数学立体几何主题教研“课堂教学有效性”记

直线和平面所成的角主题教研“课堂教学有效性”记要

——黄山市田家炳实验中学数学备课组

教研活动简述

目前，数学教学内容在不断增加，教学要求在不断提高，而课时却在减少，如何解决这个问题呢？我校的学生基础又较差，部分学生缺乏外在的数学学习动力，作为一线教师的我们一直在寻找行之有效的教学手段，激发学生内在的数学学习兴趣，提高数学教学的有效性。我们以《§9.7直线和平面所成的角（1）》为案例展开主题活动，先有三位老师开课，其他听课，然后研讨课堂教学的得失，关注课堂教学的有效性，最后集中大家的意见再上一节，检查教学效果。我们希望通过这种教研活动，激发同仁们的自觉思考，在实践与反思中收获。

上课教案

1．§9.7直线和平面所成的角（1）………… 张彬

2．§9.7直线和平面所成的角（1）………… 金小宝

3．§9.7直线和平面所成的角（1）………… 方晓燕

4．§9.7直线和平面所成的角（1）…………纪政

§9.7直线和平面所成的角（1）

教学目标 理解最小角定理，理解直线和平面所成角的定义，会根据定义确定线面角，从而求解直线和平面所成角。在课堂探索过程中培养观察能力、化归能力和空间想象能力。 教学要点 直线和平面所成角的定义及求解

教学过程 情景问题

情景 课本P43图9-66

问题 平面的斜线AO与平面内任意直线l所成角的大小不确定，请问最大的角为多少，最小的呢？

学生活动

（1）问题 平面的斜线AO与平面内任意直线l所成角的大小不确定，请问最大的角为多少，最小的呢？

学生 由异面直线所成角的定义可知，探讨平面的斜线AO与平面内任意直线l所成角的大小，只需探讨斜线AO与平面过点A的直线所成的角的大小，利用实物演示可知，最大角为900，当且仅当平面内直线与AO在平面内的射影垂直；最小角为斜线AO与它在平面内的射影所成的角。

（2）问题 如何定量地分析斜线AO与它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小角？

学生 如图1所示，可以利用，可得； 或者利用等式，也得.

这个问题可归纳为最小角定理：

平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小角。

构建数学 问题 类比异面直线所成的角的定义，如何定义直线与平面所成的角？ 归纳 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。斜线和平面所成角的范围是（00，900）.

特例 若直线和平面垂直，则直线与平面所成的角是直角；若直线和平面平行或在平面内，则直线与平面所成角为0(的角。直线和平面所成角范围为(00，900 (。

数学运用 例1 如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，

为垂足，为内的一条直线，，，求斜线和平面所成角。

变式 直线两两夹角都是600，，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为 。 （提示：利用课本P25习题9.4的习题6的结论）

小结 利用等式可求线面角。

例2 如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角．

分析 启发学生根据直线与平面所成的角的定义作出直线与面所成的角，然后利用斜线、垂线与射影构成的直角三角形或等式求之，也可利用向量求得即得。

变式 分别作出直线与对角面、对角面所成的角．

小结作业

平面的斜线与平面内无穷多条直线垂直（三垂线定理）

平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小角。

求斜线与平面所成角一般步骤：作角→ 证角→ 算角。其中作角比较难，根据定义去作角，要先找平面垂线，后找射影，最后确定夹角；作出角后的证角、算角比较简单，其实我们学习向量以后，也可不作角来计算，这个希望大家去参考课外。

评课发言整理

张彬：本节课的基本流程：最小角定理→ 直线与平面所成角的定义→ 利用定义求线面角。

这里的最小角定理的作用有两个：一个是说明用直线和其在平面内的射影所成角来刻画直线与平面所成角的合理性；二是导出重要关系式：，可来计算线面角。

本节重点是会找出直线与平面所成的角，这是学生的难点，要通过变式来强化。从上课来看大家把握基本正确，在找到线面角后，大家采用一题多解，巩固和运用前面的知识，例如利用直角三角形、重要关系式、向量的数量积来计算，不过缺乏一题多变，使得学生在不同的背景下提取线面角的模型，从而培养空间想象能力。

9.7 直线和平面所成的角与二面角（1） 金小宝

一、教学目的： 1.理解并掌握直线和平面所成角的概念

2. 理解并掌握 3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等 4.培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣

二、教学重点： 线面夹角的概念及利用概念分步求夹角

三、教学难点： 直线和平面所成角的概念及的应用

四、教学过程： 复习： 1、点在平面内的射影和斜线在平面上射影的概念。

2．直线和平面的位置关系；（平行、相交和直线在平面内）

思考：当直线与平面的关系是时，如何反映直线与平面的相对位置关系呢？（可以用实物来演示，显然不能用直线和平面的距离来衡量）

3、异面直线所成角的概念及其范围。

思考：异面直线所成角实质是转化为相交两直线所成角来定义的，那么斜线和平面所成角是否也可类比定义？而经过斜足的直线有无数条，选取哪一条和斜线所成的角来定义直线与平面所成角的定义呢？

（二）新课讲解：

1．平面的斜线和平面所成的角：

如图，是平面的斜线，是斜足，垂直于平面，为垂足，则直线是斜线在平面内的射影。设是平面内的任意一条直线，且，垂足为，又设与所成角为，与所成角为，与所成角为，则易知：

又∵，(或者用几何知识解答)

可以得到：，注意：

（若，则由三垂线定理知，，即；与“是

2．若或，则规定与所成的角为；

3．直线和平面所成角的范围为：；

4．直线和平面所成角是直线与平面内直线所成角的最小值（）．

2．例题分析：（求直线和平面所成角）

例1（1）、（口答）平面和一条斜线与平面所成角的范围是多少？

（2）、如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内的 一条直线，，求斜线和平面所成角．

（同前，略）

例2．（以学生讲为主）如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角．

（法一、法二同前，略）

说明：1、求直线与平面所成角的一般方法是：（1）定义法（2）公式法

2、在条件允许的情况下，用公式求线面角显得更加方便．

3．二种方法的共同特征是：首先要找到所求的角，所以这个是关键的地方。

练习：已知空间四边形的各边及对角线相等，求与平面所成角的余弦值．

（同前，略）

七、小结：

1、直线与平面所成的角（线面角）是继两异面直线所成的角（线线角）后，又一个“角”的概念在立体几何中的延伸。

1)、两条相交直线的夹角。 2)、两条相交直线的到角。 3)、直线的倾斜角。

4)、两条异面直线所成的角。 5)、任意两条直线所成的角。 6)、两个向量的夹角。

7)、斜线和平面所成的角。

2、求线面角就是要找直线在平面上的射影,然后构造直角三角形来求！体现了化归思想。

3、要找线在面上的射影，关键又是确定点在面上的射影，那么点在面上的射影如何确定，有一些什么方法？请同学们注意总结。

课题：9.7.1 平面的斜线和平面所成的角 方晓燕

教学目的

认知目标：理解并掌握斜线在平面内的射影，直线和平面所成角的概念，根据概念先找直线射影后确定线面夹角，从而熟练求角直线和平面所成角。

能力目标：培养化归能力，分析能力，观察思考能力和空间想象能力等。

情感目标：培养立体感，数学美感。

教学要点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角

教学过程： 一、复习引入：

直线和平面的位置关系： 找（或作）线在平面内的射影

新课讲解 前面我们主要研究了线面关系中的线面平行和线面垂直，这两者的证明都转化为线和平面内的直线的关系要证明，要证线面平行只需证线平行于平面内的一条线；要证线面垂直只要证线垂直于平面内的两条相交线，今天我们来研究线面相交的一般情况，即斜线与平面。首先我们来思考一下如何来衡量斜线与平面的位置关系（演示模具，让学生进行观察）。

结论：用线和平面所成的角来衡量，根据线面关系可以转化为线线关系来研究，我们先来研究一下平面的斜线和平面内任意一条直线的夹角。

研究一：平面的斜线和平面内任意一条直线所成的角是否确定。（用几何画板演示，课件演示说明：PA是平面α的斜线，斜足为A，a是平面内的直线，首先引导学生把a平移到过A的位置，转动斜线，为了容易观察，在此过程中可引导学生过斜线上的一点作a的垂线，垂足为B。

结论1：平面的斜线和平面内任意一条直线所成的角是不确定的。

在数学中，当某个量不确定时，经常考虑它的最大值或最小值，于是得到以下的问题： 研究二：研究一中的角是否存在最大值或最小值？（用几何画板演示）

课件演示说明：转动斜线，让学生观察角的变化情况。

结论2：研究一中的角最大值是90°，最小值是当a和PA在平面的射影重合时： 研究三：证明最小角定理：平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。（引导学生过P点作平面α的垂线，垂足为O，连结AO，BO）记∠PAB为θ，∠PAO为φ1，∠OAB为φ2)

∵PO⊥α， ∴AO为PA在平面α内的射影

∵PB⊥AB， ∴OB⊥AB

在Rt△APO中，sinφ1=PO/AP；在Rt△ABP中，sinθ=PB/AP；

在Rt△ABO中，PO

又φ1，θ∈(0,)，而y=sinx在(0,)上为增函数 ∴φ1<θ。

研究四：应该如何定义斜线和平面所成的角呢？

定义成研究二中的最小值还是最大值？

结论3：定义成研究二中的最小值。

理由：若定义成最大值，则每一条直线与平面所成的角都是90°，无法区别这些斜线的位置关系。故定义研究二中的最小值。

至此，我们得到了斜线与平面所成角的定义：

一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。

特例：如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么说直线和平面所成的角是0°的角。

结论4：斜线与平面所成的角的范围是(0,)；直线与平面所成的角的范围是[0,]； 研究五：在上图中，三个角θ、φ1、φ2的余弦有一个非常简单的关系，

cosθ=cosφ1cosφ2，请大家给予证明。

在Rt△APO中，cosφ1=AO/AP；在Rt△ABP中，cosθ=AB/AP；

在Rt△ABO中，cosφ2=AB/AO，所以cosθ=cosφ1cosφ2。

分析公式：cosθ=cosφ1cosφ2

在此公式中，θ表示斜线和平面内任意一条直线所成的角，φ1表示斜线和平面所成的角，φ2表示斜线在平面内的射影和平面内任意一条直线所成的角。

例题讲解：

例1、如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内的一条直线，，求斜线和平面所成角

解：略

例2、如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角

说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的情况下，用公式求线面角显得更加方便解法三：建立空间直角坐标系，用向量计算

四、课堂练习

练习1、如图所示，ABCD是直角梯形，AD//BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求SC与平面ABCD所成的角

练习2、△ABC中，∠ABC＝90°，AB=a，BC=b，AA1//BB1//CC1，AA1=BB1=CC1，BB1=c，BB1⊥平面ABC，M，N分别是B1C1和AC的中点，求M，N与底面ABC所成的角。

五、课堂小结

最小角定理：平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。

定义：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角。 方法：求斜线与平面所成角的大小的方法。

方法1：几何法：

找角：作出（找出）斜线在平面内的射影，将空间角转化为平面角，并给予证明。 求角：要据公式或在垂线段、斜线段、射影组成的直角三角形中解出线面角。

方法2：向量法：

利用直线的方向向量和射影的方向向量求角。

利用直线的方向向量和平面的方向向量求角。（作为课后思考）

9．7直线与平面所成的角 (一) 纪政

教学目标： 1知识目标： （1）.理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念

（2）.根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角

2．能力目标： （1）.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等

3．情感目标： （1）.培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣

教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角

教学难点：直线和平面所成角的概念及的应用

教学过程： 一、复习引入： 1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：

2．直线和平面的位置关系（平行、相交和直线在平面内）

二、讲解新课：

1 斜线,垂线,射影

⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.

⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段

⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影

直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上

探索：平面的斜线l与l在平面内的射影所成的角，及l与平面内任意直线所成的角的关系：

A.前期准备： （1）辅助线OB,PB的添加说明。

（2）在这个特殊集合体中研究这两个角的关系。（特殊在哪里，让学生观察回答）

B.具体分析：(用几何法研究)

在平面(的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB，垂足为O、B连接OB，则OB⊥b.

在直角△AOP中，.

在直角△ABC中，.

在直角△ABP中，.

所以

2．重要关系：成立

C.回顾思考：

三个角中谁最大？———利用余弦定理在(0，(上的单调递减性。

说明什么？———注意平面内直线的任意性。

D.引出下文：

3.最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角。

E.进而定义。

因为是最小的角，就有唯一性，定义为直线和平面所成角。

定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角

（1）斜线和平面所成角范围： （00，900）

（2）说明： 一直线垂直于平面，所成的角是直角

一直线平行于平面或在平面内，所成角为0(角

直线和平面所成角范围： (00，900(

三、讲解范例：

例1 例1．如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内的一条直线，，求斜线和平面所成角

分析：根据定义先找到所求的线面角，在根据重要关系式计算，强调着三个角度的意义。

（同前，略）

学生练习：书P44，练习2.

例2．如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角

分析：先找射影，若没有垂线，自己动手作。要灵活应用三垂线正逆定理。

找到角以后也有2种基本方法，介绍一下，注意板书规范。向量法到第二堂课再提出。 （法一、法二同前，略）

说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的情况下，用公式求线面角显得更加方便

解法三：建立空间直角坐标系，用向量计算（下堂课介绍）

例3．已知空间四边形的各边及对角线相等，求与平面所成角的余弦值

分析：找射影，注意平面集合知识的应用。

先让学生思考5分钟，看能否找到射影的位置。

在解题之前先作个铺垫

“若P为⊿ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，求证点P在⊿ABC所在平面内的射影是⊿ABC的外心.”

为什么？

分析：斜线段长相等，则射影长也相等从而由PA=PB=PC，点P的射影到⊿ABC的三个顶点的距离相等，所以射影为⊿ABC的外心.

（同前，略）

四、课堂练习：

（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ）

（A）（0o,90o） （B）[0o,90o] （C）[0o,180o] （D）[0o,180o]

（2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

（3）从平面外一点P引与平面相交的直线，使P点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ）

（A）0条或1条 （B）0条或无数条

（C）1条或2条 （D）0条或1条或无数条

答案：（1）B (2)C (3)D

五、小结 ：（让学生回答）

我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．线面夹角的概念及解题步骤：先找垂线，后找射影最后确定夹角

在具体解题时，关键是求斜线在平面内的射影

专题交流摘录

1．课堂教学有效性的探讨……………………方昭英 黄西艳 刘兴华

2．多讲 少讲 不讲…………………………汪红梅 陈燕 刘建国

3．利用正方体教学三垂线定理………………凌荣寿 石益

课堂教学有效性的探讨

方昭英 黄西艳 刘兴华

目前，我们学生的基础比较差，又缺乏外在的学习数学的动力，然后教学要求比较高，因此老师教得很辛苦，学生学得很痛苦，却没有得到应有的发展，他们对数学充满着害怕、恐惧，由此对数学产生了严重的厌学的情绪，怎么办？“解铃还需系铃人”，我们开展以主题引导，问题驱动的教研活动，旨在引发大家的探索，要在实践与反思中得到收获。这次我们提出“课堂教学有效性”这一主题，当然这个问题不能一蹴而就的，是个永恒的话题，又很富有现实意义，旨在抛砖引玉、关注课堂、关心学生。

何谓“有效教学”

有效教学关心的主题是如何使用恰当的教学策略提高教学的效率，即我们要遵循教学活动的客观规律，尽可能地以较少的投入取得较好的教学效果，其中学生有无进步或发展是教学是否有效的唯一指标，并不是指教师有没有教完内容以及教得认真不认真，即着眼点在学生的实际结果。“数学教学说到底是如何以数学育人的问题。”（涂荣豹教授语）因此学生的学习结果应是近期目标与远期目标的统一，不单纯看一堂课的数学知识的吸收率，还要看远期目标――理性精神、良好的认知结构和数学学习能力的教学效果，牢固树立“教师的教要紧紧围绕学生的学” 这一教学观念。

影响有效性的因素

最关键的因素是我们教师认识不到位，具体表现在课堂上：教师始终是“管理者”的形象、霸占着话语权、没有认真倾听学生、对学生的要求及评价主观臆断等等。因此造成学生随着年级的升高，伸手的高度却越低，害怕回答错误，遭到老师的批评，挫伤自信心，因此奉行“沉默是金”的准则，这是我们课堂教学的大忌。课堂教学是一个多渠道地交流与对话的动态系统，作为课堂的主角之一――学生沉默寡言，你老师怎么能了解你的学生是否在想，想什么，想得准确与否。纵观名师的课堂教学，最出彩的是他们挑动学生的心，引发学生的动，在交流与对话中了解学生的真实水平，在课堂中进行“第二次备课”，从而使他的课更具针对性、更有实效性。相反，我们在台上只顾自己讲，陶醉在自己的讲课中，忽视了教师的劳动不等同于教学过程，忽视了教学过程中另一个主体的存在，因此我们的课堂上存在着睡觉的、无精打采的、漠然的学生，数学与数学教学给学生留下不良印象。在课堂上没有调动学生参与到数学教学活动中来，学生怎么会有发展呢？这样教学是低效的甚至无效的。

提高有效性的对策

首先思想认识要到位。在教学中要关注学生，做到学生常在心中；关注发展，不仅关注学生的发展，也要关注自身的发展；关注过程，关注学生学习的过程、调控自己的教学过程。

其次具体手段要到位。要讲究教学策略，用心体会怎样的教学策略是有效的，改造我们日常的教学手段――备课、讲授、提问、倾听、评价，落在实处。在实践中特别要把握三个环节――备课、上课、评价。

不上无准备之课，备些什么呢？“如果我不得不把教育心理学的所有内容简约成一条原理的话,我会说：影响学习的唯一最重要的因素,就是学习者已经知道了什么。要探明这一点,并应据此进行教学。”，因此要了解学生已有的基础，还要考虑不同学生间的“差异”，特别要注意的是学生间“差异”主要在于求知热情。这需要我们不仅要考虑“我应该讲什么知识？”还要考虑“我应该如何让他对这些有热情？”从而使得学生的认知结构、教材的知识结构与教师的课堂结构有机地统一，这就是对教材进行教学法加工，这是有效教学的基础。

上课是我们的主阵地，有效教学方式很多，例如小组合作讨论、探究与发现，我谈的是实施我们最常用的讲授法时应该注意些什么。例如有的老师讲了很多，很精彩，恰巧阻碍了学生的思考，阻碍了学生的探索，学生反而会变得依赖，变得被动，变得“偷懒”！这不是有效的教学。有的老师讲的很少，由于学生认知能力、教材内容的难度的因素，使得一些问题的解决浅尝辄止，学生也没有得到应有的发展。其实清晰有效的讲授可以在师生互动中点拨、引领、启发、强化，起到画龙点睛的作用。因此，我们要适当地讲，恰如其分地“不讲”。在讲的过程中要结合“提问”、“倾听”等手段，使教学保持某种“互动”的、“对话”的教学；要注意教学语言的独特性――让学生听清楚、听明白，辅助一些技巧，如重复、停顿、深入浅出、抑扬顿挫的语音语调；要注意讲授要保持一定“节奏”，保持与学生能力相适应的“教学节奏”，这一点非常重要，却被很多不细心的教师疏忽或遗忘；要注意提供鼓励性的即时反馈，在学生有所表现后我们要提供相应的适宜的即时反馈，特别是学生回答错误时，要作出富于鼓励的答复，从而保持引发活动的非评价性的特点。如“开头不错”，“你的答案部分是正确的”，“可以做得更好”等鼓励性话语。类似这样的回复能够使学生关注更有用的回答，而不因为学生的错误回答受到批评。学生行为之后紧跟着表扬和鼓励而不是批评，更有可能促进学生的学习和迁移。

“提问”与“倾听”是教师组织师生对话交流的基本手段。提问时要注意我们所提出的问题能够引起学生的回应或回答，且这种回应或回答让学生更积极地参与学习过程；要注意问题要有一定的开放性，保持一定的难度，即问题设置在学生的“最近发展区”，然学生“跳一跳”摘到，不仅学到知识，还能锻炼能力；要注意“提问”之后，给学生留出足够的“等待”时间，为学生的回答提供及时的反馈，最关键的是，要让学生感觉教师在等待和倾听。学生一旦主动学习，教师的责任就由讲授、提问转换为“倾听”，要注意学生的“声音”就是最有用的教学的资源，我们老师要学会倾听。面对那些回答问题有困难的学生，面对错误答案时，我们不要打断学生的回答，即使是错误的回答。有时学生开始回答了，却被中途打断，只能听教师对回答的提示；或者学生开始了一个错误的回答，马上被教师打断，叫另外一位学生回答或教师代为说出正确的答案。很明显，“这两种后果都会挫伤学生的积极性，他要么没有机会说出完整的答案，要么就会意识到他的答案是如此的错误，以至于根本不值得听完。也许这两种做法都不是有意的，但学生就是这么看的。这样，学生会感到沮丧而不愿意积极主动地参与课堂活动。

其实学生很在乎老师的评价。教师的评价行为会在很大程度上激励或者阻碍学生的学习，例如教师显示出对学生的关注与欣赏，就你能够极大地激励学生积极学习。由此在教学过程中我们教师要表现出热情，对学生热心、对自己的数学热心。期望自己的学生都能成功，为此我们老师要为每个学生提供成功的机会，让学生成功，有成功体验，这种体验增强学生的自信心，倍加努力，会取得更大成功，这是一种良性循环。特别对于那些学习困难，不相信自己能够成功的学生，更需要体验成功。要让学生信赖你，“可信任感”有助于创造一种轻松的、安全的心理环境，使学生相信教师能够帮助他们获得成功。教师在学生心中的“可信任感”主要取决于两个重要因素：教师的学识与人格。总之，教学过程应该成为学生相信自己、展现自己、欣赏自己的过程。

多讲 少讲 不讲

汪红梅 陈燕

要提高课堂教学的有效性，我们就研究课堂上该讲什么，不该讲什么。我们应该 “三讲、三不讲”，即讲重点，讲难点，讲易错易漏易混点；不讲学生已经会的，不讲学生自己能学会的，不讲讲也学不会的。下面我以一道高考题为例说明上述观点。

范例 （93全国理）已知异面直线与所成的角为，为空间一定点，则过点且与，所成的角都是的直线有且仅有( )

、条 、条 、条 、条

解答：由异面直线所成角平移时具有传递性，故作直线与已知两异面直线成等角可转化为与相交直线成等角，于是过点P作直线, ，且与1确定平面；现只须过点P作直线PM与、1成等角，由课本P25习题9.4的习题6知，PM在平面内的射影是、1相交角的角平分线所在的直线，又由于，故PM在平面内的射影只可能是如图所示的一种情形，不可能是有两种情形。因此由对称性可知所作直线有且仅有两条。

反思：范例中依据异面直线所成角的定义化空间角为平面角，同时最小角定理在确定直线条数时至关重要。因此在教学异面直线的时候，我没有来分析这道典型的例题，因为当时学生的知识经验不够，如要讲，学生也只是听，那么这题的教学价值就大大的降低了。现在我们学习了最小角定理后，我只要作适当的引导，学生就能凭已有的知识经验解答，而且可以推广到一般的情形，我在课堂上已经探讨了这个问题，情形与我的设想差不多。

因此，我们在上课前，一定要仔细思考教案的内容与学生实际的知识状况和思维水平，要讲学生“最近发展区”的那些内容，在“跳一跳”中发展思维，提高能力这是上课的根本，这样的上课才能使学生越来越聪明。这个问题的一般情形：

已知异面直线与所成的角为，为空间一定点，则过点且与，所成的角都是的直线有且仅有

显然，在参量、的取值变化时，方法同上，但直线条数则相应变化。类似地易得： 、当时，有条； 、当时，有条；、当时，有条； 、当时,有条； 、当时,有条; 、当时,有条；

另外当为直角时又如何呢？

这是一题能力型试题，培养我们的空间想象能力和分析解决能力的好载体，04年湖北在这题的基础设计了一道发展题，值得欣赏与玩味。

深化 （04湖北理）已知平面与所成的二面角为，为、外一定点，过点的一条直线与、所成的角都是，则这样的直线有且仅有（ ）

、条 、条 、条 、条

解答一：先作两平面的法向量、，则、所在的直线成80°的角．此题便转化为“过空间某点作与这两条直线成60°角的直线有几条？”的问题，可谓“老树开新花”，充分体现了命题者的匠心！

解答二：从升维的角度看，类似范例中角平分线的引入，现引入一个“平分面”：若平面与两相交平面、所成的二面角相等，则平面称为、的平分面，显然它存在且多样，但仅有两个不同的方向；且若一直线在平分面内，则它与两个交平面所成的角必相等，反之亦然；本例中，在平分面引直线与、均成即可，又由于且同时有：成立，故可以在两个方向的平分面上分别作出两条直线与、均成，故共有条。

类似于范例，我们也可以推广到一般情形：

若平面、所成的锐二面角为，点为、外一定点，过点的一条直线与、所成的角都是，则这样的直线有且仅有______条。

、当时，有条； 、当时，有条；、当时，有条； 、当时,有条; 、当时,有条; 、当时,有条.

《直线和平面所成的角》教学初探

凌荣寿 石益

一．教材分析 ：异面直线夹角、线面夹角及后面将学习的面面夹角是立体几何的重要概念，

它们均需化归为相交直线来求，复习异面直线夹角有利于学生进行对比联系，掌握线面夹角同时也为后继学习作好铺垫。平面外的直线和其在平面内的射影的夹角是直线与平面内任意直线夹角中的最小值、平面外的直线和其在平面内的射影的夹角的大小仅取决于直线和平面的位置说明了直线和平面夹角概念的合理性，教学中需让学生理解，才能真正认同和掌握概念。

应用概念求解直线和平面夹角中关键是找出直线在平面中的射影，在教学中需量化，强调解题步骤。

教学目标认知目标：理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角。

能力目标：培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等。

情感目标：培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣。

教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角

教学难点：线面夹角的概念

二．教学方法、手段的选用和课件设计思路

知识是学生自主建构的，在教学活动中必须充分重视学生学习的主体作用，因此采用“实验法”，利用几何画板制作课件为学生做数学实验创设情境，在平面、直线旋转的动态变化中借助于度量值发现直线和其射影夹角的最小性，是本节课的重要教学方法。另外，讲练结合、启发式、演示法相结合也是学生完全掌握知识的重要途径。

课件包括教师用和学生用两种，前者用于教师授课时演示用，后者主要作为实验平台供学生实验之用，两者相辅相成，互为补充。

三．课件制作说明

1．演示课件包括课题、复习、概念、例1、练习、例2、总结、作业等8个页面

2．课件中主要图形均可旋转变动，并提供手动、按纽两种方式操作，便于学生动态观察，从变化中发现规律；同时便于在不同的视图状态下观察图形，有利于题多解，培养学生的空间想象能力。

3．课件中所作几何图形均为空间图形的投影即为直观图，有利于加深学生对立体图形的感性认识，培养学生的立体感。

4．课件界面友好整洁，操作方便，主要页面均提供了纠错按纽，从而能弥补几何画板课件的一些不足之处。

5．大量使用函数功能，如度量两条直线夹角时，使用了函数f(x) 90 90 x，确保度量结果介于0 与90 之间（因为几何画板只能度量三点构成的角的角度）；又如度量

cos 1cos 2 的函数。 平面外的直线与平面内的直线的夹角时用了 arccos

6．利用几何画板4.03所提供的工具功能，减少重复性劳动，大量节省制作时间。如在课件制作中自创虚线工具，弥补了几何画板所提供的虚线过细的缺陷。

技术手段永远是为教学服务的，几何画板软件为中学数学教学课程改革提供了非常好的工具，希望在电教馆的领导下尽快普及几何画板，为常州数学的课程改革贡献一分自己的力量。

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