2011年中考规律题

第39章 猜想、规律与探索

一 、选择题

1. （2011浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝”， ，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（ ） A.28 B.56 C.60 D. 124

【答案】C

3. （2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ▲ ．

【答案】n(n 2)

4. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）

第1个图形

第 2 个图形 第3个图形

第 18题图

2

第 4 个图形

【答案】n(n 1) 4或n n 4

5. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：

① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1

② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1 ③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1

④ ……

（1）请你按以上规律写出第4个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来；

（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 【答案】解：⑴4 6 52 24 25 1；

⑵答案不唯一.如n n 2 n 1 1；

⑶n n 2 n 1 n2 2n n2 2n 1

2

2

n2 2n n2 2n 1

1.

6．（2011广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答

.

（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；

（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；

（3）求第n行各数之和． 【解】（1）64，8，15； （2）(n 1) 1，n，2n 1；

（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于(2n 1)(n n 1)=2n 3n 3n 1.

2

2

2

32

二、填空题

1. （2011四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。

【答案】15

2. （2011广东东莞，10，4分）如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E 如图(3) 2F 2，

中阴影部分；如此下去…，则正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面积为 .

【答案】

1

4n

3. （2011湖南常德，8，3分）先找规律，再填数：

111111111111111 1 , , , ,122342125633078456

............则

111

+ _______ .201120122011 2012

【答案】

1

1006

4. （2011广东湛江20,4分）已知：

33

A32 3 2 6,A5 5 4 3 60,A52 5 4 3 2 120,A6 6 5 4 3 360,

2 ,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算A7

果），并比较A9A10（填“ ”或“ ”或“=”） 【答案】 三 解答题

1. （2011山东济宁，18，6分）观察下面的变形规律：

53

11111111 ＝1－； ＝－；＝－； 1 222 3233 434

解答下面的问题：

（1）若n为正整数，请你猜想（2）证明你猜想的结论；

1

＝ ；

n(n 1)

1111＋＋＋ ＋ . 1 22 33 42009 201011

【答案】（1） ············································································································ 1分

nn 1

（3）求和：（2）证明：

n 1n111n 1 n

－＝－＝＝. ·························· 3分 nn 1n(n 1)n(n 1)n(n 1)n(n 1)

1111111＋－＋－＋ ＋－ 223342009201012009

＝1 . 5分

20102010

（3）原式＝1－

2. （2011湖南邵阳，23，8分）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：

如图（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。 （1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。

证明：在AB上截取EA=MC，连结EM，得△AEM。

∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB -∠B，∠AMN=∠B=60°， ∴∠1=∠2.

又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=

1

∠ACP=60°。 2

∴∠MCN=∠3+∠4=120°。 ① 又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。 ∴△BEM为等边三角形，∴∠6=60°。 ∴∠5=10°-∠6=120°。 ② 由①②得∠MCN=∠5. 在△AEM和△MCN中，

∵__________,____________,___________, ∴△AEM≌△MCN（ASA）。 ∴AM=MN.

(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”(如图)，N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1=90°时，结论A1M1=M1N1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明） （3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn=______°时，结论AnMn=MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明） 【答案】解：（1）∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1；

（2）结论成立； （3）

n 2

1800。 n

111111

,, S=1 S=1 2, , 2322222

122334

3. （2011四川成都，23,4分）设S1=1

Sn=1

11

22

n(n 1)

设S ... ，则S=_________ (用含n的代数式表示，其中n为正整数)．

n2 2n

【答案】．

n 1

Sn 1

111121112

== 1 [ ] 2 1 [] 2 22

n(n 1)n(n 1)n(n 1)n(n 1)n(n 1)

=[1

1

]2

n(n 1)

1n2 2n111

∴S=(1 . ) )+(1 )+(1 )+ +(1

n 1n(n 1)1 22 33 4

接下去利用拆项法

111

即可求和．

n(n 1)nn 1

4. （2011四川内江，加试5，12分）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+ +n2．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+ +(n—1)×n=(1)观察并猜想：

12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2) 12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3

=1+0×1+2+1×2+3+2×3 =(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)

12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×=1+0×1+2+1×2+3+2× ) (2)归纳结论：

12+22+32+ +n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+ +[1+(n—1)]n

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+ +n+(n一1)×n

] =

1

n(n+1)(n—1)时，我们可以这样做： 3

1

× 6

(3)实践应用：

通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数

是 ． 【答案】（1+3）×4

4+3×4

0×1+1×2+2×3+3×4 1+2+3+ +n

0×1+1×2+2×3++ +(n-1)×n

1

n(n 1) 2

1

n(n+1)(n—1) 3

n(n+1)(2n+1)

5. （2011广东东莞，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答

.

（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；

（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；

（3）求第n行各数之和． 【解】（1）64，8，15；

（2）(n 1) 1，n，2n 1；

（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于(2n 1)(n n 1)=2n 3n 3n 1.

6. （2011四川凉山州，19，6分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均

2

2

2

32

为其上方左右两数之和，它给出了 a b （n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应

n

a b a b

2

a2 2ab b2展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着 a3 3a2b 3ab2 b2展开式中的系数等等。

1 3

3

（a+b）1 （a+b）2 1 （a+b）3

3

1

5

（1）根据上面的规律，写出 a b 的展开式。

（2）利用上面的规律计算：2 5 2 10 2 10 2 5 2 1 解：⑴ a b a 5ab 10ab 10ab 5ab b

5

4

32

23

4

5

5

5432

⑵原式=2 5 2 1 10 2 1 10 2 1 5 2 1 1

5

4

3

2

2345

=(2 1) =1

注：不用以上规律计算不给分.

7. （2011四川凉山州，20，7分）如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，

5

CE AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明。

B

20题图

【答案】猜想：BE

DF。

证明： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴CB AD，CB∥AD ∴ BCE DAF

在△BCE和△DAF

CB AD

BCE DAF

CE AF

∴△BCE≌△DAF ∴BE DF， BEC DFA ∴BE∥DF

即 BE

DF。

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