层次分析法在决策问题中的应用

浅析层次分析法在多目标决策问题中的应用

周欣欣

[摘 要] 层次分析法是一种解决多目标决策问题很实用的方法。该方法能够解决多因素复杂系统的决策问题，有效地综合测度决策者的判断。本文先介绍了层次分析法的基本原理以及运用层次分析法分析问题时的基本步骤，然后运用层次分析法成功地解决了一个多目标决策问题，进一步证明了层次分析法的可行性和实用性。

[关键词] 层次分析法；决策；一致性

[Abstract] AHP is a very practical method to solve multi-objective decision problems. This method can solve decision problems in multi-factor and complex system, and integrate the judge of decision-maker effectively. This paper describes the basic principle of AHP and the basic steps to solve decision problems at first, and then using AHP resolved a multi-objective decision problem successfully, evidenced the feasibility and practicality of AHP. [Key words] AHP; decision; consistency

1 引言

层次分析法（analytic hierarchy process,AHP）是Saaty教授于1971年提出的一种系统分析方法。1982年11月，在我国召开的能源、资源、环境学术会议上，美国Nezhed教授首次向我国学者介绍了层次分析法，层次分析法的理论研究和实际应用从此在我国得到了迅速展开[1]。该方法是一种综合定性与定量分析的多属性决策方法，能够模拟人的决策思维过程，解决多因素复杂系统特别是难以定量描述的社会系统的决策问题，有效地分析目标准则体系层次间的非序列关系，有效地综合测度决策者的判断和比较。随着层次分析法应用范围的扩大，它的理论也得到了发展并逐步完善。

2 层次分析法的基本原理

层次分析法是处理有限个方案的多目标决策问题时常用的也是最重要的方法之一。它是以层级架构来组织决策元素，进而融入专家与实际参与决策者的意见，帮助决策者作评估判断的思维方法。它的基本思想是把复杂问题分解为若干层次，即把决策问题按总目标、子目标、评价标准直至具体措施的顺序分解为不同层次

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的结构，最后在低层次通过两两比较得出各因素相对上一层的权重，并逐层进行，最后利用加权求和方法综合排序，以求出各方案对总目标的权重，权重最大者为最优方案[2]。

3 运用层次分析法的基本步骤

运用层次分析法分析问题大体要经过以下五个步骤。 （1） 建立层次结构模型

首先将所包含的因素分组，每一组作为一个层次。按照最高层、若干中间层和最低层的形式排列起来。对于决策问题，通常将其划分为由目标层、准则层和方案层所构成的层次结构模型。最高层表示解决问题的目的，即应用层次分析法所要达到的目标；中间层表示采用某种措施或政策来实现预定目标所涉及的中间环节；最低层表示解决问题的措施或政策。然后，用连线标明上一层因素与下一层因素之间的关系。这种关系分为完全层次关系和不完全层次关系。 （2）构造判断矩阵

任何系统分析都以一定的信息为基础。层次分析法的信息基础主要是人们对每一层次各因素的相对重要性给出人工判断，这些判断用矩阵表示。判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性。 （3）层次单排序及其一致性检验

根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言，本层次与之有联系的因素的重要性次序的比值，即为层次单排序。它是本层次所有因素相对上一层次而言的重要性进行排序的基础。层次单排序可以归结为计算判断矩阵的特征值和特征向量的问题。

为了检验矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标CI。CI越大，矩阵的一致性越差。判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均随机一致性的指标RI之比称为判断矩阵的随机一致性比例，记为CR。当CR?0.1时，认为层次单排序的结果有满意的一致性；否则，需要调整判断矩阵各元素的取值。 （4）层次总排序

利用同一层次中所有层次单排序的结果，就可以计算针对上一层次而言本层次所有因素重要性的权值，即为层次总排序。由于此次总排序过程是从最高层到

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最底层逐层进行的，而最高层是总目标，所以层次总排序也是计算某一层次各因素相对最高层的相对重要性的排序权值。 （5）层次总排序的一致性检验

这一步也是从高层到低层逐层进行的。如果某一层次若干因素对于上一层次某一因素的单排序一致性指标为CIi，相应的平均随机一致性指标为RIi。则该层次总排序的随机一致性比例为

CR??wCIimi?wRIii?1i?1m

i同样地，当CR?0.1时，认为层次总排序结果具有满意的一致性；否则需要调整判断矩阵各元素的取值。

4 实例研究

在这里用层次分析法来解决一个多目标决策问题。

某公司的领导岗位需要增配一名领导者，现在甲、乙、丙三位候选人可供选择。选择的原则是合理兼顾以下几个方面：思想品德、工作成绩、组织能力、文化程度和身体状况。先要综合评价甲、乙、丙三位候选人，以便选出领导者的最佳人选。

4.1 建立层次结构模型

目标层领导者准则层思想品德工作成绩组织能力文化程度身体状况方案层甲 乙丙 3

4.2 构造判断矩阵

该公司的相关领导通过调查三位候选人的条件所得到的判断矩阵如下： （1）判断矩阵A-C，即相对于总目标而言，各准则层之间相对重要性的比较。 A C1 C2 C3 C4 C5 C1 1 3 1 2C2 1 3 C3 2 2 1 3 1 2C4 1 2 2 1 3C5 2 3 2 3 1 1 1 21 21 3 2 1 2 1 1 3表1 判断矩阵A-C

（2）判断矩阵C1-P，即相对于思想品德准则而言，各方案之间相对重要性的比较。

C1 P1 P2 P3 P1 1 1 21 3P2 2 1 1 2P3 3 2 1 表2 判断矩阵C1-P

（3）判断矩阵C2-P，即相对于工作成绩准则而言，各方案之间相对重要性的比较。

C2 P1 P2 P3 P1 1 1 21 2P2 2 1 1 2P3 2 2 1 表3 判断矩阵C2-P

（4）判断矩阵C3-P，即相对于组织能力准则而言，各方案之间相对重要性的

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比较。

C3 P1 P2 P3 P1 1 2 1 3P2 1 2P3 3 3 1 1 1 3表4 判断矩阵C3-P

（5）判断矩阵C4-P，即相对于文化程度准则而言，各方案之间相对重要性的比较。

C4 P1 P2 P3 P1 1 2 3 P2 1 2P3 1 31 2 1 2 1 表5 判断矩阵C4-P

（6）判断矩阵C5-P，即相对于身体状况准则而言，各方案之间相对重要性的比较。

C5 P1 P2 P3 P1 1 1 2P2 2 1 4 P3 1 31 4 3 1 表6 判断矩阵C5-P

4.3 层次单排序及其一致性检验

用matlab软件分别计算判断矩阵A-C、C1-P、C2-P、C3-P、C4-P和C5-P的最大特征值及其对应特征向量，并进行一致性检验，结果如下：

判断矩阵A-C： w?(0.1603,0.3626,0.1240,0.2689,0.0842)T CI?0.0474

RI?1.1200 CR?0.043?0.1

判断矩阵C1-P： w?(0.5396,0.2970,0.1634)T CI?0.0046 RI? 0.5800

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