2012年全国各地中考数学解析汇编20 二次函数的应用

2012年全国各地中考数学解析汇编20 二次函数的应用

（2012北海,7，3分）7．已知二次函数y＝x2－4x＋5的顶点坐标为：

A．（－2，－1）

B．（2，1）

C．（2，－1） b2a,4ac?b4a2 （ ）

D．（－2，1）

【解析】二次函数的顶点坐标公式为（?【答案】B

），分别把a，b，c的值代入即可。

【点评】本题考查的是二次函数顶点公式，做题时要灵活把握，求纵坐标时，也可以把横坐标的值代入到函数中，求y值即可，属于简单题型。

（2012山东省滨州，1，3分）抛物线y??3x2?x?4 与坐标轴的交点个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0

【解析】抛物线解析式?3x2?x?4，令x=0，解得：y=4，∴抛物线与y轴的交点为（0，4），令y=0，得到?3x2?x?4?0，即3x2?x?4?0，分解因式得：(3x?4)(x?1)?0 ，解得：x1??∴抛物线与x轴的交点分别为（?4343 , x2?1，

，0），（1，0），

综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3． 【答案】选A

【点评】本题考查抛物线的性质，需要数形结合，解出交点，即可求出交点的个数．此题也可用一元二次方程根的判别式判定与x轴的交点个数，与y轴的交点就是抛物线中C的取值．

( 2012年四川省巴中市,8,3)对于二次函数y=2(x+1)（x-3）下列说法正确的是（ ） A.图象开口向下 B.当x＞1时,y随x的增大而减小 C.x＜1时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线x= - 1

【解析】y=2(x+1)（x-3）可化为y=(x－1)2-8,此抛物线开口向上,可排除A,对称轴是直线x=1可排除D,根据图象对称轴右侧部分, y随x的增大而减小,即x＜1时,故选C. 【答案】C

【点评】本题考查将二次函数关系式化成顶点式的方法及图象性质.

12．（2012湖南衡阳市，12，3）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法： ①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0 其中正确的个数为（ ）

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A．1B．2C．3D．4

解析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号． 答案：解：①图象开口向下，能得到a＜0； ②对称轴在y轴右侧，x=

=1，则有﹣

=1，即2a+b=0；

③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0； ④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0． 故选C．

点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

（2012呼和浩特，9，3分）已知:M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y?上，设点M的坐标为（a,b），则二次函数y= –abx2+(a+b)x

12x上，点N在直线y=x+3A. 有最大值，最大值为 –C. 有最小值，最小值为

9292

B. 有最大值，最大值为

92

92 D. 有最小值，最小值为 –

12

【解析】M(a,b)，则N(–a,b)，∵M在双曲线上，∴ab=∴二次函数y= –abx2+(a+b)x= –【答案】B

12；∵N在直线上，∴b=–a+3,即a+b=3；

92x2+3x= –

12(x–3)2+，∴有最大值，最大值为

92

【点评】本题考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，把点代入的解析式中求得ab和a+b的值。 此题解题时没有必要解出a、b的值，而是利用整体代入法求解。

（2012陕西10，3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y?x?x?6向上（下）或向左（右）平移了m个

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2单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m的最小值为（）

A．1 B．2 C．3 D．6

【解析】因为是左或右平移，所以由y?x2?x?6?(x?3)(x?2)求出抛物线与x轴有两个交点分别为

0?，0?，将抛物线向右平移2个单位，恰好使得抛物线经过原点，且移动距离最小．选B．?3，?-2，【答案】B

【点评】本题考查了抛物线的图像性质，关注它和x轴交点坐标是解决问题的关键.难度稍大. 12.（2012四川泸州，12，3分）抛物线y?(x?2)2?3的顶点坐标是（ ）

A.（2，3） B.（-2，3） C.（2，3） D.（-2，-3）

解析：求抛物线的顶点坐标可以运用顶点坐标公式，也可以运用配方法.由抛物线y?(x?2)2?3的顶点坐标为（2，3）.故选C. 答案：C.

点评：本题考查了二次函数图象顶点坐标，由配方法得到的顶点坐标中，横坐标符号容易被弄错，需要注意.

（2012，黔东南州，5）抛物线y?x?4x?3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为（ ）

A 、（4，-1） B、（0，-3） C、（-2，-3） D、（-2，-1）

解析：y?x2?4x?3??x?2??1，所以顶点坐标为（2，-1），右平移2个单位长度后所得新的抛物线

22的顶点坐标为（4，-1）.

答案：A

点评：本题考查了抛物线的平移，难度较小.

（2012河南，5，3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y?x?4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为

A．y?(x?2)?2 B．y?(x?2)?2 C．y?(x?2)?2 D．y?(x?2)?2

22222

解析：根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”故选B.

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解答：B．

点评：根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动.即（0，－4）—→（2，－2）.

(2012山东日照，11，3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b－4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a－2b+c=0；④ a︰b︰c= －1︰2︰3.其中正确的是（ ）

A. ①② B.②③ C. ③④ D.①④

解析：由图可知，对称轴为x=1，图象与x轴有两个交点（-1，0）和（3，0），故b－4ac>0；a-b+c=0,2a+b=0,所以b=-2a,c=-3a,所以a︰b︰c= -1︰2︰3.

解答：选D．

点评：本题主要考查二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标、对称轴等，解题的关键是运用数形结合思想，充分利用图象进行分析，排除错误答案.

12

(2012贵州黔西南州，10，4分)如图4，抛物线y=x＋bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，

2且A(－1，0)，点M(m，0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，m的值是( )． A．

25242325 B． C． D． 40414041

2

2

2

13【解析】解把A(―1，0)代入y=x2＋bx―2，求得b=―．

22

131325325

所以，y=x2―x―2=(x―)2―，所以抛物线顶点D(，―)．又求得C(0，―2)．

2222828

要x轴上的动点M(m，0)使MC＋MD最小，作C点关于x轴的对称点C/(0，2)，连接C/D与x轴的交点即为M点．

利用相似三角形的知识求得OM=0)．所以，n=

24

． 41

2424/

；或先求直线CD的解析式，再求这条直线与抛物线的交点坐标为(，4141

【答案】B．

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【点评】本题考查二次函数的图象与性质，一般在图形中解决“折线段最小值”的问题，要利用轴对称把“折线段”化为“直线段”进行计算．

（2012呼和浩特，9，3分）已知:M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y?上，设点M的坐标为（a,b），则二次函数y= –abx2+(a+b)x

12x上，点N在直线y=x+3A. 有最大值，最大值为 –C. 有最小值，最小值为

9292

B. 有最大值，最大值为

92

92 D. 有最小值，最小值为 –

12

【解析】M(a,b)，则N(–a,b)，∵M在双曲线上，∴ab=∴二次函数y= –abx2+(a+b)x= –【答案】B

12；∵N在直线上，∴b=–a+3,即a+b=3；

92x2+3x= –

12(x–3)2+，∴有最大值，最大值为

92

【点评】本题考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，把点代入的解析式中求得ab和a+b的值。 此题解题时没有必要解出a、b的值，而是利用整体代入法求解。

（2012甘肃兰州，14，4分）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象所示，若∣ax2+bx+c∣=k(k≠0)有两个 不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）

A. k<-3 B. k>-3 C. k<3 D. k>3 解析：根据题意得：y=|ax2+bx+c|的图象如右图：

所以若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k＞3， 故选D． 答案：D

点评：本题考查了二次函数的图象，先根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，即可得出|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围．解决本题的关键是根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，根据图象得出k的取值范围．

（2012南京市，12，2）已知下列函数：①y=x2;②y= -x2;③y=(x-1)2+2.其中，图像通过平移可以得到函数y= -x2+2x-3的图像有 .

解析：只要二次项的系数相同，这类二次函数图像均可以通过平移得到. 答案：②.

点评：二次项的系数a决定二次函数的形状、开口大小等，所有a相等的二次函数都可以由y=ax2经过平

移得到.

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第14题图

（2012甘肃兰州，11，4分）已知二次函数y?a(x?1)2?b(a?0)有最小值1，则a、b的大小关系为（ ） A.a>b B. a

解析：二次函数y?a(x?1)2?b(a?0)有最小值，则a＞0;又因为此函数均有最小值是1，所以-b=1,b=-1,因此a>b,故选A． 答案：A

点评：本题考查的是二次函数的最值。根据函数有最小值判断出a的符号，进而可得出结论。求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

（2012甘肃兰州，7，4分）抛物线y=（x+2）-3可以由抛物线y=x平移得到，则下列平移过程中正确的是（ ）

A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 解析：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2-3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选B． 答案：B

点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．难度较小。

（2012甘肃兰州，4，4分）抛物线y=-2x2+1的对称轴是（ ） A.直线x?122

2

B. 直线x??12 C. y轴 D. 直线x=2

解析：抛物线y=-2x2+1就是抛物线的顶点式方程，可直接得到对称轴为x=0，即y轴。 答案：C

点评：本题主要考查二次函数的性质的知识点，将解析式化为顶点式y=a（x-h）+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．也可以用公式法解答．

（2012河北省12,3分）12、如图6，抛物线y1?a?x?2??3与y2?22

12?x?3?2，过?1交于点A（1,3）

点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论： ①无论x取何值，y2总是正数；

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②a=1；

③当x=0时，y1?y2?4； ④2AB=3AC

其中正确的是 （ ） Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④

y2?12【解析】

?x?3?2?1a?12?0中，

a?2，而图象又在x轴的上方，所以结论①正确；将A（1,3）代入

y1?y2?296，所以结论③错误；把

y1?a?x?2??32，可得

3，所以结论②不正确；当x=0时，

y=3，分别代入两个表达式中，分别求出AB、AC的长度，比较它们的数量关系，可知④是对的。 【答案】D

【点评】本题考查的知识点比较多，计算量比较大，但是如用排除法，就简单一点了。在教学中，多渗透一题多解。此题难度较大。

(2012江苏苏州，16，3分)已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1 ＞ y2（填“＞”、“＜”或“=”）．

分析： 先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置及函数的增减性，进而可得出结论． 解答： 解：由二次函数y=（x﹣1）2+1可，其对称轴为x=1， ∵x1＞x2＞1， ∴两点均在对称轴的右侧， ∵此函数图象开口向上， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵x1＞x2＞1， 第7页（共61页）

2

∴y1＞y2． 故答案为：＞． 点评： 本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B两点的位置是解答此题的关键．

(2012广安中考试题第16题，3分)如图7，把抛物线y=

12x平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，

122

0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=________________．

x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为

思路导引：注意平移的性质的运用，观察得出的图象构造的图形，可以发现以点AQOP为顶点的四边形是

菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，结合轴对称的性质进行分析解答 解析：平移后的抛物线的解析式是y=x=－3时，y=OA=6，PQ=23

1292x=

2图7 12x(x＋6)，所以顶点坐标是（－3，－

9292），

92，所以点Q坐标是（－3，

12），

=9，所以四边形APOQ面积是

123639=27,图中阴影部分的面积是

四边形APOQ面积的，所以面积是

272

ymQAOxP

点评：在图形面积计算问题中，巧妙运用轴对称性质解答问题，注意割补法灵活运用.另外一般图形向特

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殊图形的转化也十分关键.

（2012，湖北孝感，18，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图像的一部分如图所示，对于下列说法：

①abc<0；②a-b+c<0； ③3a+c<0； ④当-10．其中正确的是__________(把正确说法的序号都填上)．

【解析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． ∵抛物线的开口向下，∴a＜0，

∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0， ∵对称轴为x=?b2a=1，得2a=－b，∴a、b异号，即b＞0，

又∵c＞0，∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线与x轴的交点可以看出，

当x=－1时，y＜0，∴a－b+c＜0，故②正确； 当x=－1时，y＜0，

而此时a－b+c =3a+c，即3a+c<0；故③正确； 观察图形，显然④不正确． 【答案】①②③

【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．

（2012深圳市 14 ，3分）二次函数y?x?2x?6的最小值是 。

b2a4ac?b4a22【解析】：考查二次函数的基本性质，会用顶点坐标公式(?,)求顶点。根据a的值确定抛物线

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的开口方向，从而确定函数的最大或最小值。或将一般式化为顶点式求解。

【解答】：由a?1，可知二次函数y最小值?224ac?b4a2?4?1?6?(?2)4?12?5或者由

y?x?2x?6?(x?1)?5知二次函数的最小值是5

【点评】：一是公式记忆要准确，二是系数不能代错。化成顶点式时配方不能出错。

（2012年广西玉林市，18，3）二次函数y=-（x-2）2+

94的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），

横、纵坐标都是整数的点有 个. （提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．

分析：根据二次函数的解析式可知函数的开口方向向上，顶点坐标为（2，的交点横坐标．

解：∵二次项系数为-1，∴函数图象开口向下，顶点坐标为（2，得x1=

129494），当y=0时，可解出与x轴

），当y=0时，-（x-2）2+

94 =0，解

，得x2=

72 ．可画出草图为：

图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，为（2，0），（2，1），（2，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）．

点评：本题考查了二次函数的性质，熟悉二次函数的性质、画出函数草图是解题的关键．

（2012湖北咸宁，16，3分）对于二次函数y?x2?2mx?3，有下列说法： ①它的图象与x轴有两个公共点；

②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m?1；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m??1；

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④如果当x?4时的函数值与x?2008时的函数值相等， 则当x?2012时的函数值为?3．

其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）

【解析】①根据函数与方程的关系解答；∵△＝4m2－43（－3）＝4m2＋12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；

②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；∵当x≤1时y随x的增大而减小，∴函数的对称轴x＝－

－2m2在直线x＝1的左侧(包括与直线x＝1重合)，则－

－2m2≤1，即m≤1，故本选项错误；

③将m＝－1代入解析式，求出和x轴的交点坐标；将m＝－1代入解析式，得y＝x2＋2x－3，当y＝0时，得x2＋2x－3＝0，即（x－1）（x＋3）＝0，解得，x1＝1，x2＝－3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；

④根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m＝2012代入解析式；④∵当x＝4时的函数值与x＝2008时的函数值相等，∴对称轴为x＝

2

4+200822

＝1006，则－

－2m2＝1006，即m＝1006，原函数

可化为y＝x－2012x－3，当x＝2012时，y＝2012－201232012－3＝－3，故本选项正确． 【答案】①④（多填、少填或错填均不给分）

【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线平移、与x轴的交点，综合性较强．

（2012年广西玉林市，11，3）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,有如下结论：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正确的结论是（ ）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

分析：由抛物线与y轴的交点在1的上方，得到c大于1，故选项①错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到关于a与b的关系，整理得到2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x轴的交点有两个，得到根的判别式大于0，整理可判断出选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2，选项④正确，

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即可得到正确的选项．

解：由抛物线与y轴的交点位置得到：c＞1，选项①错误； ∵抛物线的对称轴为x=-b2a =1，∴2a+b=0，选项②正确；

由抛物线与x轴有两个交点，得到b2-4ac＞0，即b2＞4ac，选项③错误； 令抛物线解析式中y=0，得到ax2+bx+c=0，∵方程的两根为x1，x2，且-=2，选项④正确，综上，正确的结论有②④．故选C

点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置确定，抛物线与x轴交点的个数决定根的判别式的符号．

（20122哈尔滨，题号24分值 6）

小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm)随x(单位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?21世纪教育网

【解析】本题考查确定函数解析式，二次函数最值.三角形的边x和高的和是40，可表示该边上的高位40-x，根据三角形面积公式是底乘高除2可写出S=值.

【答案】解：（1）S=

b2a2

b2a =1，及-

ba =2，∴x1+x2=-

ba

123x(40-x),这个二次函数的顶点坐标分别对应x及S的最大

123x(40-x)= ?4ac?b4a212x+20x；

2 （2）x=?=20,S==200,

所以当x=20cm时，这个三角形的面积最大，最大面积是200cm2.

【点评】二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的最值问题，需要考生熟悉二次函数的相关基本概念和配方法即可解题．要注意解题过程的完整性.

（20122哈尔滨，题号8分值 3）将抛物线y=3x向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( )．

(A)y=3(x+2)2—1 (B)y=3(x-2)2+1 (C)y=3(x-2)2—1 (D)y=3(x+2)2+l

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2

【解析】本题考查了函数图象的平移规律．抛物线的平移规律是：左右平移自变量左加右减，上下平移常数上加下减来进行．对于题目当中这种简单形式，可以直接套公式即可． 【答案】A

【点评】（1）受点的平移规律影响，误认为左右平移时自变量“左减右加”而误选B；（2）将3x2误认为是自变量，得出错误答案：y=3x+2-1=3x+1．

（20122哈尔滨，题号10分值 3）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是( )． (A)y=一2x+24(0

12122

2

x十12(0

(c)y=2x一24(0

【解析】本题考查函数解析式的表示方法及自变量取值范围．AB+CD+BC=24，即2AB+x=24,2y+x=24，所以y=12-12x．因为菜园一边的墙足够长，所以自变量x(BC)只要小于24即可，又边长大于零，所以x取值范

围0＜x＜24,故选B． 【答案】B

【点评】根据矩形的周长公式本题易得解，但要注意矩形的第四边的特殊要求。

（2012河北省24,9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5~50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，

薄板的边长（cm） 20 30 第13页（共61页）

出厂价（元/张） 50 70 （1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；

（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元（利润=出厂价-成本价）。 ①求一张薄板的利润与边长这之间满足的函数关系式。

②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？

参考公式：抛物线y?ax2?b4ac?b2?bx?c?a?0?的顶点坐标是???2a,4a???。 ??【解析】（1）根据每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，设出出厂价的表达式（为一次函数）再根据表格中的数据，求出解析式。（2）根据利润=出厂价-成本价，列出利润的关系式，为二次函数，再利用顶点坐标，求出当边长为多少时，博班利润最大？最大利润是多少？但是需要验证顶点的横坐标在不在x的取值范围内。

【答案】解：（1）设一张薄板的边长为x cm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元， 则y=kx+n????????????2分

?50?20k?n?k?2由表格中数据得? 解得? ∴y=2x+10

?70?30k?n?n?10（2）①设一张薄板的利润为P元，它的成本价为mx2元，由题意得 P=ｙ－ｍｘ＝2x+10-mx

将x=40，P=26代入P=2x+10-mx2中，得26=2?40?10?m?40 解得m=∴P??125x?2x?10 125b2a22?(?125)222

2

125

②∵a???0 ∴当x?????25（在5~50之间）时，

P最大值?4ac-b4a2?1?24?????10?2?25???35

1??4?????25?即出厂一张边长为25cm的薄板，所获得的利润最大，最大利润为35元 【注：边长的取值范围不作为扣分点】

第14页（共61页）

【点评】本题是一次函数、二次函数的用，①求表达式，②求极值。一次函数求极值是根据y随x的增大而增大还是缩小；二次函数的极值分为两部分：顶点极值和非顶点极值。是每次中考都要考查的重点内容。教学时要多加注意。难度中等。

（2012黑龙江省绥化市，23，6分）如图，二次函数y?ax2?4x?c的图像经过坐标原点，与x轴交与点A(-4，0)．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在抛物线上存在点P，满足S?AOP?8，请直接写出点P的坐标．

【解析】解：（1）把点A（-4,0）及原点（0,0）代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答； ?c?0?a??1解得 ??2（-4）-4?（-4）+c=0?c?0?a?所以，此二次函数的解析式为y=-x-4x； （2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可．由已知条件得（2）∵点A的坐标为（-4，0）， ∴AO=4， 设点P到x轴的距离为h， 则S△AOP=12234h=4，解得h=4， ① 当点P在x轴上方时，-x2-4x=4，解得x=-2，所以，点P的坐标为（-2，4）； ② 当点P在x轴下方时，-x2-4x=-4，解得x1=-2+22，x2=-2-22 所以，点P的坐标为（-2+22，-4）或（-2-22，-4）， 综上所述，点P的坐标是：（-2，4）、（-2+22，-4）、（-2-22，-4）． 2【答案】⑴y??x?4x ；⑵点P的坐标是：（-2,4）、（-2+22，-4）、（-2-22，-4）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解．难度中等．

第15页（共61页）

（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，

?5k?b?448设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则?，解得：k?，b?? 33?2k?b?0∴y?当x?

4352x?83 43?52?83?23时，y?， ∴P(52,23) （4）∵MN∥BD， ∴△OMN∽△OBD， ∴OMOB?ONOD,即t4?ON2，得ON?112t 12555(?t)??t? 23246设对称轴交x轴于点F，则S梯形PFOM=(PF?OM)?OF?2∵S△MON=OM?ON?211112t?t?t 2241256t)?23??14215(?22255121S?t??t?(?t?4646S△PNF=1NF?PF?16t?171256 )??t?t(0?t?4) S存在最大值． 由S??∴当t?14t?21712t??14(t?176)?2289144 176时，S取得最大值为176).

289144 此时点M的坐标为(0,点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键，难度较大.

（2012贵州遵义，27, 分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣

）．

（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标； （2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

第21页（共61页）

解析： （1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点 （3，﹣）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标． （2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为 2，代入函数解析式可得出点P的横坐标； （3）先求出∠BOA的度数，然后可确定∠Q1OA=的度数，继而利用解直角三角形的 知识求出x，得出Q1的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标． 答案： 解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a≠0）， 又∵函数的顶点坐标为（3，﹣∴， ）， 解得：， 故函数解析式为：y=x﹣2x， 由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）； （2）∵S△POA=2S△AOB， ∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2代入函数解析式得：2解得：x1=3+，x2=3﹣=x2﹣， ，2），P2（3﹣，2）． x， ， 即可得满足条件的有两个，P1（3+（3）存在． 过点B作BP⊥OA，则tan∠BAP==， 第22页（共61页）

故可得∠BOA=60°， 设Q1坐标为（x，∵△OAB∽△OQ1A， ∴∠Q1OA=30°， 故可得OF=Q1F，即x=（x﹣2x﹣2x），过点Q1作Q1F⊥x轴， x）， 解得：x=9或x=0（舍去）， 即可得Q1坐标为（9，3）， ）． 根据函数的对称性可得Q2坐标为（﹣3，3点评： 此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质，三角形的面积及 一元二次方程的解，综合性较强． （2012呼和浩特，25，12分）（12分）如图，抛物线y?ax2?bx?c(a<0)与双曲线y?kx相交于点A、B，

且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（–2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E。

（1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC与△ABE的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍。若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

yExAOCB

【解析】二次函数、反比例函数综合题 【答案】

解：（1）∵点A（–2，2）在双曲线y?

∴k= –4

第23页（共61页）

kx上

∴双曲线的解析式为y??4x

∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍

∴可设B点坐标为（m,–4m）（M>0）代入双曲线解析式得m=1 ∴抛物线y?ax2?bx?c过点A（–2，2）、B（1，–4）、O（0，0） ?4a?2b?c?2?a??1??∴?a?b?c??4 解得?b??3 ?c?0?c?0??

∴抛物线的解析式为y= –x2–3x

2

（2）∵抛物线的解析式为y= –x–3x

339∴顶点E(?,)，对称轴为x=?

224yEFx∵B（1，–4） ∴–x–3x=–4 ∴C（–4，–4） ∴S△ABC=5363

122

A解得x1=1,x2= –4

O=15

CB由A、B两点坐标为（–2，2），（1，–4）可求得直线AB的解

析式为：y= –2x–2

第24页（共61页）

设抛物线对称轴与AB交于点F，则F点坐标为（–∴EF=

94?1?5432，1）

12∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=

1583

5433=

158

（3）∵S△ABE=

∴8 S△ABE=15

∴当点D与点C重合时，显然满足条件。

当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其对应的一次函数解析式为y= –2x–12 令–2x–12=–x2–3x 解得x1=3,x2= –4(舍) 当x=3时，y= –18

∴存在另一点D（3，–18）满足条件。

【点评】（1）利用反比例函数求点的坐标，并求出抛物线的解析式。（2）中利用解析式求出各个点的坐标，再求三角形的面积。（3）利用同底等高的原理作出平行线，找出另一点并求坐标。

（2012湖北武汉，23，10分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴y轴建立平面直角坐标系， （1）求抛物线的解析式；

（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离ｈ（单位：米）随时间ｔ（单位：时）的变化满足函数关系 ｈ＝－

11282(t?19)?8 （０≤ｔ≤40）

且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

解析：1、根据题意可得A，B，C，三点坐标分别为（-8，8）（０，11）（8，8），利用待定系数法，设?8?82a?c抛物线解析式为y=ax+c,有?,解方程组即可

?11?c2

2、水面到顶点C的距离不大于5米，即函数值不小大于11－5＝６，解方程－即可

1128(t?19)?8＝６

2解：1、依题有顶点Ｃ的坐标为（０，11），点Ｂ的坐标为（8，8），设抛物线解析式为y=ax2+c

3??8?82a?ca???有?,解得?64 ?11?c?c?11?∴抛物线解析式为y=－2、令－

11282364x2+11

(t?19)?8＝11－5，解得t１＝35，t2=3 1128(t?19)?8 （０≤ｔ≤40）的图像，

2画出 ｈ＝－

由图像变化趋势可知，当3≤ｔ≤35时，

水面到顶点C的距离不大于5米，需禁止船只通行， 禁止船只通行时间为35－3＝32（时） 答：禁止船只通行时间为32小时。 点评：难度中等

第25页（共61页）

（2012湖北武汉，25，12分）如图1、点A为抛物线C1：y =线AB交抛物线C1于另一点C，（1）求点C的坐标;

（2）如图1,平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C于点E，平行于y轴的直线x＝a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE＝4：3,求a的值。

（3）如图2将抛物线C向下平移m（m>0）个单位得到抛物线C2且抛物线C2的顶点为点P交X轴负半轴于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值。

122，直x?2的顶点，点B的坐标为（1,0）

解析：1、求C点的坐标，可首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，联立直线与抛物线得到方程组，求解方程组即可；

2、根据题意，DE的长度可求

32又FG：DE＝4：3,故可求FG=2即∣yF-yG∣=2,把x＝a代人两个函数

解析式，用a表示F、G、纵坐标，得到关于a的方程即可；

3、解决本题关键在于抓住M、P之间的联系，可设点M坐标为（ 线C2解析式为y =

12x?2t，0），根据待定系数法得抛物

12t，即P点坐标为（0，?212，又直线AB与抛物线C2的交点N坐标为t）

2（2-t，2-2t ），从而有∠NMO=450，进而MN与y轴交点为T（0，-t）,由特殊角三角函数和线段和差有NT=-t+

122（2-t）,PT=-t+

12t2，又PN平分∠MNQ, NQ∥TP 故∠MNP=∠PNQ=∠TPN ，PT=NT,即

t2=2(2-t)，从而求得t值，进而求得m.

解：（1）当x=0时，y=－２, ∴A(0，－２) 设直线AB的解析式为y=kx+b,有

??2?b?k?2，解得. ∴直线AB的 解析式为y=2x-2. ??0?k?bb??2??12??y?x?2由C点为直线与抛物线y =x?2的交点，则点C的横、纵坐标满足? 22?y?2x?2?12第26页（共61页）

?x1?4?x2?0解得? ?（舍） ∴点C的坐标为（4，6）

y?6y??2?1?2（2）直线x＝3分别交直线AB和交抛物线C1于D、E两点。 ∴yD=4, yE=

52, ∴DE=

32

∵FG：DE＝4：3．FG＝２

∵直线分别交直线AB和抛物线C于F、G两点。 ∴yF=2a-2, yG=

12a2-2, ∴FG=|2a-

12a2|=2

解得a1=2,a2=2+22,a3=2-22

（3）解法一：设直线MN交y轴于T，过点N作NH⊥y轴于点H。 设点M坐标为（ t，0），抛物线C2 的解析式为y =∴0=

12t21212x2?2?m 12t

2?2?m ，∴?2?m??1212t ∴y =

2x?2∴点P坐标为（0，?， t）

122∵点N是直线AB与抛物线y=

1212?y?x?t? 22??y?2x?2?x2-

12t2的交点，则点N的横，纵坐标满足

?x1?2?t?x2?2?t解得? ?(舍去) ∴点N坐标为（2-t，2-2t ）

y?2?2ty?2?2t?1?2NQ=2--2t ，MQ=NQ, ∴

∴△MOT, △NHT均为等腰直角三角形，∴MO=NO,HT=HN, ∴OT=t，NT=2NH=2（2-t）,PT=-t+

12t2

∵PN平分∠MNQ, NQ∥TP ∴∠MNP=∠PNQ=∠TPN ∴PT=NT, ∴-t+

12t2=2(2-t), ∴t1=-22,t2=2(舍去)

12-2-m=-t2=-

12(-22)2,∴m=2

12解法二，设N坐标为（t,2t-2）,抛物线C2的解析式为y=∴点P坐标为（0，?12t+2t-2）

2x2-2-m, ∴2t-2=

12t2-2-m

第27页（共61页）

同解法一可得∠MNQ=45，∴∠PNQ=

0

12∠MNQ=22.5，

0

过点P作PF⊥NQ于点F，在FN上截取FJ=FP，连线JP，∴NJ＝JP＝2PF＝2FJ ∴NF＝（2＋１）PF，∴即（２t-2）-(-∴t1=22+2,t2=0(舍去), ∴m=

122

12t2+2t-2)=( 2+1)t

t-2t=2 ∴m=2

点评：本题以二次函数为背景，考察了待定系数法，函数与方程组，抛物线与直线所截线段长度的计算，特殊角的三角函数，平行线、角平分线的性质等相关知识，以及数形结合的数学思想，1、2问难度不大，2问学生需注意分类讨论，也可以对线段的长度加绝对值达到分类讨论的效果；3问难度较大，学生不容易找到问题的突破口，学生可以先进行必要的计算，边算边找，只要找到∠NMQ=45，问题就较为明晰了。

（2012湖南衡阳市，27，10）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜（1）当t为何值时，PQ∥BO？ （2）设△AQP的面积为S，

①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．

）秒．答案如下问题：

0

解析：（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式值；

（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由线段比例关系

求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关于t的二

，求出t的

次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；

第28页（共61页）

②本问关键是求出点P、Q的坐标．当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解．

答案：解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8， ∴AB=

=

=10．

如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t． ∵PQ∥BO，∴∴当t=

（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．

①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO， ∴

，即

，解得PD=6﹣t． ，即

，解得t=

，

秒时，PQ∥BO．

S=AQ?PD=?2t?（6﹣t）=6t﹣t2=﹣（t﹣）2+5， ∴S与t之间的函数关系式为：S=﹣（t﹣）2+5（0＜t＜当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）． ②如图②所示，当S取最大值时，t=， ∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO，又PD∥BO， ∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4， ∴P（4，3）． 又AQ=2t=

，∴OQ=OA﹣AQ=

，∴Q（

，0）．

），

依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．

∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）．

第29页（共61页）

点评：本题是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点．第（2）②问中，给出了“向量PQ”的坐标的新定义，为题目增添了新意，不过同学们无须为此迷惑，求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识．

（20122湖南省张家界市225题212分）如同，抛物线

y??x?2233x?2与x轴交于C、A两点，

与y轴交于点B，OB=4点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点.

（1） 分别求出点A、点B的坐标 （2） 求直线AB的解析式 （3） 若反比例函数y?kx的图像过点D，求k值.

（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动

12个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t,问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大

值，并求出此时的t值，若不存在，请说明理由.

第30页（共61页）

y D2 B P O Q AC x

【分析】（1）求抛物线与x轴的交点的横坐标，即求函数值为0时，x的值；（2）利用待定系数法可求；（3）求出D点的坐标，再代入反比例函数关系式即可求k值；（4）利用二次函数的最值求解.

2

【解答】解：（1）令y=0，即-x+

533x+2=0，解答x1=-

33，x2=23.

∴C（-

33，0），A（23，0）

（2）令AB为直线为y=k1x+2，∵点A（23，0）在直线上，

33∴0=K1223+2，∴k1=-.

∴AB的解析式为y=-

33x+2.

（3）∵D点与O点关于AB对称，∴OD=OA=23. ∴D点的横坐标为3，纵坐标为3，即D（3，3）. 因为y=

kx过点D，∴3=

12k3，∴k=33.

12（3）∵AP=t，AQ=t，∴OQ=23-12t.

点P到OQ的距离为t.

第31页（共61页）

∴S△OPQ=

122（23-

12t）2

12t=-

18（t-23）+

2

32.

?t?4??1依题意，?t?23，得0＜t≤4，

?2??t?0∴当t=23时，S有最大值为

32.

【点评】本题是考查一次函数、反比例函数和二次函数，由函数及满足函数图象的点，求出相关点的坐标，然后用待定系数法，求出抛物线的解析式；再根据二次函数的最值求解问题．

( 2012年四川省巴中市,29,9)某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.

(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;

(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?

【解析】①根据题意，y=（60-50+x）(200-10x),整理得，y=10x2+100x+2000(0

②由① 得y=-10x2+100x+2000=－10（x-5）2＋2250，当x=5时，最大月利润y为2250元。 【答案】①y=-10x2+100x+2000(0

【点评】本题是二次函数的应用问题，“最大利润问题”，根据题意准确的确定函数关系式是解决问题的

关键.

(2012山东日照，22，9分)如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，

P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设

运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.

（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求△PBQ的面积的最大值.

解析：先运用三角形的面积公式求出y关于x的函数关系式，然后运用公式法或配方法把函数化成顶点式，再根据x的取值范围求所得函数的最大值，进而解决问题.

第32页（共61页）

解：（1）∵S△PBQ=

∴y=

1212PB2BQ, PB=AB－AP=18－2x，BQ=x，

（18－2x）x，即y=－x2+9x（0

92（2）由（1）知：y=－x2+9x，∴y=－(x－

∵当0

92）2 +

814,

时，y随x的增大而增大， 而0

2

∴当x=4时，y最大值=20，即△PBQ的最大面积是20cm.

点评：本题考查了列函数关系式表示几何关系的能力以及二次函数的最值的求法，解题的关键是用x表示相关线段的长，然后关键三角形的面积公式求出y关于x的函数关系式，难点是求函数的最大值. （2012广东肇庆，25，10） 已知二次函数y?mx2与x轴交于A（x1，?nx?p图象的顶点横坐标是2，

0）、B（x2，0），x1﹤0﹤x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan?CAO?tan?CBO?1．3（—m） —

123434=—

23m—

2

83=—

23（m＋2）＋

2

83.

（3）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x，y），使得点Q到BB1的距离是

22，过点Q作QD⊥BB1于点D，由（2）可知，这时△PBB1的面积可以表示为 （x＋2）2＋

83—

23.

在Rt△O BB1中，

BB1=OB?OB1=42，

22∵S△PBB1=

23123BB13QD=

8312342322=2，

∴—（x＋2）2＋=2，解得：x 的值是－1或者是－3，当x=－1时，y=－4，当x=－3时，y=－2，因

22此在第三象限内，抛物线上存在点Q，使得Q点到线段BB1的距离是（—3，—2）；

，这样的点Q 的坐标是（—1，—4）

点评：与二次函数有关的动点构造的面积问题，结合几何图形的信息，建立方程或者是函数模型，通过解方程或者是对函数的性质的讨论，确定问题的所有情况，转化、数形结合、待定系数法、分类等多种数学思想方法综合运用，有助于解决问题.

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（2012深圳市 22 ，9分）如图8，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(?4,0),B(1,0),C(?2,6) （1）求经过A、B、C三点抛物线的解析式

（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE

（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由。

【解析】：（1）已知三点的坐标，代入二次函数的一般式，或利用二次函数的交点式，求出待定系数a,b,c的值。（2）求出直线BC的解析式及点E的坐标，过点C向y轴作垂线，通过计算AE、CE的长来说明AE=CE；（3）抓住?ABC是这两个三角形的公共角，证明它们的夹边是否对应成比例即可。

【解答】：如图8—1

（1）解：设抛物线的解析式为y?a(x?x1)(x?x2)?a(x?4)(x?1) yyCFDFEAA图8 CG DEO图8--1 BxOBxyC?C(?2,6)在抛物线上，?6?a(?2?4)(?2?1)，?a??1

G DFE故 y??x?3x?4为所求

（2）过点C作CG⊥y轴于点G，有OG?6，CG?2

?B(1,0),C(?2,6)，设直线BC的解析式为y?kx?b则

2?x?0?0?k?b 解之得：， 故E(0,2)，OE?2 ??y?2??6??2k?6A图8--1 OE?OA?22OBx?CE?CG?GE22?2?4?2522，?AE??2?4?25 22?AE?CE

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（3）相似

由于y??x2?3x?4，令x?0，则y?4?D(0,4)

直线BC的解析式为：y??2x?2 同理可求直线AD的解析式为：y?x?4，

2?x????y??2x?2?3有：?，解之得：?

10y?x?4??y???3?故交点F(?23,?103)，易求得：BF?553,BC?35,AB?5

可知：

ABBF?BCAB?355，又?ABF??CBA，故?ABF??ABC

【点评】：几何与坐标是中考中重点考查的内容。本题主要考查用待定系数法求二次函数、一次函数的解

析式，求直线与坐标轴交点的坐标，并能熟练将点的坐标转换为线段的长，利用勾股定理进行计算。能根据题目的特点熟练选择相似三角形的判定定理

（2012山西，24，10分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 【解析】（1）解：设每千克核桃应降价x元． ?1分

根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+320）=2240． ?4分 化简，得 x2﹣10x+24=0 解得x1=4，x2=6．?6分

答：每千克核桃应降价4元或6元． ?7分 （2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．

因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元． ?8分 此时，售价为：60﹣6=54（元），

答：该店应按原售价的九折出售． ?10分

【答案】（1）每千克核桃应降价4元或6元．

（2）该店应按原售价的九折出售．

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． ?9分

【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，利用实际生活问题构建出数学模型，考生解决此类问题的关键是充分挖掘出题目中的等量关系，然后将实际问题转化为数学问题，从而解决实际问题．难度中等．

（2012山西，26，14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；

（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

【解析】（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3． ∵点A在点B的左侧，

∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）． 当x=0时，y=3． ∴C点的坐标为（0，3）

设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0）， 则

，

解得，

∴直线AC的解析式为y=3x+3． ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4）． （2）抛物线上有三个这样的点Q，

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①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）； ②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+

，﹣3）；

，﹣3）；

③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+

，﹣3），Q3（1﹣

，﹣3）．

（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求， 过点B′作B′E⊥x轴于点E． ∵∠1和∠2都是∠3的余角， ∴∠1=∠2．

∴Rt△AOC～Rt△AFB， ∴

，

由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3， ∴AC=∴∴BF=

，AB=4． ， ，

，

∴BB′=2BF=

由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB， ∴∴

， ，即

．

∴B′E=，BE=， ﹣3=

．

∴OE=BE﹣OB=

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∴B′点的坐标为（﹣，）．

设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．

∴，

解得，

∴直线B'D的解析式为：y=x+，

联立B'D与AC的直线解析式可得：，

解得，

∴M点的坐标为（，）．

【答案】（1）直线AC的解析式为y=3x+3；B的坐标分别为（3，0）；顶点D的坐标为（1，4）． （2）满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+（3）M点的坐标为（

，

）．

，﹣3），Q3（1﹣

，﹣3）．

【点评】本题综合考查了二次函数中用配方法求顶点坐标、与两坐标轴的交点的求法、待定系数法求直线解析式、三角形相似的判定及性质；平面上两点之间最短距离的转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等多个知识点和多个初数的数学思想的综合，对考生在知识和能力上均提出了很高的要求，能很好的区分不同层次的考生，达到拉开不同层次考生差距的目的．难度较大．

（2012山东东营，24，11

分）已知抛物线y?32x2?bx?63经过

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A（2，0）． 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求b的值，求出点P、点B的坐标； （2）如图，在直线 y=3x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；

若不存在，请说明理由； y y?3x O A B x P

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由． 【解析】(1)把A（2，0）代入

y?32x2?bx?63即可求得b的值，配方可求P的坐标，令y=0,解方程

可求B的坐标；（2）根据两组对边分平行的四边形是平行四边形，求边所在直线的解析式，然后求出交点D的坐标；（3）可判断△PAB是等边三角形，因此只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点即为所求的点。 【答案】解：（1）由于抛物线y?32x?bx?63经过A（2，0），所以0?232?4?2b?63，

解得b??43，所以抛物线的解析式为y?322x?43x?63.（*），将（*）配方，得y?32?x?4?2?23，

所以顶点P的坐标为（4，-23）.令y=0，得解得

x1?2,x2?632?x?4?2?23?0，

3. 所以点B的坐标是（6，0）. （2）在直线 y=x上存在点D，使四边形OPBD为平

3)分别代入，得

行四边形. 理由如下：设直线PB的解析式为y?kx+b，把B（6,0）,P(4,-2??6k?b?0,? 解得?4k?b??23.?y?3x??k?3,?所以直线PB的解析式为y?3x?63.又直线OD的解析式为?b??63.?，所以直线PB∥OD. 设直线OP的解析式为y?mx，把P(4,-23)代入，得4m??23，解得

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m??32.如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形.设直线BD的解析式为y?33??32x?n，将B(6,0)代

入，得0=?33?n，所以n

所以直线BD?y?3x,??x?2,?x?n，的解析式为y??解方程组?得所以?32?y?23.x?33.?y???2?3D点的坐标为（2,2

3）

（3）符合条件的点M存在.验证如下：过点P作x轴的垂线，垂足为为C，则PC=2

3，AC=2，由勾股定

理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，所以△APB是等边三角形，只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接

PM,BM,由于AM=AM, ∠PAM=∠BAM,AB=AP，可得△AMP≌△AMB.因此即存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.

【点评】综合考查了二次函数、平行四边形、特殊三角形的性质，熟练掌握所学知识，并能融会贯通，运用数形结合的思想去解题。 y y?3x D C M P

（2012，黔东南州，24）如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）D三点。 （1）、求抛物线的解析式。

（2）、点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长。

（3）、在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值，若不存在，说明理由。点的纵坐标

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