北师大版高中数学必修二模块综合测评(二).docx
更新时间:2023-12-29 16:05:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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模块综合测评(二) 必修2(北师大版)
(时间:90分钟 满分:120分) 第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共10小题,共50分.
1.如图所示,△ABC为正三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面3
ABC且3AA′=2BB′=CC′=AB,则多面体ABC-A′B′C′的正视图(左视时沿AB方向)是( )
A
B
C
D
解析:几何体的正视图是该几何体从前向后的正投影. 答案:D
2.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观3
图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=2,那么原△ABC中∠ABC的大小是( )
A.30° C.60°
B.45° D.90°
解析:根据“斜二测画法”可得BC=B′C′=2,AO=2A′O′=3. 故原△ABC是一个等边三角形. 答案:C
4
3.已知直线l的倾斜角为α,若cosα=-5,则直线l的斜率为( ) 3A.4 3C.-4
4B.3 4D.-3 4333
解析:由cosα=-5得sinα=5,所以tanα=-4,即直线l的斜率为-4. 答案:C
4.点A(3,-2,4)关于点(0,1,-3)的对称点的坐标为( ) A.(-3,4,-10) 11??3??,-C.22,2? ?
B.(-3,2,-4) D.(6,-5,11)
解析:设点A关于点(0,1,-3)的对称点的坐标为A′(x0,y0,z0),则
??-2+y
?2=1,?4+z
?2=-3,
00
3+x0
2=0,
x0=-3,??
∴?y0=4,??z0=-10.
∴A′(-3,4,-10). 答案:A
5.已知平面α,β和直线a,b,若α∩β=l,a?α,b?β,且平面α与平面β不垂直,直线a与直线l不垂直,直线b与直线l不垂直,则( )
A.直线a与直线b可能垂直,但不可能平行 B.直线a与直线b可能垂直,也可能平行 C.直线a与直线b不可能垂直,但可能平行 D.直线a与直线b不可能垂直,也不可能平行
解析:①当a∥l;b∥l时,a∥b;②当a与b在α内的射影垂直时a与b垂直.
答案:B
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱BB1、B1C1
的中点,若∠CMN=90°,则异面直线AD1和DM所成角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析:因为MN⊥DC,MN⊥MC, 所以MN⊥面DCM.
所以MN⊥DM.因为MN∥AD1, 所以AD1⊥DM. 答案:D
7.若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体的体积是( )
A.2 cm3 C.6 cm3
B.4 cm3 D.12 cm3
解析:由三视图知该几何体为三棱锥,它的高等于2,底面是等腰三角
11
形,底边边长等于3,底边上的高为2,所以几何体的体积V=3×2×3×2×2=2(cm3).
答案:A
8.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx-2y=0的两个交点恰好关于y轴对称,则k=( )
A.0 B.1 C.2
D.3
解析:由???y=kx+1,
??x2+y2+kx-2y=0,
得(1+k2)·x2+kx-1=0, ∵两交点恰好关于y轴对称. ∴xxk
1+2=-1+k2=0.
∴k=0. 答案:A
9.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=2,∠=∠BSC=45°,则棱锥S-ABC的体积为( )
A.3
3 B.233 C.433
D.533 解析:如图所示,连接OA,OB(O为球心).
ASC
∵AB=2,
∴△OAB为正三角形.
又∵∠BSC=∠ASC=45°,且SC为直径, ∴△ASC与△BSC均为等腰直角三角形. ∴BO⊥SC,AO⊥SC. 又AO∩BO=O, ∴SC⊥面ABO.
∴VS-ABC=VC-OAB+VS-OAB 1=3·S△OAB·(SO+OC) 13
=3×4×4×4 43
=3,故选C. 答案:C
10.若直线y=x+b与曲线y=3-4x-x2有公共点,则b的取值范围是( )
A.[-1,1+22] C.[1-22,3]
B.[1-22,1+22] D.[1-2,3]
解析:曲线y=3-4x-x2表示圆(x-2)2+(y-3)2=4的下半圆,如图所示,当直线y=x+b经过点(0,3)时,b取最大值3,当直线与半圆相切时,
|2-3+b|
b取最小值,由=2?b=1-22或1+22(舍),故bmin=1-22,
2b的取值范围为[1-22,3].
答案:C
第Ⅱ卷(非选择题,共70分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
11.已知两条平行直线的方程分别是2x+3y+1=0,mx+6y-5=0,则实数m=__________.
231
解析:由于两直线平行,所以m=6≠,∴m=4.
-5答案:4
12.将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面),所得几何体的表面积为__________.
93
解析:原正四面体的表面积为4×4=93,每截去一个小正四面体,3
表面减小三个小正三角形,增加一个小正三角形,故表面积减少4×2×4=23,故所得几何体的表面积为73.
答案:73
13.已知一个等腰三角形的顶点A(3,20),一底角顶点B(3,5),另一顶点C的轨迹方程是__________.
解析:设点C的坐标为(x,y),则由|AB|=|AC|得?x-3?2+?y-20?2=
?3-3?2+?20-5?2,
化简得(x-3)2+(y-20)2=225.
因此顶点C的轨迹方程为(x-3)2+(y-20)2=225(x≠3). 答案:(x-3)2+(y-20)2=225(x≠3)
14.已知m,l是直线,α、β是平面,给出下列命题:
①若l垂直于α内的两条相交直线,则l⊥α;②若l平行于α,则l平行α内所有直线;③若m?α,l?β,且l⊥m,则α⊥β;④若l?β,且l⊥α,则α⊥β;⑤若m?α,l?β,且α∥β,且m∥l.
其中正确命题的序号是__________(把你认为正确的命题的序号都填上).
解析:通过正方体验证. 答案:①④
三、解答题:本大题共4小题,满分50分.
15.(12分)△ABC中,A(0,1),AB边上的高线方程为x+2y-4=0,AC边上的中线方程为2x+y-3=0,求AB,BC,AC边所在的直线方程.
解:由题意知直线AB的斜率为2, ∴AB边所在的直线方程为2x-y+1=0. (4分)
?1?
直线AB与AC边中线的交点为B?2,2?,
?
?
设AC边中点D(x1,3-2x1),C(4-2y1,y1),
??2x1=4-2y1,
∵D为AC的中点,由中点坐标公式得?
??2?3-2x1?=1+y1,
∴y1=1,∴C(2,1),
∴BC边所在的直线方程为2x+3y-7=0, (8分)
AC边所在的直线方程为y=1.(12分)
16.(12分)如图,在三棱锥S-ABC中,已知点D、E、F分别为棱AC,SA,SC的中点.
(1)求证:EF∥平面ABC;
(2)若SA=SC,BA=BC,求证:平面SBD⊥平面ABC. 证明:(1)∵EF是△SAC的中位线,∴EF∥AC. 又∵EF?平面ABC,AC?平面ABC, ∴EF∥平面ABC.(6分)
(2)∵SA=SC,AD=DC,∴SD⊥AC, 又∵BA=BC,AD=DC,∴BD⊥AC,
又∵SD?平面SBD,BD?平面SBD,SD∩DB=D, ∴AC⊥平面SBD,(10分) 又∵AC?平面ABC, ∴平面SBD⊥平面ABC.(12分)
17.(12分)已知点P(2,0),及圆C:x2+y2-6x+4y+4=0. (1)当直线l过点P且与圆心C的距离为1时,求直线l的方程; (2)设过点P的直线与圆C交于A、B两点,当|AB|=4时,求以线段AB为直径的圆的方程.
解:(1)当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则方程为y-0=
|3k-2k+2|3
k(x-2),又圆C的圆心为(3,-2),r=3,由=1?k=-4. k2+1
(4分)
3
所以直线l的方程为y=-4(x-2),即3x+4y-6=0,当k不存在时,l的方程为x=2,符合题意.(6分)
(2)由弦心距d=
?|AB|?2
r-?2?=5,
??
2
又|CP|=5,知P为AB的中点,故以AB为直径的圆的方程为(x-2)2
+y2=4.(12分)
18.(14分)多面体P-ABCD的直观图及三视图如图所示,其中正视图、侧视图是等腰直角三角形,俯视图是正方形,E、F、G分别为PC、PD、BC的中点.
(1)求证:PA∥平面EFG; (2)求三棱锥P-EFG的体积.
(1)证明:方法一:如图,取AD的中点H,连接GH,FH.
∵E,F分别为PC,PD的中点, ∴EF∥CD.(2分)
∵G、H分别为BC、AD的中点,∴GH∥CD. ∴EF∥GH.
∴E,F,H,G四点共面.(4分) ∵F,H分别为DP、DA的中点, ∴PA∥FH.
∵PA?平面EFG,FH?平面EFG, ∴PA∥平面EFG.(6分)
方法二:∵E,F,G分别为PC,PD,BC的中点. ∴EF∥CD,EG∥PB.(2分) ∵CD∥AB, ∴EF∥AB.
∵PB∩AB=B,EF∩EG=E, ∴平面EFG∥平面PAB. ∵PA?平面PAB, ∴PA∥平面EFG.(6分)
(2)解:由三视图可知,PD⊥平面ABCD, 又∵GC?平面ABCD, ∴GC⊥PD.
∵四边形ABCD为正方形, ∴GC⊥CD. ∵PD∩CD=D, ∴GC⊥平面PCD.(8分) 11
∵PF=2PD=1,EF=2CD=1, 11
∴S△PEF=2EF·PF=2.(10分) 1
∵GC=2BC=1, ∴VP-EFG=VG-PEF 1
=3S△PEF·GC 11=3×2×1 1
=6.(14分)
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