2013年中考数学压轴题分类汇编（含解析）

2013年中考数学压轴题及解析分类汇编

2013年中考数学压轴题及解析分类汇编 2013中考数学压轴：相似三角形问题 2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(一) 2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(二) 2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 2013中考数学压轴：等腰三角形问题 2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一) 2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二) 2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(三) 2013中考数学压轴：直角三角形问题 2013中考数学压轴题函数直角三角形问题(一) 2013中考数学压轴题函数直角三角形问题(二) 2013中考数学压轴题函数直角三角形问题(三) 2013中考数学压轴：平行四边形问题 2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(一) 2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(二) 2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(三) 2013中考数学压轴：梯形问题 2013中考数学压轴题函数梯形问题(一) 2013中考数学压轴题函数梯形问题(二) 2013中考数学压轴题函数梯形问题(三) 2013中考数学压轴：面积问题 2013中考数学压轴题函数面积问题(一) 2013中考数学压轴题函数面积问题(二) 2013中考数学压轴题函数面积问题(三)

2013中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)

例1直线

分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向

2

旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax＋bx＋c经过A、C、D三点．

(1) 写出点A、B、C、D的坐标；

(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11闸北25”， 拖动点Q在直线BG上运动， 可以体验到， △ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种． 思路点拨

1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角． 2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标． 3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．

4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个． 满分解答

（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．

2

（2）因为抛物线y＝ax＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以

解得

所以抛物线的解析式为y＝－x＋2x＋3＝－(x－1)＋4，顶点G的坐标为(1，4)． （3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．

因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，那么

．

22

Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况： ①当

时，

．解得

．所以

，

．

②当时，．解得．所以，．

图2 图3

考点伸展

第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB⊥BG；二是

．

我们换个思路解答第（3）题：

如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N．

通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°．

在Rt△BGH中，①当

时，

，．

，

．

在Rt△BQN中，当Q在B上方时，②当

时，

． ．

，

．

；当Q在B下方时，．同理得到

例2 Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数在第一

象限内的图像与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．

（1）求m与n的数量关系； （2）当tan∠A＝

时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；

（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP 相似，求点P的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A在x轴上运动，可以体验到，直线AB保持斜率不变，n始终等于m的2倍，双击按钮“面积BDE＝2”，可以看到，点E正好在BD的垂直平分线上，FD//x轴．拖动点P在射线FD上运动，可以体验到，△AEO与△EFP 相似存在两种情况． 思路点拨

1．探求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标，是解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD//x轴．

3．如果△AEO与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．

满分解答

m）En）（1）如图1，因为点D（4，、（2，在反比例函数整理，得n＝2m．

（2）如图2，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝EH＝2，所以BH＝1．因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)．

已知△BDE的面积为2，所以1)，E(2，2)，B(4，3)．

因为点D（4，1）在反比例函数

的图像上，所以k＝4．因此反比例函数的解析

．解得m＝1．因此D(4，的图像上，所以

，

式为．

3)、E(2，2)，设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，得．

因此直线AB的函数解析式为

．

解得，

图2 图3 图4

（3）如图3，因为直线

与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），

所以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP 相似存在两种情况：

①如图3，当

时，

．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）．

②如图4，当考点伸展

时， ．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）．

本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：

第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为

，

直线AB为 ．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP 也不可能相似．

图5

2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)

例3 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

CB以相同的速度同时向上平移，（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；

（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图像，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．

思路点拨

1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．

2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．

3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方． 满分解答

（1）抛物线的对称轴为直线

，解析式为

，顶点为M（1，

）．

（2） 梯形O1A1B1C1的面积

，由此得到

．由于，所以．整理，得

．因此得到．

当S=36时， 解得

此时点A1的坐标为（6，3）．

（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．

在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．

在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF． 因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．由于

，

，所以

．解得

．

图3 图4

考点伸展

第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得 的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．

例4

如图1，已知点A (－2，4) 和点B (1，0)都在抛物线（1）求m、n；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．

上．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A′B′B为菱形．再拖动点D在x轴上运动，可以体验到，△B′CD与△ABC相似有两种情况．

思路点拨

1．点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B′ 的坐标、AC和B′C的长．

2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．

3．探求△ABC与△B′CD相似，根据菱形的性质，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论． 满分解答

(1) 因为点A (－2，4) 和点B (1，0)都在抛物线

上，所以

解得，．

(2)如图2，由点A (－2，4) 和点B (1，0)，可得AB＝5．因为四边形A A′B′B为菱形，所以A A′＝B′B＝ AB＝5．因为

对称轴x＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x＝4．

因此平移后的抛物线的解析式为

．

，所以原抛物线的

图2

(3) 由点A (－2，4) 和点B′ (6，0)，可得A B′＝．

如图2，由AM//CN，可得，即．解得．所以

．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．

①如图3，当标为（3，0）．

②如图4，当

时，，解得．此时OD＝3，点D的坐

时，，解得．此时OD＝，点D

的坐标为（，0）．

图3 图4

考点伸展

在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．

我们也可以讨论△B′CD与△CB B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．

2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)

例5 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

,

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM“ P在x轴上方”和“P在A右侧”，的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．

拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，双击按钮“第(3)题”，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．

思路点拨

1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA． 满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为

，代入点C的 坐标（0，－2），解得

．所以抛物线的解析式

为．

（2）设点P的坐标为．

①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，， ．

如果，那么．解得不合题意．

如果，那么．解得．

此时点P的坐标为（2，1）．

②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，

，

．

解方程，得．此时点P的坐标为．

解方程，得不合题意．

③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，，．

解方程，得．此时点P的坐标为．

解方程，得．此时点P与点O重合，不合题意．

综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或．

图2 图3 图4 （3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为

．

设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的

坐标为．所以．

因此当

．

时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．

图5 图6

考点伸展

第（3）题也可以这样解：

如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．

设点D的横坐标为（m，n）

，那么

．

由于，所以．

例6 如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．

．D为射线BA上的点（点D

(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；

(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．

图1 备用图 备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D可以在射线BA上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．

双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到，△DEF为等腰三角形． 思路点拨

1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．

2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．

3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．

4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题． 满分解答

（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝

，

所以AH＝＝AC．所以BH垂直平分AC，△ABC 为等腰三角形，AB＝CB＝5．

因为DE//BC，所以，即．于是得到，（）．

（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以，，即，

．因此，圆心距．

图2 图3 图4

在⊙M中，

，在⊙N中，

．

①当两圆外切时，．解得或者．

如图5，符合题意的解为，此时．

②当两圆内切时，．

当x＜6时，解得，如图6，此时E在CA的延长线上，；

当x＞6时，解得，如图7，此时E在CA的延长线上，．

图5 图6 图7

（3）因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三角形．

如图8，当D、E、F为△ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF＝2.5．根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF＝4.1．

如图9，当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时

．

图8 图9 图10 图11

考点伸展

AH是△ABC的高，D、E、F为△ABC第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形．

例 7

如图1，在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）．平移二次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B、C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B．

（1）是否存在这样的抛物线F，使得

？请你作出判断，并说明理由；

（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO＝，求抛物线F对应的二次函数的解析式．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“08杭州24”，拖动点A在y轴上运动，可以体验到，AQ与BC保持平行，OA∶OB与OA∶OB′保持3∶2．

双击按钮“t＝3”，“t＝0．6”，“t＝－0．6”，“t＝－3”，抛物线正好经过点B（或B′）． 思路点拨

1．数形结合思想，把

转化为

．

2．如果AQ∥BC，那么以OA、AQ为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t＝b． 3．分类讨论tan∠ABO＝

，按照A、B、C的位置关系分为四种情况．A在y轴正半

轴时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况；A在y轴负半轴时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况． 满分解答

（1）因为平移应的解析式为

的图象得到的抛物线

．

．

的顶点为

（t，b），所以抛物线

对

因为抛物线与x轴有两个交点，因此

令，得，．

所以)( )| ．即．所

以当时，存在抛物线使得．

．解得

（2）因为AQ//BC，所以t＝b，于是抛物线F为

．

①当

时，由

，得

．

如图2，当时，由，解得．此时二次函

数的解析式为．

如图3，当时，由，解得．此时二次

函数的解析式为＋＋．

图2 图3

②如图4，如图5，当

时，由

，将

代,可得

，

．此

时二次函数的解析式为＋－或．

图4 图5

考点伸展

第（2）题还可以这样分类讨论： 因为AQ//BC，所以t＝b，于是抛物线F为

．由

，

得．

①把代入，得（如图2，图5）．

②把代入，得

（如图3，图4）．

2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)

例1 如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点 （C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；

（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，△APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”， 拖动点P由O向C运动，可以体验到，点H在以OM为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换． 思路点拨

1．用含m的代数式表示表示△APD的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解．

3．猜想点H的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt△OHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C． 满分解答

（1）因为PC//DB，所以

．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所

以AD＝4－m．于是得到点D的坐标为(2，4－m)．

（2）在△APD中，①当AP＝AD时，

，．解得

，

（如图3）．

．

②当PA＝PD时，舍去）．

③当DA＝DP时，舍去）．

．解得（如图4）或（不合题意，

．解得（如图5）或（不合题意，

综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为，或．

图3 图4 图5

（3）点H所经过的路径长为考点伸展

第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单： ①如图3，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以

．因此

，

．

．解

．

P在AD的垂直平分线上．②如图4，当PA＝PD时，所以DA＝2PO．因此得

．

第（2）题的思路是这样的：

如图6，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．

图6 图7

例2 如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数与x轴交于点B．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？②是否存在以A、

若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图像中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形． 思路点拨

1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．

2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．

3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况． 满分解答

（1）解方程组

得

所以点A的坐标是(3，4)．

的图象交于点A，且

令，得．所以点B的坐标是(7，0)．

，

．解得t＝2或t＝6

（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由得

．整理，得

（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．

因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．

图2 图3 图4

②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4． 如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，此∠OAB＞∠AOB＞∠B．

如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．

因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况． 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1． 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7． 在△APQ中，

为定值，

，，得

．

．

，所以OB＞AB．因

如图5，当AP＝AQ时，解方程

如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程

，得

如7，当PA＝PQ时，那么

．

．因此

．解方程

，得

综上所述，t＝1或

． 或5或

时，△APQ是等腰三角形．

图5 图6 图7

考点伸展

当P在CA上，QP＝QA时，也可以用

来求解．

2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)

例3 如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P． (1)求证：MN∶NP为定值；

(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长； (3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．

思路点拨

1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．

2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．

3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．

4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算．

满分解答

(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒． 在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t ，AQ＝3t．

在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3． 在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．

(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一 个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．

如图4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，

，所以

．解得

．此

时CM．

图2 图3 图4

(3)如图5，图6，图7中，

，即

．所以

．

①当N在AB上时，在△BNP中，∠B是确定的，，．

(Ⅰ)如图5，当BP＝BN时，解方程，得．此时CM．

(Ⅱ)如图6，当NB＝NP时，．解方程，得．此

时CM．

(Ⅲ)当PB＝PN时，因此不存在PB＝PN的情况．

．解方程，得t的值为负数，

②如图7，当点N在线段AB的延长线上时，∠B是钝角，只存在BP＝BN的可能，此时

．解方程

，得

．此时CM

．

图5 图6 图7

考点伸展

如图6，当NB＝NP时，△NMA是等腰三角形，

例4 如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ （3）若

，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

，这样计算简便一些．

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