多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用

(A)

1．填空题

?2z?2z(1)若z?f?x,y?在区域D上的两个混合偏导数， ，则在D上，

?x?y?y?x?2z?2z。 ??x?y?y?x(2)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处可微的 条件是z?f?x,y?在点?x0,y0?处的偏导数存在。

(3)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?可微是z?f?x,y?在点?x0,y0?处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域

(1)z?x?y；(2)u?arccos3．求下列各极限

1?cos(x2?y2)sinxyxy(1)lim； (2)lim； (3)lim2

x?0(x?y2)x2y2x?0x?0xxy?1?1y?0y?0y?0zx?y22

?3z?3z4．设z?xln?xy?，求2及。 2?x?y?x?y5．求下列函数的偏导数 (1)z?arctg23y；(2)z?ln?xy?；(3)u?exyz。 xdz。 dtdu7．设u?ex?y?z?，x?t，y?sint，z?cost，求。

dt6．设z?uv2?tcosu，u?et，v?lnt，求全导数

?x2?y2?z?8．曲线?，在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是多少？ 4?y?4?x2y2z29．求方程2?2?2?1所确定的函数z的偏导数。

abc10．设z?ye2x?xsin2y，求所有二阶偏导数。

1

11．设z?f?x,y?是由方程12．设xy?ey?ex，求

?zxz?z?ln确定的隐函数，求，。

?xzy?ydy。 dxz3?z?z?2z13．设z?f?x,y?是由方程e?z?xy?0确定的隐函数，求，，。

?x?y?x?y14．设z?yex?cosy，求全微分dz。

15．求函数z?ln2?x2?y2在点?1,2?的全微分。 16．利用全微分求

2???2.98?2??4.01?2的近似值。

17．求抛物面z?x2?y2与抛物柱面y?x2的交线上的点P?1,1,2?处的切线方程和平面方程。

x2y2z2???3上点P?2,?1,3?处的切平面方程和法线方程。 18．求曲面41919．求曲线x?4t，y?t2，z?t3上点M0?x0,y0,z0?，使在该点处曲线的切线平行3于平面x?2y?z?6。

20．求函数f?x,y??4?x?y??x2?y2的极值。 21．求函数f?x,y??e2xx?y2?2y的极值。

22．要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？

(B)

1．求下列函数的定义域

(1)z?arcsinx?y?lnln10?x?4y???2???22??；(2)u?x2?y2?1

4?x2?y2y??2．(1)设f?x?y,??x2?y2，求f?x,y?，f?x?y,xy?。

x?? (2)设f?x,y??x?2y，求f?xy,f?x,y?? 3．求下列函数的极限

2

?2??(1)lim?1?22?x???x?y?y???2x2?y2??；(2) limex?0y?021x?y2?2?12sin?ex?y???? ???xy,当(x,y)??0,0??424．设f?x,y???x?y，问limf?x,y?是否存在？

x?0y?0?0,当?x,y???0,0???xsin?x?2y?,x?2y?5．讨论函数的连续性，其中f?x,y???x?2y。

?0,x?2y??xy,?x,y???0,0??226．二元函数f?x,y???x?y在点?0,0?处：①连续，偏导数存在；

?0,?x,y???0,0??②连续，偏导数不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。

7．设z?1?x2y，求

??y?z?z，。 ?x?y?f?2f8．设u?f2x?3y?2z，求，2。

?x?x?32??f?2f9．设u?f2x,3y,2z，求，。

?z?z?x?32?10．设z?xyfx2?y2,x2?y2，f可微，求dt。 11．设f?xy,y?z,xz??0，求

?z?z，。 ?x?y??12．设zx?yz?0，求dzx?1。

y?1z?113．设z?f?rcos?,rsin??可微，求全微分dz。

14．设z?f?x,y?是由方程f?x?z,yz??0所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导数，求dz，并由此求

?z?z和。 ?x?y15．求z?x2?y2??xy的偏导数。

?x?y?z?0dxdy16．设?2，求，。 22dzdz?x?y?z?1

3

17．设u?exyz?3u，求。

?x?y?z18．求函数u?xyz在点?5,1,2?处沿从点?5,1,2?到点?9,4,14?方向的方向导数。 19．求函数u?xx2?y2?z2在点M?1,2,?2?沿x?t，y?2t2，z??2t4在此 点的

切线方向上的方向导数。

6x2?8y2?20．求函数u?在点P处沿方向n的方向导数。

z21．判断题：(简单说明理由) (1)

?f?x,y?就是f?x,y?在?x0,y0?处沿y轴的方向导数。 ?y?x0,y0? (2)若f?x,y?在?x0,y0?处的偏导数在。

?f?f，存在，则沿任一方向l的方向导数均存?y?y22．证明曲面x?y?z?4上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。

23．证明：球面∑：x2?y2?z2?1上任意一点?a,b,c?处的法线都经过球心。 24．求椭球面3x2?y2?z2?16上的一点??1,?2,3?处的切平面与平面z?0的交角。 25．设u，v都是x，y，z的函数，u，v的各偏导数都存在且连续，证明： 26．问函数u?xy2z在P?1,?1,2?处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。

x2y2z227．求内接于椭球面??2?2?1的最大长方体的体积。

abc23232328．某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入

R与报纸广告费x及电视广告费y(单位：万元)之间的关系有如下经验公式：

R?15?14x?31y?8xy?2x2?10y2，在限定广告费为1.5万元的情况下，求相应的最优广告策略。

29．求函数f?x,y??ex?y的n阶麦克劳林公式，并写出余项。

4

30．利用函数f?x,y??xy的2阶泰勒公式，计算1?11.02的近似值。

(C)

1．证明limx?0y?0xyx?y22?0。

2．设f?x,y??|x?y|??x,y?，其中??x,y?在点?0,0?，邻域内连续，问(1)??x,y?在什么条件下，偏导数fx??0,0?，fy??0,0?存在；(2)??x,y?在什么条件下，f?x,y?在?0,0?处可微。

3．设y?f?x,t?而t为由方程??x,y,t??0所决定的函数，且??x,y,t?是可微的，试求

dy。 dx?2t4．设z?z?x,y?由z?lnz??edt?0确定，求。

y?x?yx?t2?x?y?z?u?v?15．从方程组?2中求出ux，vx，ux2，vx2。 2222x?y?z?u?v?1?6．设z?u?x,y?eax?by?2u，且?0，试确定常数a，b，使函数z?z?x,y?能满足方

?x?y?2z?z?z程：???z?0。

?x?y?x?y7．证明：旋转曲面z?f?x2?y2(f??0)上任一点处的法线与旋转轴相交。

?8．试证曲面x?y?z?a(a?0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a。

9．抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

10．设x轴正向到方向l的转角为?，求函数f?x,y??x2?xy?y2在点?1,1?沿方向l的方向导数，并分别确定转角?，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。

第八章 多元函数微分法及其应用

(A)

1．填空题

5

?2z?2z(1)若z?f?x,y?在区域D上的两个混合偏导数， 连续 ，则在D上，

?x?y?y?x?2z?2z。 ??x?y?y?x(2)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处可微的 必要 条件是z?f?x,y?在点?x0,y0?处的偏导数存在。

(3)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?可微是z?f?x,y?在点?x0,y0?处连续的 充分 条件。

2．求下列函数的定义域

(1)z?x?y 解：设定义域为D，由

y?0和x?y?0，即x2?y?0，x?0

y O (0,1) x 图1 得D??x,y?|x?0,y?0,x2?y，如图1所示 (2)u?arccos??zx?y22

解：设定义域为D，由

x2?y2?0，即x，y不同时为零，且即 z2?x2?y2，得

zx?y22?1，

D??x,y,z?|z2?x2?y2,x2?y2?0。 3．求下列各极限 (1)lim??sinxyxy (2)lim

x?0x?0xxy?1?1y?0y?0xy(xy?1?1)?sinxy???ylim?解：原式?lim? 解：原式 ?x?0?x?0xy(xy?1?1)(xy?1?1)?y?0?y?0 ?1?0?0 ?limxy?1?1?2

x?0y?0?? 6

1?cos(x2?y2)(3)lim2 x?0(x?y2)x2y2y?0??22??x?y22sin22?x?y?2解：原式?lim? ?22?x?02224xy?y?0??x?y?????2?????? ??111????? lim??2??0?x22xy?y?0??3z?3z4．设z?xln?xy?，求2及 2?x?y?x?y解：

?zy?ln?xy??x??ln?xy??1 ?xxy?2zy1?3z??，2?0， 2xyx?x?y?x?2zx1?3z1 ??，???x?yxyy?x?y2y25．求下列函数的偏导数 (1)z?arctgy x?z解：??x??y?x2???222?y??x?x?x?y1????x?1?z??x1?x?y?? ???22?y2?x?y?? 类似地

??y?x ???222?y??y?x?x?y1????x?(2)z?ln?xy? 解：

?z?1111 ?lnx?lny????x?x2lnx?lnyx2xlnxy?z1 ??y2ylnxy 同理可证得：

23(3)u?exyz

7

解：

23?23?z?exyzxy2z3?y2z3exyz ?x?x??223?u??exyzxy2z3?2xyz3exyz ?y?y??23?23?u?exyzxy2z3?3xy2z2exyz ?z?z??6．设z?uv2?tcosu，u?et，v?lnt，求全导数

?z??uv2?tcosu?v2?tsinu， ?u?u?z??z?uv2?tcosu?2uv，?cosu

?v?v?tdz。 dt解：

???? 依复合函数求导法则，全导数为

dz?zdu?zdv?zdt?????? dt?udt?vdt?tdt1uet?2uv??cosu?1 ?v2?tsint2et ?ln2t?tsinetet?etlnt?cost

????7．设u?ex?y?z?，x?t，y?sint，z?cost，求解：

du?udx?udy?udz ???dt?xdt?ydt?zdtdu。 dt ?ex?y?z??excots?exsint

t ?2etsin?x2?y2?z?8．曲线?，在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是多少？ 4?y?4?解：

?z2xx?z??，?x42?z?1?tg?，故???2,4,5??4。

x2y2z29．求方程2?2?2?1所确定的函数z的偏导数。

abc解：关于x求导，得到

2x2zc2x?2?zx?0，即zx??2 2acaz关于y求导，有

8

2yb2?2zc2yc2?zy?0，即zy??b2z。 10．设z?ye2x?xsin2y，求所有二阶偏导数。 解：先求一阶偏导数，得

?z?x?2ye2x?sin2y，?z?y?e2x?2xcos2y 再求二阶偏导数，得

?2z???z???x2??x???x????x?2ye2x?sin2y??4ye2x，

?2z??x?y???y??z???x?????y?2ye2x?sin2y??2e2x?2cos2y，

?2z???z??y?x??x????y???2x2x???y?e?2xco2sy??2e?2co2sy， ?2z?y2????y???z???y???2x???y?e?2xco2sy???4xsin2y 11．设z?f?x,y?是由方程xz?z?zz?lny确定的隐函数，求?x，?y。

解一：记F?x,y,z??xz?lnzy，则 Fy?z?1?x1x?zx??1z，Fy???z????y2????y，Fz??z2?z??x2 1 当F0时，便得Fz???zx?z?x??F??zz??x?2?x?z， z21?zFy?z2 ?y??F??y?。

z??x?zy?x?z?z2解二：（提示）直接对方程

xz?lnzy两边求偏导数，并明确z是x、9

y的函数，即可 ?z?x，?z?y。 12．设xy?ey?ex，求

dydx。 解：令F?x,y??xy?ey?ex，则Fyx??y?ex，Fy??x?e，则

dydx??Fx?F??y?ex x?ey。 y?13．设z?f?x,y?是由方程ez?z?xy3?0确定的隐函数，求?z?x，解：方程两边对x求偏导数，有

ez?z??z?y3?0，即ez?1?z?y3?x?x???x?0 解得 ?z?x?y31?ez 类似地，方程两边对y求偏导数，解得

?z3xy2 ?y?1?ez 再求二阶混合偏导数，得

?2z???z?3y2?1?ez??y3????ez?z??y???z?y??y???x??????1?ez?2

把上述

?z?y的结果代入，便得： ?2z3y2??1?ez?xy3ez?x?y???21?ez??3。

14．设z?yex2?cosy，求全微分dz。 解：由于

?z22?x?2xyex，?z?y?ex?siny，所以全微分为 dz??z?xdx??z?ydy?2xyex2dx??ex2?siny?dy。 15．求函数z?ln?2?x2?y2?在点?1,2?的全微分。

10

?z?2?y，z?x?y。得

?F?y?a,b,c??2y?a,b,c??2b，

?F?z?a,b,c??2z?a,b,c??2c，法线方程为：

x?ay?bz?c??，于是任一法线都过原点。 2a2b2c24．求椭球面3x2?y2?z2?16上的一点??1,?2,3?处的切平面与平面z?0的交角。 解：设F?x,yz??3x2?y2?z2?16，则法向量为Fx??6x，Fy??2y，Fx??2z，在

????1,?2,3?处的法向量n???6,?4,6??2??3,?2,3?。又平面z?0的法向量n1??0,0,1?，由平面夹公式：

cos????3??0???2??0?3?11(?3)?(?2)?3?122?322，即??arccos322。

25．设u，v都是x，y，z的函数，u，v的各偏导数都存在且连续，证明：

rgad(uv)?vgradu?ugradv。

??uv????uv????uv??证：graduv?i?j?k

?x?y?z?v????u?v????u?v????u ??v?u?i??v?u?j??v?u?k ???x???y?y???z?z???x??u??u??u????v??v??v?? ?v???xi??yj??zk???u???xi??yj??zk??

???? ?vgradu?ugradv

26．问函数u?xy2z在P?1,?1,2?处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。

解：gradu??ux,uy,uz???y2z,2xyz,xy2? gradu?1,?2,2???2,4,1?是方向导数最大值的方向。

2 gradu?22???4??12?21是此方向导数的最大值。

x2y2z227．求内接于椭球面??2?2?1的最大长方体的体积。

abc解：设P?x,y,z?是内接长方体在第一褂限内的顶点，由对称性，长方体的体积为：

21

V?8xyz (x?0，y?0，z?0) (*1)

x2y2z2由于P?x,yz?在椭球面上，故x，y，z应满足条件：??2?2?1，于是问题即求函

abc数(*1)在约束条件（*2）下的条件极限问题。引入L——函数

?x2y2z2??F?x,y,z,???8xyz??????1?a2b2c2?

????Fx??Fy??令??Fz???F???2?x?0,(1)2a2?y?8xz?2?0,(2)b

2?z?8xy?2?0,(3)cx2y2z2?2?2?2?1?0(4)abc?8yz??2abc?，得唯一解：x?，y?，z? 3333得：8xyz?由题意，所求的最大体积存在故以点(接于椭球面的长方体的体积最大。 最大体积为V?8?a3,

b3,

c3)为一个顶点所作的对称于坐标面的内

a3?b3?c3?83abc。 928．某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入R与报纸广告费x及电视广告费y(单位：万元)之间的关系有如下经验公式：

R?15?14x?31y?8xy?2x2?10y2，在限定广告费为1.5万元的情况下，求相应的最优广告策略。

解；作L——函数：F?x,y,z??15?14x?31y?8xy?2x2?10y2???x?y?1.5?

?Fx?13?8y?4x???0?令?Fy?31?8x?20y???0 ??F??x?y?1.5?0?2x?6y?9得?，得唯一解：x?0，y?1.5。 ?x?y?1.5又由题意，存在最优策略，所以将1.5万全部投到电视广告的方案最好。

22

29．求函数f?x,y??ex?y的n阶麦克劳林公式，并写出余项。

n?x?y解：f?0,0??1，fx?0,0??1，fy?0,0??1，同理fx?mn?m?0,0??eyn?x?y??R121n2?1??x?y??x?2xy?y????x?y??Rn??n2!n!k!k?0k?0,0??1，所以其

中

ex?y??Rn?x?y??x?y?（0???1）。 e?n?1?!30．利用函数f?x,y??xy的2阶泰勒公式，计算1?11.02的近似值。 解：在点?1,1?处将f?x,y??xy展开成三阶泰勒公式：

f?1,1??1，fx?1,1??yxy?1fxx?1,1??y?y?1?xy?2fyy?1,1??xyln2x?1,1??1,1??1,1??1，fy?1,1??xylnx?1,1??0，

?0，fxy?1,1??xy?1?yxy?1lnx???1,1??1，

?0

1?2?x?1??y?1???R2 2!所以f?x,y??f?1??x?1?,1??y?1???xy?1??x?1???1??x?1???x?1??y?1?

故1?11.02?1?0.1?0.1?0.02?1.102。

(C)

1．证明limx?0y?0xyx?y2222?0。

x2?y2证明：因为x?y?2xy，即|xy|?

2 所以

xyx?y22?x2?y22x?y22?x2?y2 2 ???0，取??2? 当0?x2?y2??时，就有

xyx?y所以limx?0y?022?0?x2?y2???? 22xyx?y22?0。

23

2．设f?x,y??|x?y|??x,y?，其中??x,y?在点?0,0?，邻域内连续，问(1)??x,y?在什么条件下，偏导数fx??0,0?，fy??0,0?存在；(2)??x,y?在什么条件下，f?x,y?在?0,0?处可微。

分析：从定义出发，进行推演

f?0?x,0??f?0,0?x??x,0??0?lim?lim??x,0????0,0?

x?0x?0?x?0?xxf?0?x,0??f?0,0????x,0??????0,0? ?lim lim?x?0?x?0x解：(1)lim? lim?y?0f?0,0?y??f?0,0?y??0,y??lim?lim??0,y????0,0?

y?0?y?0?yyf?0,0?y??f?0,0????0,y??????0,0? ?lim?y?0y lim?y?0若??0,0??0，则偏导数fx??0,0?，fy??0,0?存在，且fx??0,0??fy??0,0??0。 (2)?f?f?0??x,0??y??f?0,0? ?|?x??y|???x,?y?

|?x??y|?x??y22?|?x|?|?y|?x??y22?2，

???0时，有

故若??0,0??0，当??x?2???y?2?f?fx??0,0??x?fy??0,0??y?2x??2y??

???x??y????x,?y??0

22??x????y?所以当??0,0??0时，f?x,y?在?0,0?处可微，且df?0。

3．设y?f?x,t?而t为由方程??x,y,t??0所决定的函数，且??x,y,t?是可微的，试求

dy。 dx分析：可依隐函数求导法则求出解；由y?f?x,t?，得

dy。 dxdy?f?fdt?? (1) dx?x?tdx24

由??x,y,t??0，得

????dy??dt?????0 (2) ?x?ydx?tdx将(2)代入(1)，得

?????dy???dy?f?f?x?ydx?? ??????dx?x?t?????t???f???f??? ??x?t?t?x。

?f??????t?y?t?2t4．设z?z?x,y?由z?lnz??edt?0确定，求。

y?x?yx?t2解：对z?lnz??e?tdt?0两边关于x求导，得

yx2?z1?z?x2??e?0， ?xz?x?zze?x解得：? (1)

?xz?12 原式两边对y求导，得

2?z1?z??e?y?0 ?yz?y 解得

?z?ze (2) ??yz?1?y2(1)式两边对y求导得

?z?x2?x2?ze?z?1??ze2?2ze?x?z?y?y?? 22?x?y?y?z?1??z?1?22?2z?ze??x?y?以(2)式代入即得： ?3?x?y?1?z??x?y?z?u?v?15．从方程组?2中求出ux，vx，ux2，vx2。 2222?x?y?z?u?v?1

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