线性代数知识汇总

大学课程线性代数期末复习

第一章:行列式

1. 二阶和三阶的求解。

2. n级排列有n!个，12…为自然序排列。

3. 求一个排列中的逆序数。

4. 上，下，和对角型行列式的求法。

5. n级排列中奇排列和偶排列个数相等，各为n!/2个。

6. 行标自然排列，求列标组成排列的逆序数，从而判断行列式某几项乘积前应带的正负号（偶排列为正，反之为负）P9页上。

7. 行列式的性质：

（1）行列式与他的转置行列式相等（行列互换为转置行列式）。

（2）行列式可按行或者列提取公因式。

（3）数K与行列式相乘等于与行列式的某行或者某列的所有元素都乘以K。

（4）交换行列式的两行或者两列，行列式变号。

（5）行列式中两行或者两列的元素对应相等或者成比例，则行列式值为零。

（6）行列式的某一行或者列元素乘以K加到另一行或者列的对应元素上，行列式的值不变。

（7）行列式转换为三角形行列式时（便于计算行列式的值），行列转换可以混着用。

8. 余子式和代数余子式有区别P18

9. 行列式等于任意一行或者列的每个元素与其代数余子式的乘积之和。

10.行列式中某行或者列的各个元素与另一行或者列的对应元素的代数余子式的乘积之和

等于零。

11.克莱姆法则：

（1）非齐次线性方程组与齐次线性方程组有区别。

（2）搞清楚什么是系数行列式。

（3）非齐次线性方程组的系数行列式D如果不为零，则他有唯一解，如果为零，则解不唯一（解不唯一，则D=0）。

（4）齐次线性方程组系数行列式D不为零，则有唯一解且是零解；如果有非零解，则D 为零。

（5）克莱姆法则求唯一解的方法P26（重点内容）。

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第二章：矩阵

1. 一些特殊矩阵:实矩阵、复矩阵、零矩阵、非负矩阵、n阶方阵、单位矩阵、数量矩阵、

对角矩阵、上三角形矩阵、下三角形矩阵P34。

2. 分清同型矩阵与矩阵的相等。

3. 矩阵的加减，矩阵的数乘（K与一个矩阵相乘则为K与每个元素都相乘）相关运算律P37。

4. 矩阵的乘法：A的列数和B的行数相等时，A与B才可以相乘且有顺序，相关运算律P37

下和P38上。

5. 若AB=BA则称A与B可交换（可交换的必为同阶方阵）。

6. 方阵的幂P40（相关运算规律和注意事项）。

7. 矩阵的转置及其相关的运算律P41下。对称矩阵与反对称矩阵P42。

8. 方阵的行列式及其运算律P43。

9. 可逆矩阵：

（1）对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则A为可逆矩阵即A可逆，且B为A的逆矩阵，且逆矩阵唯一。

（2）伴随矩阵的求法及其每个项的顺序（特别容易求错）利用伴随矩阵可以求逆矩阵P47。

（3）方阵A可逆的充分必要条件是|A|不为0。

10.可逆矩阵的性质：P49。

11.学会求解基本的矩阵方程（方法为同时左乘或者右乘某矩阵的逆）P50重点题目。

12.矩阵的初等变换：

（1）初等行变换（交换两行、数K乘以某一行、某一行的K倍加到另外一行），同理有初等列变换。

（2）知道行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准型矩阵的概念和区别P58。

（3）任何一个矩阵都可以经过有限次初等变化为标准型矩阵。

（4）任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，进而化为最简形矩阵。

（5）如果A为可逆矩阵，则A可以经过有限次初等变换化为E。

（6）有单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

（7）矩阵的三个特殊初等转换后的逆矩阵的求法P60。

（8）对A施以一次初等行变换等价于在A的左侧乘以一个相应的初等矩阵；

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对A施以一次初等列变换等价于在A的右侧乘以一个相应的初等矩阵。

13.用矩阵的初等变换就矩阵的逆（一般采用初等行变换的方法）P62这是重点内容。

14.矩阵的秩：

（1）什么是矩阵的秩。

（2）矩阵的秩的性质P65、P68。

（3）什么叫做满秩矩阵，包括行满秩和列满秩。

（4）初等变换不改变矩阵的秩。

第三章：线性方程组

1. 知道什么是系数矩阵，齐次线性方程组（Ax=0）和非齐次线性方程组（Ax=b）的区别、

增广矩阵

2. 消元法可以求解一般线性方程组P74。

3. 非齐次线性方程组解的规律和求法

（1）有解的充要条件是增广矩阵的秩和系数矩阵的秩相等，当两者都为n（n为未知量个数）时，有唯一解；当两者相等且小于n时，有无穷多解；当两者不相等时无解。

（2）解答方法P78（重点内容）。

（3）知道什么是自由未知量。

4. 齐次线性方程组解的规律和求法

（1）系数矩阵的秩为n，则有唯一解且为零解；系数矩阵的秩小于n时，有非零解（一般考察非齐次线性方程组求解的较多）。

5. 向量组的线性组合

（1）搞清楚什么是n维向量、分量、零向量、n维行向量（列向量）、向量相等

（2）搞清楚向量之间的加减、数乘等相关线性运算P83。

（3）线性组合的概念P84。

（4）某向量可以由一个向量组线性表示的充要条件是以该向量和该向量组为列向量组成的秩和以该向量组为列向量组成的矩阵的秩相等（判断某向量是否可由某向量组

线性表示的依据）。

6. 向量组间的线性表示

（1）若向量组B中的每个向量都可以由向量组A线性表示，则称向量组B可由向量组A 线性表示。

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（2）线性表示的系数矩阵P86。

（3）两个向量组等价：向量组A与向量组B可以相互线性表示。具有如下性质：自反性、对称性、传递性P86下。

（4）B可由A线性表示则R（AB）=R(A);A可由B线性表示，则R(AB)=R(B);若A与B等价，则R(AB)=R(A)=R(B)。（这是充要条件）这里的R(AB)是A和B的合矩阵。

7. 向量组的线性相关性

（1）线性相关与线性不相关的定义P87。

（2）任意包含零向量的向量组一定线性相关。

（3）初始单位向量组线性无关。

（4）向量组线性相关的充分必要条件是以该向量组为列向量的矩阵的秩小于向量组中向量的个数。

向量组线性无关的充分必要条件是以该向量组为列向量的矩阵的秩等于向量组中向量的个数。

（5）若向量的维数=向量组中向量的个数时，可以用以该向量组为列向量组成的行列式的值来判断是否线性相关。行列式的值为0时线性相关，不为0时线性无关。

（6）若向量组中向量的个数大于响亮的维数，则此向量组线性相关。

（7）若向量组中有一部分向量（也称部分组）线性相关，则整个向量组线性相关。

（8）线性无关的向量组中的任何一个部分组均线性无关。

（9）向量组共有S个向量，则该向量组线性相关的充要条件是向量组中至少存在一个向量能由其余S-1个向量线性表示。

（10）一个向量组和一个向量组成的新的向量组线性相关，而那个旧的向量组线性无关，则那个向量可以由旧的向量组线性表示，且表示法唯一。

（11）有两个向量组A和B，A有S个向量，B有t个向量，B可以由A线性表示，且t大于S，则B线性相关。若B线性无关，则t<=S

（12）两个等价的线性无关的向量组必定含有相同个数的向量。

（13）向量组A线性无关，若向量组B可以由A线性表示，则可以写成(B)=(A)C,C为系数矩阵P86上，若B线性相关，有|c|=0,若B线性无关，有|c|不为0

8. 向量组的极大无关组

（1）极大无关组的定义P93。

（2）一个向量组的极大无关组不一定唯一，每个极大无关组中的向量的个数是相同的。

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（3）某向量组中的一个线性无关部分组要想成为极大无关组的充要条件是该向量组中的任意一个向量都可以由该线性无关部分组线性表示。

（4）向量组与它的极大无关组等价。向量组的任意两个极大无关组等价。

9. 向量组的秩

（1）向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩。P94

（2）向量组线性相关的充要条件是秩小于向量的个数，线性无关的充要条件是秩=向量的个数。

（3）0向量构成的向量组的秩为0

（4）向量组B可以由A线性表示，则B的秩<=A的秩。

（5）两个向量组等价，则它们的秩相等。

（6）矩阵A的行秩与列秩相等。

（7）矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）向量之间的线性关系。

10.线性方程组解的结构

（1）若齐次线性方程组有非零解，则它一定有无穷多解。

（2）知道什么是基础解系。P98

（3）会求齐次线性方程组的通解（全部解）P101有步骤。

（4）知道什么是导出组。P102

（5）设η是非齐次线性方程组Ax=b的解，ξ是对应导出组Ax=0的全部解，则η+ξ是非齐次线性方程组Ax=b的全部解。

（6）求解非齐次线性方程组的步骤P103。

11.向量的内积

（1）向量的内积怎么算及其运算性质。P113

（2）n维向量的长度（或范数）的表示方法及求法，还有范数的四个性质P113。

（3）弄清楚单位向量，弄会把一个向量单位化的方法。P113下

（4）学会求两个向量之间的夹角P113有步骤。

12.正交向量组

（1）两个向量的内积为零则称两个向量相互正交。

（2）某向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组。若每个向量都是单位向量，则称为单位正交向量组（规范或者标准正交向量组）。

（3）怎么把一个线性无关向量组转换为正交向量组，用施密特正交化方法P115有具体

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用法。

（4）弄清楚什么是正交基，什么是标准正交基（规范正交基）。

13.正交矩阵

（1）什么是正交矩阵P116及其相关性质。

（2）n阶方阵为正交矩阵的充分必要条件是该方阵的列（行）向量组为单位正交向量组。

第四章：矩阵的特征值与特征向量

1. 矩阵的特征值与特征向量

（1）什么是矩阵的特征值与特征向量P120。

（2）知道特征多项式的求法P121。

（3）能够求解某矩阵的特征值和特征向量（重点题目，解题步骤P121）。

（4）上三角形和下三角形和以及对角矩阵的特征值就是相应矩阵主对角线上的元素。而且知道，n阶单位矩阵E的n个特征值全为1，n阶零矩阵的特征值全为0

2. 特征值的性质（注意本节的例题）P124

（1）特征值的和=主对角线上元素的和（又称为方阵的迹tr(A)）。

（2）个特征值的乘积的值=方阵对应的行列式的值。

（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值均不为0。

（4）λ为n阶方阵A的特征值，则λ的平方为A的平方的特征值。

（5）A可逆时，1/λ为A的逆的特征值。

3. 特征向量的性质

（1）几个向量分别为方阵A的对应于特征值的特征向量，若特征值互不相同，则这几个特征向量线性无关。

（2）若λ是方阵A的s重特征值，则A的对应于特征值λ的线性无关的特征向量的个数不超过S个。

4. 相似矩阵

（1）知道相似矩阵和相似变换矩阵的概念

（2）相似矩阵的性质P128。

5. 矩阵的对角化

（1）若n阶方阵A与对角矩阵Λ=diag(λ1, λ2,…λn)相似，则称A可对角化。

（2）n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。P130

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（3）若n阶方阵A的n个特征值互不相同，则A可对角化。

6. 实对称矩阵的对角化

（1）实对称矩阵的特征值都为实数。

（2）实对称矩阵A的特征值不同，则特征值对应的特征向量正交。

（3）P135页实对称矩阵的对角化。

（4）相关题型（求正交矩阵P和A的对角矩阵）

第五章：二次型

1. 二次型对应的矩阵

（1）能写出二次型的对应的矩阵A，能求出二次型的秩（就是对应矩阵的秩）

（2）C为可逆矩阵，则x=Cy为可逆线性变换；若C为正交矩阵，则称线性变换x=Cy为正交线性变换

（3）A与B合同的概念与性质P144。

（4）A与B合同，则A与B秩一样。

2. 二次型的标准型

（1）二次型标准型的形式P144

（2）化二次型为标准型的方法：正交线性变换法P145；配方法P146；初等变换法（合同变换法）P148

3．二次型矩阵的规范型P149到151。

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