线代论文之论行列式的计算方法及在生活中的实际应用

论行列式的计算方法及在生活中的实际应用

10数字印刷一班 孙晓康 100220131

行列式是线性代数中的一个基本工具。无论是高等数学领域里的高深理论，还是现实生活里的实际问题，都或多或少的与行列式有着直接或间接的联系。行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。针对各种行列式的结构特点归纳了行列式计算的常用计算方法，并以实例加以说明。

行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。目前我们常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法，乘积法，加边法。 1.对角线法则

此法则适用于计算低阶行列式的值（如2阶，3阶行列式的值），即主对角线的元素的乘积减去辅或次对角线上的元素的乘积，其主要思想是根据2阶，3阶行列式的定义计算行列式的值。 2.化为三角行行列式

利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值

3.拆分法

把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式性质将原行列式写成二个行列式的和,使问题简化以利于计算。 4.降阶法(包括递推降阶法和依据定理展开)

(1) 递推降阶法：递推法可分为直接递推和间接递推。用直接递推法计算行列式 的关键是找出一个关于 的代数式来表示 ，依次从 逐级递推便可以求出 的值；间接递推的做法是，变换原行列式以构造出关于 和 的方程组，消去 就可以解得 。

(2) 依据定理展开法：依据行列式展开定理，可以把所给行列式展开成若干个低一阶的行列式的和。如果能把行列式变形，使其某一行（列）的元素只有一个不为零，那么这个行列式就可以变形为一个低一阶的行列式来计算。 5.升阶法

在计算行列式时. 我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再利用展开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种计算行列式的方法称为升阶法。升阶时，新行(列)由哪些元素组成? 添加在哪个位置? 这要根据原行列式的特点作出适当的选择。 6.待定系数法

此方法是数学中的重要方法，它是对数学问题，根据求解问题的固有特征，可转化为一个含有待定系数的恒等式，然后利用恒等式性质求出未知系数，从而获得问题解决的方法，用待定系数法求行列式的思想:若行列式中含有未定元 ，则行列式一定是关于 的一个多项式，且当取某些值，如 能够使行列式的值为零，根据多项式整除理论，则行列式一定可以被 这个线性因子整除，即行列式的表达式里应该含有该因子，如果可以找出行列式的所有因子，求出待定常数即可得到行列式的值。 7.数学归纳法

即利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想值的严格证明。这里采用第二型数学归纳法较多。 8.乘积法

在行列式中，如果每个元素都可分解为乘积之和的形式，那么该行列式就可转化为俩个矩阵乘积的行列式，只要分解的这俩个矩阵的行列式比较容易计算，则可由公式|AB|=|A|?|B|计算出原行列式的值。 9.加边法

一般计算行列式，时将其进行降价，但对于某些行列式，我们可以反过来，在保持原行列式值不变的基础上再加上一行一列（增加的一行一列元素一般是由1和0构成），把n阶行列式转化为n+1阶行列式，只要巧妙灵活的结合行列式的性质，便可计算出行列式的值。

对于行列式的计算，往往由于方法的不同，难易繁简差别程度甚大，欲使计算过程简单明了，要善于选择适当的方法，掌握一定的技巧。对这些技巧进行探讨归纳，不仅有课程建设的现实意义，而且有深刻的理论意义。因此，我将着力于研究各种方法的使用领域，各种类型的题目最适合于何种方法。就目前而言，大家用的最多的还是一些比较常规的方法，但是往往这些方法的计算量较大，因此就面临了如何推广大家尚未频繁使用的技巧这个问题。

行列式在工业生产和经济管理中有着广泛的应用，可以利用行列式解决部分工程中的现实问题。

例如：日常会计工作中有时会遇到的一些单位成本问题，虽然成本会计可以算出单位成本，用约当产量法或定额法或原材料成本法，但只能求得近似值，不能求得精确值。许多工程施工中，经常遇到计算断面面积、开挖或回填方量的工作。根据行列式的几何意义，将其与实际纵断图结合分析，可以直接计算出结果，并具有精确、简便的优点。

应用对角线计算规则思考方法(只考虑对角线上各数的和,而不是对角线上各数的乘积,同时不必考虑添加符号),可以直观求出分派问题的最优解.下面,我们举一个实例来加以说明.有一份资料,需要译成英,日,俄,德四种文字,现有四人,,,都能承担,但每人只需完成其中一种文字的翻译.由于每人对四种文字熟悉程度不同,故完成翻译的时间也不同.问应分派哪一个人去完成哪一种文字的翻译所用总的时间最短.现在将每个人翻译每种文字所用的时间数称为价值系数,这些数恰好是目标函数,中的各系数这些数按原排列顺序构成的4阶方阵叫做价值系数矩阵.由于每个人必须且只需完成一种文字的翻译工作,因此每种分派力案所用总时间恰好是价值矩阵中位于不同行不同列的各

数的和.因此分派问题的最优解就是使价值矩阵中位于不同行不同列数之和取最小值时对应的分派方案.

行列式经常被用于科学和工程计算中，如涉及到的电子工程、控制论、数学物理方程及数学研究等，都离不开行列式．计算行列式的方法非常的多，在实际的计算过程中不同的方法往往适合于不同特征的行列式，在行列式的计算过程中，每一种方法都有它们各自的优点及其独特之处，

因此具有非常重要的研究价值．

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