△FBC∽△DEB，∴，即?2。 CFCBCF2∴CF?455，∴OF?，即点F的坐标为(0,) 333设直线FB的解析式为y?k1x?b，而直线FB经过B(2,3),F(0,)

532?k??3?2k1?b??13?∴?5，解得?

5?b?b???3?3?∴直线FB的解析式为y?25x? 3321、（10分）某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元。

（1）求这两种品牌计算器的单价；

（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售。设购买个A品牌的计算器需要元，购买个B品牌的计算器需要元，分别求出关于的函数关系式‘

（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由。

【解答】（1）设A品牌计算机的单价为x元，B品牌计算机的单价为y元，则由题意可知：

?2x?3y?156??3x?y?122?x?30 ??y?32?即A，B两种品牌计算机的单价为30元，32元

（2）由题意可知：y1?0.8?30x，即y1?24x

当0?x?5时，y2?32x

当x?5时，y2?32?5?32(x?5)?0.7，即y2?22.4x?48

（3）当购买数量超过5个时，y2?22.4x?48。

①当y1?y2时，24x?22.4x?48,?x?30

即当购买数量超过5个而不足30个时，购买A品牌的计算机更合算

②当y1?y2时，24x?22.4x?48,?x?30

即当购买数量为30个时，购买两种品牌的计算机花费相同。

③当y1?y2时，24x?22.4x?48,?x?30

即当购买数量超过30个时，购买B品牌的计算机更合算

22、（10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中 ?C?90?,?B??E?30.?（1）操作发现

如图2，固定?ABC，使?DEC绕点C旋转。当点D恰好落在AB边上时，填空：

① 线段DE与AC的位置关系是 ； ② 设?BDC的面积为S1，?AEC的面积为S2。则

S1与S2的数量关系是 。

【解析】①由旋转可知：AC=DC，

∵?C?90?,?B??E?30?，∴?A??D?60?

∴△ADC是等边三角形，∴?ACD?60?,又∵?CDE?60? ∴DE∥AC

②过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F。

由①可知：△ADC是等边三角形,DE∥AC，∴DN=CF,DN=EM

∴CF=EM

∵?C?90?,?B?30?，∴AB?2AC,又∵AD?AC

∴BD?AC

∵S1?11CF?BD S2?AC?EM ∴S1=S2 22（2）猜想论证

当?DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了?BDC和?AEC中BC,CE边上的高，请你证明小明的猜想。

【证明】∵?DCE??ACB?90?,??DCM??ACE?180?

又∵?ACN??ACE?180?,??ACN??DCM

又∵?CNA??CMD?90?,AC?CD

∴△ANC≌△DMC ∴AN=DM

又∵CE=CB,∴S1?S2

（3）拓展探究

已知?ABC?60?，点D是其角平分线上一点，

BD?CD?4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S?DCF?S?BDC,请直接写出相应的BF的长 ．．．．

BA于点F1,作DF2?BD交BA于点F2。 【解析】如图所示，作DF1∥BC交

按照（1）（2）求解的方法可以计算出

BF1?4383 BF2? 331x?2交于C,D两点，其中点223、（11分）如图，抛物线y??x2?bx?c与直线y?7C在y轴上，点D的坐标为(3,)。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE?x2轴于点E，交CD于点F.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以

O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。

（3）若存在点P，使?PCF?45?，请直接写出相应的点P的坐标

【解答】（1）∵直线y?1x?2经过点C,∴C(0,2) 22 ∵抛物线y??x?bx?c经过点C(0,2)，D(3,)

72?2?c? ∴?7??32?3b?c??27??b???2 ??c?22 ∴抛物线的解析式为y??x?7x?2 2（2）∵点P的横坐标为m且在抛物线上

∴P(m,?m?271m?2),F(m,m?2) 22 ∵PF∥CO，∴当PF?CO时，以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形

① 当0?m?3时，PF??m?271m?2?(m?2)??m2?3m 22∴?m?3m?2，解得：m1?1,m2?2

2即当m?1或2时，四边形OCPF是平行四边形

② 当m?3时，PF?(m?2)?(?m?1227m?2)?m2?3m 2m2?3m?2，解得：m1?3?173?17（舍去） ,m2?22即当m1?3?17时，四边形OCFP是平行四边形 2（3）如图，当点P在CD上方且?PCF?45?时，

作PM?CD,CN?PF,则

△PMF∽△CNF，∴

PMCNm???2

1MFFNm2 ∴PM?CM?2CF

∴PF?5FM?5CF?5?555CN?CN?m 22222 又∵PF??m?3m ∴?m?3m?5m 2 解得：m1?117，m2?0（舍去） ∴P(,)。 2222313,) 618同理可以求得：另外一点为P(

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