通信原理课后习题

模块01 数字通信概论

1-1 已知二进制信源(0,1),若1符号出现的概率为解：由题意知0出现的概率为 I(0)??log23?0.415bit 41,求出现0符号的信息量。 43，0符号出现携带的信息量为： 4

1-2 某4ASK系统的四个振幅值分别为0,1,2,3，这四个振幅是相互独立的。

1111（1） 振幅0,1,2,3出现的概率分别为,,,，求每个振幅的信息量和各

2488种振幅信息的平均信息量。

（2） 设每个振幅的持续时间（码元宽度）为2?s，求此系统的信息速率。 解：（1）每个振幅的信息量如下：

1I(0)??log2?1bit21I(1)??log2?2bit4

1I(2)??log2?3bit81I(3)??log2?3bit8 各种振幅的平均信息量为：

111111 H??log2?log2?log2?0.5?0.5?0.75?1.75bit/symbol

2244481?1.75?875kb/s （2）Rb?RB?H??62?10

1-3 某4PSK数字通信系统用正弦波的四个相位0，?2,?,3?2来传输信息，设这四个相位是相互独立的。

（1） 若每秒钟内0，?2,?,3?2出现的次数分别为500,125,125,250，求此

数字通信系统的码元速率和信息速率。

（2） 若每秒钟内这四个相位出现的次数均为250，求此数字通信系统的码

元速率和信息速率。

解：（1）RB?500?125?125?250?1000B

500500125125125125250250H??log?log2?log2?log210002100010001000100010001000100011111111131??log2?log2?log2?log2????1.75bit/symbol22888844242Rb?RB?H?1000?1.75?1.75kb/s

（2）

RB?250?4?1000B11H?4(?log2)?2bit/symbol

44Rb?RB?H?1000?2?2kb/s

1-4 某4PSK数字通信系统，码t元速率为1000B，连续工作1小时后，接收端收到的错码为10个，试求此系统的误码率。 解：连续工作1小时后，系统的误码率为：

P?10e1000?3600?2.78?10?6

1-5 某系统经长期测定，它的误码率Pe?10?5，系统码元速率为1200B，问在多

少时间内可能收到360个错误码元。

解：t?36010?5?1200?3?104秒?8.3小时

模块02 信号

2-1 试求下列概率密度函数的数字期望和方差：

? （1）f(x)??1?2a,?a?x?a

??0,其他?2 （2）f(x)??1??2ae?xax?0

?0,其他解：（1）E(X)??axf(x)dx??ax1?a?a2adx?14a[x2]a?a?0

E(X)??a2a21?axf(x)dx???ax2adx?16a[x3]aa22?a?3 D(X)?E(X)?E(X)?a2 223

（2）

E(X)???????x2x2adx???1?x2a10xf(x)dx??0x12ae??10?4de[e?a4]?0?4x2

E(X2)????0x212ae?adx?12a?2!a?a1!(2)3?8（根据积分公式：?x2ne?x2/a2dx??2n!a2n?1n!(2)）

D(X)?E(X2)?E2(X)??a12?a?18?16?16

2-2 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数及功率谱密度函数分别为RX(?),RY(?),PX(?),PY(?),试求Z(t)?X(t)Y(t)的自相关函数和功率谱密度。

解：RZ(?)?E[Z(t)Z(t??)]?E[X(t)Y(t)X(t??)Y(t??)]?RX(?)?RY(?)

1[PX(?)?PY(?)] PZ(?)?2?

2-3 设Z(t)?Xcos?Ct?Ycos?Ct是一随机过程，若X和Y彼此统计独立，且均值都为0，方差均为?2的高斯随机变量，试求： （1）Z(t)的均值和方差。

（2）Z(t)的一维概率密度函数。 （3）Z(t)的自相关函数。 解：（1）

E[Z(t)]?E[Xcos?ct?Ycos?ct]?E[X]cos?ct?E[Y]cos?ct?0222D[Z(t)]?D[Xcos?ct?Ycos?ct]?cos?ct[D[X]?D[Y]]?2cos?ct?（2）Z(t)为两高斯随机过程的线性组合，也为一高斯过程，概率密度如下： f(z)?12?cos(?ct)??z24cos2(?ct)?2

e

（3）

R[Z(t1,t2)]?E[(Xcos?ct1?Ycos?ct1)(Xcos?ct2?Ycos?ct2)]??E[X2cos?ct1cos?ct2?2XYcos?ct1cos?ct2?Y2cos?ct1cos?ct2] ?2?2cos(?ct1)cos(?ct2)

2-4 当均值为0，双边功率谱密度为n02的白噪声通过如图所示的RC低通滤波器时，试求输出噪声的功率谱密度和自相关函数。

输入 R C 输出

解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：

?j?t??ked,f?fHH(f)??

??0,其它处

所以有:

H(f)?k2,f?fH

2

输出信号的功率谱密度为:

PY(f)?H(f)PX(f)?k22n0,f?fH 2

输出信号的自相关函数:

RY(?)??PY(f)ej??df?(k2n0/4?)????fH?fHej??df?k2n0fH(sin2?fH?/2?fH?)

模块03 信道

3-1 简述窄带高斯白噪声中的“窄带”、“高斯”和“白”的含义。 答：“窄带”是系统的频带比起中心频率小得多；“高斯”是指噪声的概率密度函数服从正态分布；“白”是指噪声的功率谱密度函数是常数。

3-2 信道中常见的起伏噪声有哪些？其统计特性如何？

答：起伏噪声是一种持续波随机噪声，例如热噪声、散弹噪声和宇宙噪声等。起伏噪声（特别是热噪声）具有很宽的带宽，且始终存在，它是影响通信系统性能的主要因素。

3-3 已知有线电话信道的带宽为4KHz。

（1）试求信道输出信噪比为20dB时的信道容量。

（2）若在该信道中传送33.6kb/s的数据，试求接收端要求的最小信噪比。

S解：（1）由题意知?20dB?100,由信道容量的公式有：

NS C?Blog2(1?)?4000log2(1?100)?2.663?104?26.63kb/s

N （2）最小信噪比应为：

33.6S ?24?1?336.794

N3-4 假设彩色电视图像由5?105个像素组成，每个像素有64种颜色，每种颜色有16个灰度级，若所有颜色和灰度级的组合机会均等，且统计独立。 （1）试求每秒传送25个画面所需的信道容量。

（2）如果接收端信噪比为30dB,试求传送彩色图像所需的信道带宽。 解：（1）每个像素的信息量为：

1?10bit IP??log264?16 每秒25个画面所含的信息量为：25?5?105?10?125Mb/s 此时信道容量至少为：C?125Mb/s

S（2）由信道容量公式：C?Blog2(1?)有：

NC125??12.54MHz B?Slog21001log2(1?)N

模块05 模拟信号的数字化传输

5-1 一个信号s(t)?2cos400?t?6cos40?t，用fs?500Hz的抽样频率对它进行理想抽样，若抽样后的信号经过一个截止频率为400Hz的理想低通滤波器，输出端会有哪些频率成分？

解：原始信号含有两个频率成分f1?20Hz,f2?200Hz，抽样信号的频谱是连续信号的周期延拓，周期为500Hz，经过理想低通滤波器后，存在的频率成分有：20Hz,200Hz,300Hz.

5-2 语音信号的带宽在300~3400Hz之间，假设采用fs?8000Hz对其抽样，若输出端所需的峰值信号功率与平均量化噪声功率的比值为30dB，试问均匀量化最小需要多少个电平？每个样值最少需要几个比特？

解：设最小需要L个量化电平，每个样值最少需要N比特，则有：

Sq?20lgLNq 即：30?20lgL

L?322N?L又由

L?32,N?5

5-3 已知模拟信号抽样值的概率密度函数f(x)如下图所示。 （1）若按8电平进行均匀量化，试确定量化间隔和量化电平。 （2）若按4电平进行均匀量化，试计算信号与量化噪声功率比。

f(x) 1 -1 0 1 x

解：（1）按8电平进行均匀量化，量化间隔为??0.25，量化电平为

{-0.875，-0.625，-0.375，-0.125,0.125,0.375,0.625,0.875}。

（2）按4电平进行均匀量化，信号功率Sq、噪声功率Nq如下： Sq??xf(x)dx??x(x?1)dx??x2(1?x)dx??1?10120211?0.1667 6

Nq???0.5?1(x?0.75)2(x?1)dx??10.50?0.5(x?0.25)2(x?1)dx?

?0.0026041?0.0078225?0.0078125?0.00260125?0.02084

Sq0.1667??8 Nq0.02084

5-4已知正弦波信号的最高频率fm?4kHz，试分别设计一个PCM系统，使系统的输出量化信噪比满足30dB的要求，求系统的信息速率。

解：由信号的最高频率fm?4kHz，根据抽样定义选取抽样频率为

0?0.5(x?0.25)2(1?x)dx??(x?0.75)2(1?x)dx fs?2.2fm?8.8kHz 设对抽样值最小采用L个量化值，有：

Sq ?20lgL?30dB,则L?32

Nq 每个量化值至少需要N个二进制码进行编码，则有：

2N?L,现在L?32，则N?5

这个PCM系统的信息速率为：

Rb?8800?5?log22?4.4Mb/s

5-5 已知语音信号的最高频率fm?3400Hz，若用PCM系统传输，要求量化信噪比为30dB，试求该PCM系统的带宽。 解：由量化信噪比有：

Sq ?20lgL?30

Nq最小量化级L?32

每个量化值需N位 二进制进行编码有：

2N?L,N?5系统带宽：B?N?fm?5?3400?17kHz

5-6 设有离散无记忆信源X为

?x??x1x2x3x4x5x6???P(x)?????0.30.20.20.10.10.1?? ????（1） 计算该信源的熵；

（2） 用霍夫曼编码方法对此信源进行编码； （3） 计算平均码长，并讨论霍夫曼编码的效率。 解：（1）

H(x)???p(xi)log2p(xi)??0.3log20.3?0.4log20.2?0.3log20.1?2.446

i?16（2）

x1码字：11 x4码字：010 x2码字：10 x5码字：001

x3码字：011 x6码字：000 （4） 平均码长为：

l?0.3?2?0.2?2?0.2?3?0.1?3?3?2.5

编码效率为： H(x)2.446 ?????97.84%

2.5l

?模块07 数字信号的基带传输

7-1 设输入码流为{1100101010},试将其编码为（1）双相码，（2）CMI码和

（3）AMI码，并画出响应的波形。 解：

7-2 设输入码流为{0100110000}，试将其编码为HDB3码，并画出其波形图。

解：

7-3 设某基带系统的频率特性是截止频率为1MHz、幅度为1的理想低通滤波器。

（1）试根据系统无码间串扰的时域条件，求此基带系统无码间串扰的码速率。（2）若信息传输速率3Mb/s，该系统能否实现无码间串扰？ 解：

（1）理想低通滤波器的幅频特性为：

1?1,f??2TS H(f)???0,其它??t冲激响应为：h(t)?Sa()

Ts滤波器截止频率为：

11?106Hz，则?2?106 fc?2TsTs理想低通滤波器实现无码间串扰的最大码元速率为：

1RBmax??2?106Baud

Ts （2）若信息传输速率为：Rb?3?106b/s

若传送的是二进制码元，则有RB?Rb?3?106Baud?RBMAX，系统不能实现无码间串扰。

若传送的是四进制码元，则有RB?Rblog24?1.5?106Baud?RBMAX，系

统能实现无码间串扰。其它进制类推。

7-4 某给定低通型信道的带宽为3000Hz，在此信道上进行基带传输，当基带形成滤波器特性分别为理想低通、50%升余弦滚降、100%升余弦滚降时，确定无码间串扰传输的最高码速率及相应的频带利用率。

解：对于升余弦滚降系统，所需带宽与码元传输速率的关系为：

1W?(1?a)RB

2(1) 理想低通时，a?0

最大码元速率为：RB?2W?6000Baud

RB?2B/Hz W（2）a?50%升余弦滚降

2W6000??4000Baud 最大码元速率为：RB?频带利用率为：??1.51.5R4000?1.33B/Hz 频带利用率为：??B?W3000（3）a?100%生余弦滚降

2W?3000Baud 最大码元速率为：RB?2频带利用率为：??

RB?1B/Hz W模块08 数字信号的频带传输

8-1 设发送数字信息为011011100010，试分别画出2ASK、2FSK、2PSK和2DPSK信号的波形。 解：

8-2 在某2FSK系统中，发送符号“1”的频率f1?980Hz，发送符号“0”的频率f2?2180Hz,且发送概率相等，码元速率为RB?300B,信道有效带宽为3000Hz，信道输出端的信噪比为6dB. (1) 试求2FSK信号的谱零点带宽。

(2) 若采用非相干解调，试求系统的误码率。 (3) 若采用相干解调，试求系统的误码率。 解：（1）2FSK信号的谱零点带宽为：

1 B?f2?f1?2fs?2180?980?2?1200?2RB?1200?600?1800Hz

Ts（2）若采用非相干解调，系统误码率为：

r1?21?31 Pe?e?e?3=0.0249

222e （3）若采用相干解调，系统误码率为：

1r131erfc()?erfc()?erfc(1.2247)?0.035 22222（查表知erfc(1.28)?0.07026580）

8-3 假设在4KHz带宽的电话信道中分别采用2ASK、2FSK和2PSK方式传输，发送载波幅度为10V，电话信道衰减为1dB/km,n0?1?10?8W/Hz，要求系统 Pe?误码率为10?5。若采用相干解调，试分别求2ASK、2FSK和2PSK能达到的最大通信距离。 解：(1)2ASK系统

接收机噪声功率为N?n0?B2ASK?10?8?4000?4?10?5W,误码率都保持在10?5时，即相干解调Pe?1rerfc()?10?5，查表求得r?36.13，信号功率22,

信

号

幅

度

为

：

为：

S?36.13?4?10?5?144.5?10?5Wa?2S?2?144.5?10?5V?5.38?10?2V,由10V衰减到5.38?10?2V，衰减的

10?45.3dB,故2ASK信号最远传输距离为分贝（dB）数为20lg?25.38?1045.4km。

（2）2FSK系统

接收机上、下之路带通滤波器的带宽为2kHz。接收机噪声功率为N?n0?B2FSK?10?8?2000?2?10?5W，误码率都保持在10?5时，即相干解调 Pe?1rerfc()?10?5,查表求得r?18.07，信号功率为： 22S?18.07?2?10?5?36.14?10?5W

信号幅度为：a?2S?2?36.14?10?5V?2.69?10?2V

由10V衰减到2.69?10?2V，衰减的分贝（dB）数为

1020lg?51.4dB,故2FSK信号传输距离为51.4km. ?22.69?10

(3)2PSK系统

接收机噪声功率为N?no?B2PSK?10?8?4000W?4?10?5W,误码率都保持

1在10?5时，即相干解调Pe?erfc(r)?10?5，查表求得r?9，信号功率为：

2S?9.035?4?10?5W?36.14?10?5W,可见2PSK信号传输距离与2FSK的相同，为51.3km.

模块09 数字复用技术 9-1 对于标准PCM30/32路制式基群系统，试计算： （1）每个时隙时间宽度； （2）每帧时间宽度； （3）信息传输速率； （4）每比特时间宽度。 解：（1）每个时隙时间宽度为

125?3.9?s tC?32（2）每帧时间宽度为 Ts?1/8000?125?s （3）信息传输速率为

Rb?8000?32?8?2048kb/s

11 或 Rb???2048kb/s

tb0.488（4）每比特时间宽度

3.9?0.488?s tb?89-2 有32路模拟话音采用时分复用PCM方式传输。每路话音信号带宽为4kHz,采用奈奎斯特速率抽样和每样值8比特编码，PCM脉冲宽度为?。占空比为100%。试计算脉冲宽度?。

解：抽样频率为fs?2fH?8kHz

总码率为：32?fs?8?2048kb/s

1?488ns 占空比为100%，则??Ts?2048?103

模块10 数字信号的最佳接收 10-1 什么是最佳接收？最佳接收准则是什么？

答：最佳接收就是研究在噪声干扰的情况下如何有效地检测信号，最佳接收理论又称为信号检测理论。

最佳接收准则是最大信噪比接收准则和最小差错概率接收准则。

10-2 简述匹配滤波器的工作原理，并说明匹配滤波器的传输函数和单位冲激响

应与输入信号的关系。

答：线性滤波器对接收信号滤波时，使抽样时刻上输出信号信噪比最大的线

性滤波器称为匹配滤波器。

匹配滤波器的传输特性为： H(f)?kS*(f)e?j2?ft0

其中S(f)为输入信号的傅里叶变换。 匹配滤波器的冲激响应： h(t)?ks(t0?t)

其中s(t)为输入信号。

10-3 什么是最小差错概率准则？什么是似然比准则？什么是最大似然比准则？

三者之间有什么相同和不同之处？

答：使输出总的错误概率最小的接收准则称为最小差错概率准则。

Pe?P(1)Pe1?P(0)Pe0

似然比准则为：

P(1)f0(r) ?,判为1 P(0)f1(r) P(1)f0(r)?,判为0

P(0)f1(r)

2其中： ?1Ts?1??f(r)?exp?r(t)?s(t)dt??00 k?0n?0?2??n

2?1Ts?1

??f1(r)?exp?r(t)?s(t)dt??1k?0 n0??2??n

最大似然比准则为：P(1)?P(0)时

若f0(r) > f1(r)，则判为“0” 若f0(r) < f1(r)，则判为“1”

????

模块12 信道编码

12-1已知八个码组为000000,001110,010101, 011011,100011, 101101, 110110, 111000.

（1）试求该码组的最小码距。

（2）若该码用于检错，能检出几位错码？ （3）若该码用于纠错，能纠正几位错码？

（4）若该码同时用于检错和纠错，能检出、纠正几位错码？ 解：（1）通过计算该码组的最小码距为d0?3 （2） 因为d0?2?1，所以该码组能检出2个错码。 (3) 因为d0?2?1?2，所以该码组能纠正1位错码。

（4）因为d0?1?1?1，所以该码组能检出1位错码、纠正1位错码。

12-2 已知某循环码的监督矩阵为：

?1101100?? 1110010 H??????0111001??（1）试求其生成矩阵。

（2）写出所有可能的码组。 解：（1）有监督矩阵可知此循环码为（7,4）线性分组码。根据生成矩阵和监督矩阵的关系，可求出生成矩阵为：

?1000110??0100111?? G???0010011???0001101?? （2）设所有可能的信息元为M,M中每一行为一种可能的信息元，共16行即16种所有可能的信息元。M与生成矩阵G相乘，可得所有码组A。矩阵A中每一行就是一个码组，共有16个可能的码组。

MG?A?0000??0?0001??0????0010??0???0011???0?0100??0???0101???0?0110??1000110??0??????0111??0100111??0?1000????0010011???1??????1001??0001101??1???1010???1?1011??1???1100???1?1101??1???1110???1?1111??1???

12-3 已知（7,4）码的生成矩阵为：

?1000?0100G???0010??0001000000?001101??010011??011110?100111??101010?110100??111001?000110??001011??010101?011000??100001?101100??110010? 111111??110110111?1?? 1??0?

（1）写出所有可能的码组。 （2）试求其监督矩阵。 解：（1）略。（同12-2同理）

（2）根据生成矩阵和监督关系，知监督矩阵为：

?1101100?? 1011010 H??????1110001??12-4 设线性码的生成矩阵为：

?001011?? 100101 G??????010110??（1） 写出监督矩阵，确定（n,k）码中的n和k。 （2） 写出该（n,k）码的所有码字。

（3） 确定最小码距d0，并分析其检纠错能力。 （4）

解：通过分析知该生成矩阵不是典型的生成矩阵，可通过矩阵运算，将其转变成典型生成矩阵，为：

?100101?? 010110 G??????001011??（1） 该码组为（6,3）线性分组码，监督矩阵为： ?110100?? 011010 H??????101001??（2） 该码组中信息位为3为，所有可能的信息为23?8种，写成矩阵M，M为8行3列的矩阵，M乘以生成矩阵G得矩阵A，A中每行为一码组，所有可能的码组共8个，所以A为8行6列的矩阵。详细如下： MG?A ?000??000000??001??001011??????010??010110????100101???011011101?????010110???

??100101??100??001011???????101110?101?????110??110011??????111???111000????(3)根据线性分组码的封闭性，最小码距等于码组的最小码重。这组码的最小码距为d0?3，能检测2位错码，能纠正1位错码，能同时检测1位错码和纠正1位错码。

12-5 已知（15，,11）汉明码的生成多项式为g(x)?x4?x3?1，试求其生成矩阵和监督矩阵。 解：

?x14?x13?x10??110010000000000??13?011001000000000?129?x?x?x????12118?x?x?x??001100100000000??11??107?000110010000000x?x?x????1096?x?x?x??000011001000000?????G(x)??x9?x8?x5?G??000001100100000?

?x8?x7?x4??000000110010000?????763?x?x?x??000000011001000??652??000000001100100?x?x?x????54?x?x?x??000000000110010??4???3x?x?1000000000011001????可将G矩阵不是典型的生成矩阵，通过矩阵运算可得生成典型生成矩阵。

?100000000001100??010000000000110????001000000000011???000100000001101???000010000001010???G??000001000000101?

?000000100001110????000000010000111??000000001001111????000000000101011????000000000011001?监督矩阵为：

?100110101111000??110101111000100?? H???011010111100010???001101011110001??12-6已知（7,3）循环码的监督关系式为： ?a6?a3?a2?a1?0?a?a?a?a?0?5210 ?a?a?a?051?6??a5?a4?a0?0试求其循环码的监督矩阵和生成矩阵。 解：由监督关系式有： HAT?0

??a6???a??1001110?5??0??0100111???a4???1100010?????a?3???0?

?0110001???0???a2??a???0???1??a0??由矩阵的初等变换可得典型监督矩阵

??1011000?H??1110100???1100010?? ?0110001??根据监督矩阵和生成矩阵的关系可得生成矩阵为：

?1001110?G???0100111? ?0011101????12-7 已知（15,5）循环码的生成多项式为g(x)?x10?x8?x5?x4?x?1，（1）试求该码的生成矩阵；

（2）写出信息码为 m(x)?x4?x?1 时的码多项式。 解：（1）由生成多项式可得生成矩阵为：

??x14?x12?x9?x8?x5?x4??x13?x11?x8?x7?x4?x3?G(x)???x12?x10?x7??x6?x3?x2?

?x11?x9?x6?x5?x2?x????x10?x8?x5?x4?x?1????101001100110000?010100110011000?G????001010011001100??

?000101001100110????000010100110011??(2)由信息码多项式得信息码元为m=（10011）,mG=A

??101001100110000?010100110011000??10011?????001010011001100???000101001100110????000010100110011???101110001100101? 由码组可得码多项式为：

T(x)?x14?x12?x11?x10?x6?x5?x2?1

=

http://cs.fjzs.edu.cn/ketang/txyl/txtexts/txxitiwb/txli7.htm

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