考点6 导数、定积分

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考点6 导数、定积分

1.（2010 ·海南高考理科·T3）曲线y?x在点??1,?1?处的切线方程为（ ） x?2（A）y?2x?1 （B）y?2x?1 （C）y??2x?3 （D）y??2x?2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A.因为 y??2，所以，在点??1,?1?处的切线斜率k?y?(x?2)2x??1?2?2，

(?1?2)2所以，切线方程为y?1?2(x?1)，即y?2x?1，故选A.

2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y??13x?81x?234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ） 3(A) 13万件 (B) 11万件 (C) 9万件 (D) 7万件

【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.

【思路点拨】利用导数求函数的最值.

【规范解答】选C.y'??x2?81,令y??0得x?9或x??9（舍去），当x?9时y'?0；当x?9时y'?0， 故当x?9时函数有极大值，也是最大值，故选C.

3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x,y=x围成的封闭图形面积为（ ） （A）

231 12 (B)

1 4 (C)

1 3 (D)

7 12【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【思路点拨】先求出曲线y=x,y=x的交点坐标，再利用定积分求面积.

【规范解答】选A.由题意得: 曲线y=x,y=x的交点坐标为(0,0)，(1,1)，故所求封闭图形的面积为

- 1 -

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11123?1-?1=,故选A. ?1（x-x)dx=034124.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y=的取值范围是（ ） (A)[0,

4上，?为曲线在点P处的切线的倾斜角，则?xe?1??3???3?] (D) [,?) ) (B)[,) (C)(,424424【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率. 【思路点拨】先求导数的值域，即tan?的范围，再根据正切函数的性质求?的范围. 【规范解答】选D.

5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）

?421dx等于（ ） x

(A)?2ln2 (B)2ln2 (C)?ln2 (D)ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算.

1的原函数. x41dx4?2x【规范解答】选D .=(lnx+c) =(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.

2【思路点拨】记住

【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.

6.（2010·江苏高考·Ｔ8）函数y=x(x>0)的图像在点(ak,ak)处的切线与x轴的交点的横坐标 为ak+1,其中k?N，若a1=16，则a1+a3+a5的值是___________.

【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容.

【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x(x>0)的图像在点(ak,ak)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由y?0，即可求得切线与x轴交点的横坐标. 【规范解答】由y=x(x>0)得，y??2x，

2

2

2

2

2

? - 2 -

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所以函数y=x(x>0)在点(ak,ak)处的切线方程为：y?ak2?2ak(x?ak),

2

2当y?0时，解得x?所以ak?1?ak， 2ak,a1?a3?a5?16?4?1?21. 2【答案】21

7.（2010·江苏高考·Ｔ１4）将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是

2(梯形的周长）梯形，记S?,则S的最小值是____ ____.

梯形的面积【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想.

【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为x，然后用x分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示出来，利用函数的观点解决.

【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为x， 则：S?(3?x)24(3?x)2??(0?x?1) 21331?x?(x?1)??(1?x)22方法一：利用导数的方法求最小值.

4(3?x)24(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)，S?(x)? S(x)???222(1?x)31?x3

1S?(x)?0,0?x?1,x?，

311当x?(0,]时，S?(x)?0,递减；当x?[,1)时，S?(x)?0,递增；

33故当x?1323时，S取最小值是. 33方法二：利用函数的方法求最小值

4t241111?2??令3?x?t,t?(2,3),?(,)，则：S?

86t323?t?6t?83???1t2t故当?1t31323,x?时，S取最小值是. 833 - 3 -

圆学子梦想 铸金字品牌 【答案】323 3【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的综合解答题中考查.高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法.

8.（2010·陕西高考理科·Ｔ１3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为 .

【命题立意】本题考查积分、几何概型概率的简单运算，属送分题. 【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可求解. 【规范解答】阴影部分的面积为S阴影??3xdx?x012310?1.所以点M取自阴影部分的概率为

S阴影11P???.

S长方形3?13【答案】

13

9．（2010 ·海南高考理科·T13）设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分

?10f(x)dx,先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2?,xN和

y1,y2?,yN,由此得到N个点(xi,yi)（i=1,2,?,N）,再数出其中满足yi?f?xi?（i=1,2,?,N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分?f(x)dx的近似值为 .

01【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式. 【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.

【规范解答】由题意可知，x,y所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足yi≤f(xi)的点

(xi,yi)落在y=f(x)、y?0以及x?1、x?0围成的区域内，由几何概型的计算公式可知?f(x)dx的近

01似值为

N1. N- 4 -

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N1N

k2x (k≥0). 2，

10.（2010·北京高考理科·Ｔ１8）已知函数f(x)=ln(1+x)-x+

(1)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间.

【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间.解决本题时一个易错点是忽视定义域.

【思路点拨】（1）求出f'(1)，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由k讨论f'(x)的正负，从而确定单调区间.

【规范解答】（1）当k?2时，f(x)?ln(1?x)?x?x2，f'(x)? 由于f(1)?ln2，f'(1)?1?1?2x 1?x3， 2 所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

y?ln2?3 (x?1),2 即 3x?2y?2ln2?3?0. （2）f'(x)?1x(kx?k?1)?1?kx?，x?(?1,??). 1?x1?xx当k?0时，f'(x)??.

1?x所以，在区间(?1,0)上，f'(x)?0；在区间(0,??)上，f'(x)?0. 故f(x)的单调递增区间是(?1,0)，单调递减区间是(0,??).

1?k)1?kk?0， 当0?k?1时，由f'(x)??0，得x1?0，x2?k1?x1?k1?k)上，f'(x)?0， ,??)上，f'(x)?0；在区间(0,所以，在区间(?1,0)和(kk1?k1?k). ,??)，单调递减区间是(0,故f(x)的单调递增区间是(?1,0)和(kkkx(x?x2当k?1时，f'(x)?

1?x故f(x)的单调递增区间是(?1,??).

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1?k)1?kk?(?1,0)，x2?0. 当k?1时，f'(x)??0，得x1?k1?x1?k1?k,0)上，f'(x)?0 )和(0,??)上，f'(x)?0；在区间(所以在区间(?1,kk1?k1?k,0) )和(0,??)，单调递减区间是(故f(x)的单调递增区间是(?1,kkkx(x?【方法技巧】

（1）y?f(x)过(x0,f(x0))的切线方程为y?f(x0)?f'(x0)(x?x0). （2）求单调区间时要在定义域内讨论f'(x)的正负.

11.（2010·安徽高考文科·Ｔ20）设函数f?x??sinx?cosx?x?1，0?x?2?，求函数

f?x?的单调区间与极值.

【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算 能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力.

【思路点拨】对函数f(x)求导，分析导数f?(x)的符号情况，从而确定f(x)的单调区间和极值.

解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0

?)

4,

x f?(x) f(x) ?0,?? + ? 0 极大值 ?3???,2?- ?? ?3? 20 极小值 ?3??,2??? ?2?+ ? ? ? 因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,?)与(极小值为f(3?3?)=，极大值为f(?)=??2. 223?3?，2?),单调递减区间是(?，)22,

【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法， 简单易行，具体操作流程如下： （1）求导数f(x)；

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（2）求方程f'(x)?0的全部实根；

（3）列表，检查f'(x)在方程f'(x)?0的根左、右的值的符号； （4）判断单调区间和极值.

12.（2010·北京高考文科·Ｔ１8） 设函数f(x)?的两个根分别为1，4.

（1）当a=3且曲线y?f(x)过原点时，求f(x)的解析式； （2）若f(x)在(??,??)无极值点，求a的取值范围.

【命题立意】本题考查了导数的求法，函数的极值，二次函数等知识.

【思路点拨】(1)由f'(x)?9x?0的两个根及y?f(x)过原点，可解出b,c,d； （2）f'(x)是开口向上的二次函数，f(x)无极值点，则f'(x)?0恒成立. 【规范解答】由f(x)?a3x?bx2?cx?d，(a(?a0)?0)，且方程f'(x)?9x?03a3x?bx2?cx?d 得 f?(x)?ax2?2bx?c, 3（*）

因为f?(x)?9x?ax2?2bx?c?9x?0的两个根分别为1,4，所以

（1）当a?3时，（*）式为解得b??3,c?12,

又因为曲线y?f(x)过原点，所以d?0, 故f(x)?x?3x?12x. （2）由于a>0,所以f(x)?在（-∞，+∞）内恒成立. 由（*）式得2b?9?5a,c?4a. 又??(2b)?4ac?9(a?1)(a?9), 解?232

a32x?bx2?cx?d在（-∞，+∞）内无极值点等价于f?(x)?ax?2bx?c?03?a?0 得a??1,9?

???9(a?1)(a?9)?0即a的取值范围为?1,9?

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【方法技巧】（1）当f'(x)在x0的左侧为正，右侧为负时，x0为极大值点；当f'(x)在x0的左侧为负，右侧为正时，x0为极小值点.

?a?0（2）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决.y?ax?bx?c 恒大于0，则?；（ɑ≠0）??0?2?a?0； y?ax2?bx?c（ɑ≠0）恒小于0，则????013.（2010·安徽高考理科·Ｔ17）设a为实数，函数f?x??ex?2x?2a,x?R. (1)求f?x?的单调区间与极值；

(2)求证：当a?ln2?1且x?0时，e?x?2ax?1.

【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明不等式， 考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力.

【思路点拨】(1)先分析f(x)的导数f?(x)的符号情况，从而确定f(x)的单调区间和极值；

(2) 设g(x)?ex?x2?2ax?1，把问题转化为：求证：当a?ln2?1且x?0时，g(x)?0. 【规范解答】（1）?f(x)?ex?2x?2a，?f?(x)?ex?2, 令f?(x)?0，得x?ln2，

x2x f?(x) f(x) ???,ln2? ? ? ln2 ?ln2,??? ? ? 0 极小值 ?f(x)在???,ln2?上单调递减，在?ln2,???上单调递增；

当x?ln2时，f(x)取得极小值为2?2ln2?2a.

（2）设g(x)?e?x?2ax?1，?g?(x)?e?2x?2a?f(x), 由（1）问可知，g?(x)?2?2ln2?2a恒成立，

当a?ln2?1时，则g?(x)?0恒成立，所以g(x)在R上单调递增， 所以当x?0时，g(x)?g(0)?0，

x2x - 8 -

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即当a?ln2?1且x?0时，e?x?2ax?1.

【方法技巧】1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法，简单易行； 2、证明不等式问题，如证f1(x)?f2(x)，通常令g(x)?f1(x)?f2(x)，转化为证明：g(x)?0. 14.（2010·天津高考文科·Ｔ20）已知函数f（x）=ax?3x232x?1(x?R)，其中a>0. 2（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （2）若在区间???11?,?上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围. 22??【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.

【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值. 【规范解答】（1）当a=1时，f（x）=x?332x?1，f（2）=3；f′(x)=3x2?3x, f′(2)=6. 2所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9. （2）f′(x)=3ax?3x?3x(ax?1).令f′(x)=0，解得x=0或x=

以下分两种情况讨论： （1） 若0?a?2，则21. a11?，当x变化时，f′(x)，f（x）的变化情况如下表： a20 0 极大值 x f′(x) f(x) ?1?0? ??，2??+ ?1??0，? ?2?- ? ? 1?5?a??0,f(?)?0,??11????82即? 当x???，?时，f（x）>0等价于?

15?a?22??f()?0,??0.???2?8 解不等式组得-5

（2） 若a>2，则0?

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11?.当x变化时，f′(x),f（x）的变化情况如下表： a2圆学子梦想 铸金字品牌

x f′(x) f(x) ?1?0? ??，2??+ 0 0 极大值 ?1??0，? ?a?- 1 a0 极小值 ?11??，? ?a2?+ ? ? ? ?5?a?1>0,f(-)>0,???2?8?11?当x???，?时，f（x）>0等价于?即?

1122???f()>0,?1->0.???a?2a2解不等式组得

22.因此2

15.（2010·山东高考文科·Ｔ21）已知函数f(x)?lnx?ax?1?a?1(a?R). x（1）当a??1时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； （2）当a?1时，讨论f(x)的单调性. 2【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.

【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择. 【规范解答】（1） 当a??1 时，f(x)?lnx?x?2?1,x?(0,??), xx2?x?2所以 f??x?? 2x,

因此， f??2??1,即曲线y?f(x)在点（2，f(2))处的切线斜率为 1. ，又f(2)?ln2?2,

所以曲线y?f(x)在点（2，f(2)) 处的切线方程为 y?(ln2?2)?x?2,

即 x?y?ln2?0.

ax2?x?1?a1?a1a?1?1,所以f'(x)??a?2??（2）因为f(x)?lnx?ax? , x?(0,??),令2xxxx

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g(x)?ax2?x?1?a,x?(0,??),

（1） 当a?0时，g(x)??x?1,x??0,???,所以

当x??0,1?时，g?x?>0，此时f??x??0，函数f?x?单调递减； 当x??1,???时，g?x?<0，此时f??x??0，函数f?x?单调递增. （2） 当a?0时，由f??x??0，

2即 ax?x?1?a?0，解得x1?1,x2?1?1. a1时， x1?x2 ， g?x??0恒成立，此时f??x??0，函数f?x?在（0，+∞）上单调递减; 211② 当0?a?时， ?1?1?0，

a2① 当a?x??0,1?时，g?x??0,此时f??x??0,函数f?x?单调递减，

?1?x??1,?1?时，g?x?<0,此时f??x??0,函数f?x?单调递增，

?a??1?x???1,???时，g?x??0，此时f??x??0，函数f?x?单调递减，

?a?③ 当a?0时，由于

1?1?0, ax??0,1?时，g?x??0,此时f??x??0,函数f?x?单调递减， x??1,???时，g?x?<0,此时f??x??0,函数f?x?单调递增.

综上所述：

当a?0时，函数f?x?在?0,1?上单调递减;函数f?x?在?1,???上单调递增， 当a?1时,函数f?x?在?0,???上单调递减， 21?1?时，函数f?x?在?0,1?上单调递减；函数f?x? 在?1,?1?上单调递增； 2?a?当0?a? 函数f?x?在??1??1,???上单调递减. ?a?【方法技巧】1、分类讨论的原因

(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；

(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对

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数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；

(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变； (4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能. 2、分类讨论的原则 (1)要有明确的分类标准；

(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏； (3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行. 3、分类讨论的一般步骤

(1)明确讨论对象，确定对象的范围；

(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； (3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果； (4)归纳总结，得出结论.

16. （2010·陕西高考文科·Ｔ2１）已知函数f(x)?x,g(x)?alnx,a?R.

（1）若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程； （2）设函数h(x)?f(x)?g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值?(a)的解析式； （3）对（2）中的?(a)，证明：当a?(0,??)时，?(a)?1.

【命题立意】本题将导数、不等式知识有机地结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.

【思路点拨】曲线y?f(x)与y?g(x)在交点处有相同的切线?交点坐标?a的值及该切线的方程；

?h(x)?利用导数法求h(x)的最小值?(a)的解析式?利用单调性证明（3）.

【规范解答】（1）f?(x)?12x,g?(x)?a(x?0), x?x?alnx,1?由已知得：解得a?e,x?e2. ?1a2?.?x?2x，切线的斜率为k?f?(e2)??两条曲线交点的坐标为（e2,e）

1, 2e - 12 -

圆学子梦想 铸金字品牌 所以切线的方程为y?e?（2）由已知条件知h(x)?1(x?e2),即x?2ey?e2?0. 2ex?alnx,(x?0).

?h?(x)?12x?a?xx?2a, 2x①当a>0时，令h?(x)?0,解得所以当0 <

x=4a2,

x< 4a2时，h?(x)?0，h(x)在（0，4a2）上递减；

当x>4a2时，h?(x)?0，h(x)在(4a2,??)上递增.

所以x=4a是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点.

2?最小值?(a)?h(4a2)?2a?aln(4a2)?2a(1?ln(2a)).

②当a ≤ 0时，h?(x)?x?2a?0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值. 2x

故

（3）由（2）知??(a)??2ln2a（,a?0）. 由??(a)??2ln(2a)?0,得0?a?由??(a)??2ln(2a)?0,得a?1; 21; 212所以?(a)在(0,)上是增函数，在(,??)上是减函数,

1212111又?()?2?(1?ln(2?))?1.

222所以?(a)的最大值为?(), 所以当a?(0,??)时，?(a)?1.

17.（2010·陕西高考理科·Ｔ2１）已知函数f(x)?x,g(x)?alnx,a?R.

（1）若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程； （2）设函数h(x)?f(x)?g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值?(a)的解析式； （3）对（2）中的?(a)和任意的a?0,b?0，证明：

??(

a?b??(a)???(b)2ab)????(). 22a?b- 13 -

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【命题立意】本题将导数、不等式知识有机地结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.

【思路点拨】曲线y?f(x)与y?g(x)在交点处有相同的切线?交点坐标?a的值及该切线的方程；由h(x)?利用导数法求h(x)的最小值?(a)的解析式?利用基本不等式证明（3）. 【规范解答】（1）f?(x)?12x,g?(x)?a(x?0), x?x?alnx,1?2由已知得：?1a解得a?e,x?e.

2?.?x?2x，切线的斜率为k?f?(e2)??两条曲线交点的坐标为（e2,e）所以切线的方程为y?e?（2）由已知条件知h(x)?1, 2e1(x?e2),即x?2ey?e2?0. 2ex?alnx,(x?0).

?h?(x)?12x?a?xx?2a, 2x①当a>0时，令h?(x)?0,解得所以当0 <

2x=4a2,

x< 4a2时，h?(x)?0，h(x)在（0，4a2）上递减；

2当x>4a时，h?(x)?0，h(x)在(4a,??)上递增.

所以x=4a是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点.

2?最小值?(a)?h(4a2)?2a?aln(4a2)?2a(1?ln(2a)).

②当a≤0时，h?(x)?x?2a?0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值. 2x

故

（3）由（2）知??(a)??2ln2a（,a?0）.

对任意的a?0,b?0,

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???(a?b)??2ln(a?b)??2ln(2ab)??ln(4ab),2??(a)???(b)?2ln(2a)?2ln(2b) ???ln(4ab),222ab4ab4ab??()??2ln()??2ln()??ln(4ab),a?ba?b2aba?b??(a)???(b)2ab综上可得：??()????().

22a?b【方法技巧】不等式的证明方法

1．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、结论的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．

2．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析法综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的． 18.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）已知函数f(x)?x2?bx?c(b,c?R),对任意的x?R，恒有f'(x)?f(x). （1）证明：当x?0时，f(x)?(x?c)2；

（2）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)?f(b)?M(c?b)恒成立，求M的最小值. 【命题立意】以二次函数为载体，考查导数，不等式的证明，消元等知识.考查了等价转化的思想.

'【思路点拨】（1）在对任意的x?R，恒有f(x)?f(x)下可以得到b,c的关系，目标是证明当x?0时，

22f(x)?(x?c)2，其实是寻找条件和目标的关系，连接的纽带是b和c的关系.（2）恒成立，转化为求函

数的最值，而且是二元函数的最值的求法，没有等式的条件下常常用整体消元. 【规范解答】（1）易知f′(x)=2x+b.由题设，对任意的

b2?1. x?R,2x?b?x?bx?c,即x?(b?2)x?c?b?0恒成立，所以(b-2)-4(c-b)≤0,从而c≥4222

于是c≥1，且c≥|b|,因此2c-b=c+(c-b)>0. 故当x≥0时，有(x+c)-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0. 即当x≥0时，f(x)?(x?c).

22

f(c)?f(b)c2?b2?bc?b2c?2b??. (2)由（1）知，c＞|b|时，有M≥2222b?cc?bc?b

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bc?2b1令t?,则?1?t?1,?2?.cb?c1?t13而函数g(t)?2?(?1?t?1)的值域是（-?，）.

1?t23因此，当c?|b|时，M的取值集合为[,??）2当c=|b|时，由（1）知，b=±2,c=2.此时f(c)-f(b)=-8或0，c-b=0, 从而f(c)-f(b)≤0，M无最小值.综上所述，M的最小值为

2

2

3. 2【方法技巧】求最值是高考中重点也是难点.解题的思路是，首先看变量的个数，如果是三个变量常有三条路，一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元转化为二元再转化为一元，三是有时利用几何背景解题.如果是两个变量常常有三条路可走，一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元转化为一元函数，三是如果条件是不等式，常常也可以用数学规划.如果是一个变量，常用方法：基本函数模型，单调性法和导数法.

19.（2010·辽宁高考文科·Ｔ21） 已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax+1. (1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)设a≤-2，证明：对任意x1,x2?(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.

【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算推理能力.

【思路点拨】（1）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性，

（2）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,通过g(x)的单调性证明. 【规范解答】

2

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【方法技巧】1.讨论函数的单调性要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏. 2、直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题.

20.（2010·辽宁高考理科·Ｔ21）已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax2?1. （1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）设a??1.如果对任意x1,x2?(0,??)，

，求a的取值范围.

【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算能力.

【思路点拨】（1）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性，

（2）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,分离参数，求a的范围. 【规范解答】

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【方法技巧】

1、 讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏. 2、 求参数的取值范围往往要分离变量，分离时一定要使分离后的式子有意义，如分母不为0等. 3、 直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题. 21.（2010·天津高考理科·Ｔ2１）已知函数f(x)?xe?x(x?R).

（1）求函数f(x)的单调区间和极值；

（2）已知函数y?g(x)的图象与函数y?f(x)的图象关于直线x?1对称，证明当x?1时，

f(x)?g(x).

（3）如果x1?x2，且f(x1)?f(x2)，证明x1?x2?2

.

【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力. 【思路点拨】利用导数及函数的性质解题. 【规范解答】（1）f′(x)?(1?x)e

?x，令f′(x)=0,解得x=1，

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当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表

x f′(x) f(x) (??,1) + 1 0 极大值 (1,??) - ? ? 所以f(x)在(??,1)内是增函数，在(1,??)内是减函数.

函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=

1 e.

x?2（2）由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)e,

令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)?xe?x?(x?2)ex?2, 于是F'(x)?(x?1)(e2x?2?1)e?x,

当x>1时，2x-2>0,从而e2x-2?1?0,又e?x?0,所以F′(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数. 又F(1)=e?e?0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). (3)①

-1-11(xx1??1)(1)(xx2??1)1)??0,0,由（由（??）及）及f(xf(x11))??f(xf(x22),),则则xx?xx2??1.1.与与xx?xx2矛盾。矛盾。若( 1?1?②若 (x(x?xx??0,）及f(x?得x1x?x与x1x?x?1)(?1)?由（0,由（f(x)f(x?f(x),得?x.与?x矛盾。??1??）及1)12),22.2矛盾。11)(21)根据①②得(x1?1)(x2?1)?0,不妨设x1?1,x2?1.

由（2）可知，所以f(x2)>f(2-x2),从而f(x1)>f(2-x2).因为x2?1，f(x2)>g(x2),又g(x2)=f(2-x2)，所以2?x2?1，又由（1）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以x1>2?x2,即x1?x2>2. 22.（2010·江苏高考·Ｔ20）设f(x)是定义在区间(1,??)上的函数，其导函数为f'(x).如果存在实数a2和函数h(x)，其中h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，使得f'(x)?h(x)(x?ax?1)，则称函数f(x)具有性质P(a). (1)设函数f(x)?lnx?b?2(x?1)，其中b为实数. x?1(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)； (ii)求函数f(x)的单调区间.

(2)已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1,x2?(1,??),x1?x2,设m为实数，

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??mx1?(1?m)x2，??(1?m)x1?mx2，且??1,??1，

若|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，求m的取值范围.

【命题立意】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.

【思路点拨】(1)求出f'(x)，并将其表示为f'(x)?h(x)(x2?ax?1)的形式，注意h(x)?0. (2)利用(1)的结论求解. 【规范解答】 （1）(i)f'(x)?1b?21??(x2?bx?1)， 22x(x?1)x(x?1)1?0恒成立，

x(x?1)2∵x?1时，h(x)?∴函数f(x)具有性质P(b).

b2b2(ii)（方法一）设?(x)?x?bx?1?(x?)?1?，?(x)与f'(x)的符号相同.

24b2?0,?2?b?2时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当1?42当b??2时，对于x?1，有f'(x)?0，所以此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当b??2时，?(x)图像开口向上，对称轴x?b??1，而?(0)?1，所以当x>1时2????(0)?0，?0，所以此时f(x)在区间(1,??)上递增； ?(x)??(xx)?(0，ff'(xx)?bb?b2?4b?b2?4当b?2时，?(x)图像开口向上，对称轴x??1，方程?(x)?0的两根为：，,222b?b2?4b?b2?42而?1,??(0,1)

222b?b?4b?b2?4b?b2?4 当x?(1,)时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,)上递减；同理得：

22b?b2?4f(x)在区间[,??)上递增.

2综上所述，当b?2时，f(x)在区间(1,??)上递增；

22b?b?4b?b?4b?2 当时，f(x)在(1,,??)上递增. )上递减；f(x)在[22 - 20 -

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（方法二）当b?2时，对于x?1，?(x)?x2?bx?1?x2?2x?1?(x?1)2?0 所以f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增；

bb?b2?4b?b2?4当b?2时，?(x)图像开口向上，对称轴x??1，方程?(x)?0的两根为：，,222b?b2?4b?b2?42而?1,??(0,1),

222b?b?4b?b2?4b?b2?4 当x?(1,)时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,)上递减；同理得：

22b?b2?4f(x)在区间[,??)上递增.

2综上所述，当b?2时，f(x)在区间(1,??)上递增；

22 当b?2时，f(x)在(1,b?b?4)上递减；f(x)在[b?b?4,??)上递增.

22(2)（方法一）由题意，得：g'(x)?h(x)(x2?2x?1)?h(x)(x?1)2 又h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，

所以对任意的x?(1,??)都有g?(x)?0，g(x)在(1,??)上递增. 又????x1?x2,????(2m?1)(x1?x2). 当m?1,m?1时，???，且??x1?(m?1)x1?(1?m)x2,??x2?(1?m)x1?(m?1)x2， 2

若??x1?x2??，则g(?)?g(x1)?g(x2)?g(?)，∴

，（不合题意）.

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综合以上讨论，得所求m的取值范围是（0，1）.

（方法二）由题设知，g(x)的导函数g'(x)?h(x)(x2?2x?1)，其中函数h(x)?0对于任意的x?(1,??)都成立.所以，当x?1时，g'(x)?h(x)(x?1)2?0，从而g(x)在区间(1,??)上单调递增. ①当m?(0,1)时，有??mx1?(1?m)x2?mx1?(1?m)x1?x1，

??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，得??(x1,x2)，同理可得??(x1,x2)，所以由g(x)的单调

性知g(?)、g(?)?(g(x1),g(x2))，

从而有|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，符合题设. ②当m?0时，??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，

,???(1?m)x1?mx2?(1?m)x1?mx1?x1，于是由??1?1g(x)的单调性知及

g(?)?g(x1)?g(x2)?g(?)，所以|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符.

③当m?1时，同理可得??x1,??x2，进而得|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符. 因此综合①、②、③得所求的m的取值范围是（0，1）

23.（2010·浙江高考文科·Ｔ21）已知函数f(x)?(x?a)（x-b）(a,b?R,a

（2）设x1,x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3?x1，x3?x2， 证明：存在实数x4，使得x1,x2,x3,x4 按某种顺序排列后得等差数列，并求x4

【命题立意】本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导数应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识.

【思路点拨】（1）先求出f??2?再代入点斜式方程；（2）先找到x1,x2,x3，观察它们之间的关系，从而确定x4在等差数列中的位置.

【规范解答】(1)当a=1,b=2时，f(x)?(x?1)(x?2),

因为f?(x)=(x-1)(3x-5)，故f? (2)=1，f(2)=0, 所以f(x)在点（2,0）处的切线方程为y=x-2.

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（2）因为f?（x）＝3（x－a）（x－

a?2ba?2b），由于a

3a?2b不妨设x1＝a，x2＝，

3因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点， 故x3＝b.

a?2ba?2b－a＝2（b－），所以x1,x4,x2,x3成等差数列. 33a?2b2a?b1所以x4＝（a＋）＝，

3322a?b所以存在实数x4满足题意，且x4＝.

3又因为

【方法技巧】（1）函数y?f(x)在(x0,f(x0))处的切线方程为y?f(x0)?f'(x0)(x?x0)；

（2）在函数的极值点处f'(x)?0.

24.（2010·广东高考文科·Ｔ21）已知曲线Cn：y?nx2，点Pn(xn,yn)(xn?0,yn?0)是曲线Cn上的点

(n?1,2…).

（1）试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；

（2）若原点O(0,0)到ln的距离与线段Pn的坐标(xn,yn)； nQn的长度之比取得最大值，试求点P（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，xn与yn是满足（2）中条件的点Pn的坐标， 证明：

?n?1s(m?1)xn?(k?1)yn?2ms?ks(s?1,2,…).

【命题立意】本题为一道综合题，主要考查解析几何、导数、不等式等的综合应用. 【思路点拨】(1)利用导数求解；（2）利用不等式的性质求解；（3）用数学归纳法证明. 【规范解答】（1） y?2nx，? f'(xn)?2nxn2'

，

，

切线ln的方程为：y?n?xn?2nxn(x?xn) 即：2nxn?x?y?n?xn?0，

令

2x?0，得 y??nxn2，? Qn(0,?nxn2)

.

（2）设原点到ln的距离为d，则

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d??nxn2(2nxn)2?1?nxn21?4n2xn2 ，

PnQn?xn2?(2nxn2)2

,nxnnxn1d1222x?(xn?0)时，等号所以 ，，当且仅当即1?4nx???2nn4n2PnQn1?4n2xn2?1?2n?xn4成立，此时，xn? 所以， Pn(1 2n11,) 2n4n.

（3）s(m?1)xn?(k?1)yn?2(m?1)xn?(k?1)yn?2(m?1)k?1??4n4nms?ks成立，

m?1?k?12?1 n要证

?n?1

下面用数学归纳法证明1?111?????2s成立. 23s当s?1时，左边=1，右边?21?2，不等式成立. 假设s?k时，不等式成立，即1?111?????2k成立, 23k12(k2?k?)111112 ???????2k?当s?k?1时，1?k?123kk?1k?1? k2?k?k2?k?111?(k?)2， ? k2?k?k? 4221112(k2?k?)2[(k?)?]2?22?2k?1 ? k?1k?1,

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?当s?k?1时，有1?1111?????2?s2k?1成立， 23sk?1综上，1?111?????2s成立， 23s又? m、k?N?，且m?k ?m?1?k?1?1

m?k? 1?111m?1?k?1 ?????2s< 22sS?23sm?k ,

所以，原不等式成立.

25.（2010·浙江高考理科·Ｔ22）已知a是给定的实常数，设函数f(x)?(x?a)2(x?b)ex，b?R，x?a是f(x)的一个极大值点． (1)求b的取值范围；

(2)设x1,x2,x3是f(x)的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x4?R，使得x1,x2,x3,x4的某种排列

xi1,xi2,xi3,xi4(其中?i1,i2,i3,i4?=?1,2,3,4?)依次成等差数列?若存在，求所有的b及相应的x4；若不存在，

说明理由．

【命题立意】本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识.

【思路点拨】（1）利用函数取得极大值的条件，求b的范围；（2）可先求出x1,x2,x3，利用等差 数列的相关知识来求x4.由于x1,x2,x3,x4的排列有多种情况，因此要注意讨论.

x2x【规范解答】（1）f′(x)=e(x-a) ???(3?a?b)x?2b?ab?a??,

令g(x)?x?(3?a?b)x?2b?ab?a,

2则?=(3-a+b)2?4(2b?ab?a)?(a?b?1)2?8?0,

于是，假设x1,x2是g(x)?0的两个实根，且x1?x2.

①当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意. ②当x1?a且x2?a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1

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2

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（2）由（1）可知，假设存在b及x4满足题意，解方程g(x)?0得

(a?b?3)?(a?b?1)2?8(a?b?3)?(a?b?1)2?8，x2?. x1?22①当x2?a?a?x1时，则x4?2x2?a或x4?2x1?a，于是2a?x1?x2?a?b?3， 即b??a?3.此时x4?2x2?a?a?b?3?(a?b?1)2?8?a?a?26 2或x4?2x2?a?a?b?3-(a?b?1)?8?a?a?26. ②当x2?a?2(a?x1)或(a?x1)?2(x2?a)时， (i)若x2?a?2(a?x1)，则x4?a?x2， 23(a?b?3)?(a?b?1)2?82于是3a?2x1?x2?，即(a?b?1)?8??3(a?b?3)，于是

2a?b?1??9?13?9?13或（舍）. 22此时x4?a?x22a?(a?b?3)?3(a?b?3)1?13. ???b?3?a?242a?x1， 2②若a?x1?2(x2?a)，则x4?

于是a?b?1??9?13?9?13（舍）或. 22此时x4?a?x12a?(a?b?3)?3(a?b?3)1?13 ???b?3?a?242，

综上所述，存在b满足题意， 当b=-a-3时， x4?a?26； 当b??a?7?131?13时，x4?a?； 227?131?13时，x4?a?. 22- 26 -

当b??a?

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【方法技巧】1、函数在x0处取得极大值的条件是，在x0的左侧f'(x)?0，在x0的右侧f'(x)?0； 2、由于本题的f(x)的3个极值点间存在关系x1

26.（2010·福建高考文科·Ｔ22）已知函数f（x）=方程为y=3x-2. (1)求实数a,b的值； (2)设g（x）=f(x)+

13x?x2?ax?b的图像在点P（0,f(0)）处的切线3m是[2,??]上的增函数. x?1①求实数m的最大值；

②当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

【命题立意】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、分类与整合的思想.

【思路点拨】第一步利用切线方程列出两个方程求解a,b的值；第二步（1）利用导数的符号与单调性的关系，把单调性问题转化为恒成立问题进而转化为求最值的问题进行解决；（2）利用函数图像的中心对称，得两个封闭图形的面积总是相等的.

??f??0??3?a?3,,??【规范解答】(1)由f'(x)?x?2x?a，及题设得?

?f?0???2?b??2.?2（2）①由g?x??13mmx?x2?3x?2?得g??x??x2?2x?3?，?g?x?是?2,???上的增23x?1?x?1?2函数，?g??x??0在?2,???上恒成立，设?x?1??t，?x??2,???，?t??1,???，即不等式

m?0在?1,???上恒成立. tm当m?0时，不等式t?2??0在?1,???上恒成立；

tmmm当m?0时，不等式y?t?2?，t??1,???，因为y??1?2?0，所以函数y?t?2?在?1,???上

tttt?2?单调递增；因此ymin?3?m，?ymin?0,?3?m?0,?m?3，又m?0，故0?m?3， 综上所述，m的最大值为3； ②由①得g?x??133?1?x?x2?3x?2?，其图像关于点Q?1,?成中心对称. 3x?1?3?- 27 -

圆学子梦想 铸金字品牌 证明如下：?g?x??133x?x2?3x?2?， 3x?1?g?2?x??1831332??x3?x2?3x?? ?2?x???2?x??3?2?x??2?31?x3?2?x??13因此g?x??g?2?x??2，上式表明，若点A?x,y?为函数g?x?的图像上的任意一点，则点32???1?B?2?x,?y?也一定在函数g?x?的图像上，而线段AB的中点恒为Q?1,?，由此即知函数g?x?的

3???3?图像关于点Q?1,?成中心对称.

?1??3?这也表明，存在点Q?1,?，使得过点Q的直线若能与函数g?x?的图像围成两个封闭的图形，则这两个封闭的图形的面积总相等.

【方法技巧】函数导数的内容在历年高考中主要集中在切线方程、导数的计算，利用函数判断函数单调性、极值、最值等问题，以及与不等式、三角函数、数列、立体几何、解析几何等知识相联系的综合题目，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用.

27.（2010·山东高考理科·Ｔ22）已知函数f(x)?lnx?ax?(1)当a??1??3?1?a?1(a?R). x1时，讨论f(x)的单调性； 212（2）设g(x)?x?2bx?4.当a?时，若对任意x1?(0,2)，存在x2??1,2?，

4使f(x1)?g(x2)，求实数b的取值范围.

【命题立意】本题将导数、二次函数、不等式知识有机地结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.

【思路点拨】（1）直接利用函数单调性与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择； （2）利用导数求出f(x)的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g(x)在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数.

【规范解答】（1）因为f(x)?lnx?ax?1?a?1 x，

1a?1ax2?x?1?a 所以f?(x)??a?2??，x?(0,??)，

xxx2

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令h(x)?ax2?x?1?a，x?(0,??). ①当a?0时，h(x)??x?1，x?(0,??)，

所以当x?(0,1)时，h(x)?0,此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减； 当x?(1,??)时，h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递增. ②当a?0时，由f?(x)?0，

2 即 ax?x?1?a?0，解得 x1?1,x2?1?1 a,

x?(0,1)时，h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减； 1x?(1,?1)时，h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递增；

a1x?(?1,??)时，h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减.

a(iii)当a?0时，由于

1?1?0 a,

x?(0,1)时，h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减；

1??)时，h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递增 x?(0, 综上所述：

当a?0时，函数f(x)在（0,1）上单调递减； 函数f(x)在(1,??)上单调递增；

1时，函数f(x)在(0,??)上单调递减； 21 当0?a?时，函数f(x)在（0,1）上单调递减；

21 函数f(x)在(1,?1)上单调递增；

a 当a? - 29 -

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函数f(x)在(（2）因为a?1?1,??)上单调递减. a11?(0,)，由（1）知，x1?1,x2?3?(0,2)，当x?(0,1)时，f?(x)?0， 42 函数f(x)单调递减；当x?(1,2)时，f?(x)?0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在 （0 , 2）上的最小值为f(1)??1 2，

由于“对任意x1?(0,2)，存在x2?[1,2]，使f(x1)?g(x2)”等价于 “g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在（0 ，2）上的最小值?1” 2又g(x)?(x?b)2?4?b2,x?[1,2],所以① 当 b<1 时，因为 [g(x)]min?g(1)?5?2b?0,此时与题设矛盾② 当 b?[1,2]时，因为[g(x)]min?4?b2?0，同样与题设矛盾1③ 当 b?（2，??）时，因为[g(x)]?g(2)?8?4b,解不等式8-4b?? min217可得b?817综上，b的取值范围是[,??)8【方法技巧】1、分类讨论的原因

(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；

(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；

(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变； (4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能. 2、分类讨论的原则 (1)要有明确的分类标准；

(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏； (3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行. 3、分类讨论的一般步骤

(1)明确讨论对象，确定对象的范围；

(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； (3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；

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(4)归纳总结，得出结论.

28.（2010 ·海南高考理科·T21）设函数f(x)=e?1?x?ax. （1)若a?0,求f(x)的单调区间;

（2）若当x?0时f(x)?0，求a的取值范围.

【命题立意】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值问题，

【思路点拨】利用导数求出函数的单调区间，然后再利用单调性求参数的取值. 【规范解答】（1) a?0时，f(x)?ex?1?x,f?(x)?ex?1. 当x?(??,0)时，f?(x)?0；当x?(0,??)时，f?(x)?0， 故f(x)的单增区间为(0,??)，单减区间为(??,0). （2）f?(x)?ex?1?2ax.

由（1)知e?1?x，当且仅当x?0时等号成立， 故f?(x)?ex?1?2ax?1?x?1?2ax?(1?2a)x， 从而当1?2a?0，即a?xx21时，f?(x)?0(x?0)，而f(0)?0， 2

于是，当x?0时f(x)?0. 由e?1?x(x?0)可得ex?x?1?x(x?0)，从而，当a?1时， 2f?(x)?ex?1?2a(e?x?1)?e?x(ex?1)(ex?2a),

故当x?(0,ln2a)时，f?(x)?0，而f(0)?0，所以当x?(0,ln2a)时，f(x)?0， 综上可知，实数a的取值范围为a?1. 2【方法技巧】利用导数求出函数的单调区间，再利用函数的单调性，列出参数需满足的不等式（组）进行相关的计算.

29.（2010·福建高考理科·Ｔ20）(1)已知函数f(x)=x-x，其图像记为曲线C. ①求函数f(x)的单调区间；

②证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）)处的切线交于另一点P2（x2,f(x2)）.曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 （x3,f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则

3

S1为定值. S2- 31 -

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（2）对于一般的三次函数g（x）=ax+bx+cx+d(a?0)，请给出类似于(1) ②的正确命题，并予以证明.

3

2

【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想.

【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解S1,S2及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明.

【规范解答】（1) ①f'(x)?3x2?1?(3x?1)(3x?1)，令f'(x)?0得到x>33，令或x<-33f'(x)?0得-333311，因此原函数的单调递增区间为(??,?）和((

333333(-33,) 33；

32②f'(x)?3x2?1，P1(x1,x1?x1)，f'(x1)?3x1?1，因此 23过点P1的切线方程为：y?3x1?1?x?x1??x1?x1，即

??23?y?3x?1x?2x???11y??3x12?1?x?2x13，由?得

y?x3?x??x3?x??3x12?1?x?2x13，所以x?x1或x??2x1，故x2??2x1，进而有

S1???2x1x1?2x1274?143223233?x?3xx?2xdx?x?xx?2xxx1，用x2代替x1，重复上面的计?11?11??x?24?4?1算，可得x3??2x2和S2?S127427?164x2，又x2??2x1?0，?S2?x1?0，因此有1? 44S216.

32（2）命题:若对于任意函数g(x)?ax?bx?cx?d的图像为曲线C'，其类似于(1) ②的命题为：若对任意不等于?b的实数x1，曲线与其在点P1(x1,g(x1))处的切线交于另一点P2(x2,g(x2))，曲线C'与其3a在点P2(x2,g(x2))处的切线交于另外一点P1P2、P3(x3,g(x3))，线段P2P3与曲线C'所围成图形的面积为

S1、S2，则

S11?. S21632证明:对于曲线y?ax?bx?cx?d，无论如何平移，其要求面积值是恒定的，所以这里仅考虑

322y?ax3?bx2?cx的情形，y'?3ax2?2bx?c，P1(x1,ax1?bx1?cx1)，f'(x1)?3ax1?2bx1?c，

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圆学子梦想 铸金字品牌 因此过点P1的切线方程为：

化简：得到

b?2ax12b2?4a2x12?6abx1?ac,)同样运用(1)中的方法便可(x?x1)(ax?b?2ax1)?0所以P2(?aa2以得到x3?2b?4x1??2x2 a，

所以

S11?. S216【方法技巧】函数、导数的内容在历届高考中主要考查切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立体几何、解不等式等知识联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用.

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