汽车悬架双质量系统的传递特性仿真研究

实例13 汽车悬架双质量系统的传递特性仿真研究

根据汽车理论可知悬架双质量系统微分方程为

?2?c(z?2?z?1)?k(z2?z1)?0m2?z (13-1) ?1?c(z?1?z?2)?k(z1?z2)?kt(z1?q)?0m1?z对式（13-3）和式（13-4）进行拉氏变换并整理，可得

z2(m2s2?cs?k)?z1(cs?k)z1(m1s?cs?k?kt)?z2(cs?k)?qkt由上式可得z2和z1之间的传递函数为

2 (13-2)

G1(s)?z2cs?k (13-3) ?2z1m2s?cs?k22另A1?cs?k,A2?m2s?cs?k?kt,A3?m1s?cs?k?kt,将(13-3)代入(13-2),可得到

z1与路面激励q的传递函数为

G2(s)?A2ktA2ktz1?? (13-4) 2qA3A2?A1N13.1 车身位移z2与路面激励位移q的传递函数

现在可分析车轮与车身双质量系统的传递函数。由式（13-3）（13-4）相乘可以得到车

身位移z2与路面激励位移q的传递函数为

G(s)?Akz2?G1(s)G2(s)?1t （13-5） qN由于传递函数分母为高阶多项式相乘，计算量比较大，因此可利用MATLAB多项式计算函

数求出分母N的系数。具体程序如下：

m2=317.5; m1=45.4; k=22000; kt=192e3; c=1.5e3; a1=[c k]; a2=[m2 c k]; a3=[m1 c k+kt]; n1=conv(a3,a2); N1=poly2sym(n1); n2=conv(a1,a1); N2=poly2sym(n2); nn=N1-N2; pretty(nn); a1=[c*kt k*kt];

den=[28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000]; sys=tf(a1,den); w=0.1:.1:100; >> figure(1)

>> [h,w1]=freqs(a1,den,w); >> freqs(a1,den,w);

运行可得到传递函数表达式以及传递函数的频率响应特性图：

Transfer function:

2.88e008 s + 4.224e009 -------------------------------------------------------------------

1.441e004 s^4 + 544350 s^3 + 6.894e007 s^2 + 2.88e008 s + 4.224e009

101Magnitude10010-110-210-110010Frequency (rad/s)1102200Phase (degrees)1000-100-200-11010010Frequency (rad/s)1102

由图（13-1）中的频率响应幅值（Magnitude）可以清楚的看到，在0.1到100rad/s的频率范围内，有两个明显的共振峰值，由汽车理论可知，这两个共振峰值是由汽车双质量系统两个主频率?1和?2决定的。下面进一步具体计算汽车双质量系统两个主频率?1和?2。具体程序如下： m2=317.5; m1=45.4; k=22000; kt=192e3; c=1.5e3;

a1=[c*kt k*kt];

den=[28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000]; sys=tf(a1,den); w=0.1:.1:100;

[h,w1]=freqs(a1,den,w); freqs(a1,den,w); title('z2/z0') mag=abs(h); margin(sys); j=0;

for i=1:length(w)-1;

if (mag(i+1)-mag(i))<0&(mag(i)-mag(i-1))>0; j=j+1;

magmax(1)=mag(i); wm(1)=w(i);

elseif(mag(i+1)-mag(i))<0&abs(mag(i)-mag(i-1))<0.0001; j=j+1;

magmax(2)=mag(i); wm(2)=w(i); end end

wm1=wm(1)/2/pi; wm2=wm(2)/2/pi; magm1=magmax(1); magm2=magmax(2); >> i1=wm1/f0; >> i2=wm2/f0;

>> fprintf('汽车双质量悬架系统主频率1（低频）w1=%3.3f HZ \\n',wm1) 汽车双质量悬架系统主频率1（低频）w1=1.210 HZ

>> fprintf('汽车双质量悬架系统主频率2（高频）w2=%3.3f HZ \\n',wm2) 汽车双质量悬架系统主频率2（高频）w2=9.390 HZ

>> fprintf('汽车双质量悬架系统 低频共振峰值 Mag1=%3.3f \\n',magm1) 汽车双质量悬架系统 低频共振峰值 Mag1=2.413

>> fprintf('汽车双质量悬架系统 高频共振峰值 Mag2=%3.3f \\n',magm2) 汽车双质量悬架系统 高频共振峰值 Mag2=0.155

>> fprintf('主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=%3.3f \\n',i1) 主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=0.913

>> fprintf('主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=%3.3f \\n',i2) 主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=7.088

Bode DiagramGm = 16.9 dB (at 65 rad/sec) , Pm = 65.9 deg (at 11.6 rad/sec)Magnitude (dB)Phase (deg)0-50-1000-90-180-27001010110Frequency (rad/sec)2103200150100Phase (degrees)500-50-100-150-200-11010010Frequency (rad/s)1102

由仿真计算结果可以看出，汽车双质量悬架系统主频率（低频）?1与汽车车身系统固有频率f0比较接近，而汽车双质量悬架系统主频率（高频）?2与汽车车轮系统固有频率f1比较接近。由上图容易得出系统参数。

幅值稳定裕度：Gm=16.9dB。 穿越频率：?g=65rad/s。

相位角稳定裕度：Pm=65.9度。 剪切频率：?c=11.6rad/s。

13.2车身加速度z2对车轮速度q的传递函数

车身加速度z2对车轮速度q的传递函数H1(s)为

????????2s2z2zzH1(s)???(s?0)2?(s?0)G(s) (13-6) ?qsqq式(13-6)可理解为车身加速度与车轮加速度的传递函数H1(s)是传递函数G(s)与环节(s+0)串联形成，现在利用matlab进行传递函数H1(s)的频率响应分析。具体程序如下： m2=317.5; m1=45.4;

k=22000; kt=192e3; c=1.5e3; a1=[c k]; a2=[m2 c k]; a3=[m1 c k+kt]; n1=conv(a3,a2); N1=poly2sym(n1); n2=conv(a1,a1); N2=poly2sym(n2); nn=N1-N2; pretty(nn); a1=[c*kt k*kt];

den=[28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000]; sys=tf(a1,den)*tf([1,0],[0,1]); w0=(k/m2)^0.5; f0=w0/2/pi;

wt=((k+kt)/m1)^0.5; ft=wt/2/pi;

kexi=c/2/sqrt(k*m2); w=0.1:.1:100; figure(1)

[mag,phase]=bode(sys,w); margin(sys); grid on j=0;

for i=1:length(w)-1;

if (mag(i+1)-mag(i))<0&(mag(i)-mag(i-1))>0; j=j+1;

magmax(1)=mag(i); wm(j)=w(i);

elseif(mag(i+1)-mag(i))<0&abs(mag(i)-mag(i-1))<0.0001; j=j+1;

magmax(2)=mag(i); wm(2)=w(i); end end

wm1=wm(1)/2/pi; wm2=wm(2)/2/pi; magm1=magmax(1); magm2=magmax(2); i1=wm1/f0; i2=wm2/f0;

fprintf('汽车车身系统固有频率f0=%3.3f HZ \\n',f0)

fprintf('汽车车轮系统固有频率ft=%3.3f HZ \\n',ft)

fprintf('汽车车身加速度对车轮速度主频率1 (低频)w1=%3.3f \\n',w1) fprintf('汽车车身加速度对车轮速度主频率2（高频)w2=%3.3f \\n',w2) fprintf('汽车双质量悬架系统 低频共振峰值 Mag1=%3.3f \\n',magm1) fprintf('汽车双质量悬架系统 高频共振峰值 Mag2=%3.3f \\n',magm2) fprintf('主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=%3.3f \\n',i1) fprintf('主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=%3.3f \\n',i2) 运行程序可以得到下述结果和图13-3： Transfer function:

2.88e008 s^2 + 4.224e009 s

---------------------------------------------------------------- 1.441e004 s^4 + 544350 s^3 + 6.894e007 s^2 + 2.88e008 s + 4.224e009

汽车车身系统固有频率f0=1.325 HZ 汽车车轮系统固有频率ft=10.927 HZ

汽车车身加速度对车轮速度主频率1 (低频)w1=1.289 汽车车身加速度对车轮速度主频率2（高频)w2=10.027 汽车双质量悬架系统 低频共振峰值 Mag1=9.364 汽车双质量悬架系统 高频共振峰值 Mag2=9.364

主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=0.973 主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=7.568

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 11.2 deg (at 155 rad/sec)40Magnitude (dB)Phase (deg)200-20-40900-90-18010010110Frequency (rad/sec)2103

?图13-3 车身加速度z2对车轮速度q的传递函数

相对动载荷Fd?kt(z1?q)，静载荷为G?(m1?m2)g.则Fd/G对q的传递函数为

??H2(s)?将上式代入式（13-8）可以写为

ktz1?q() q(m1?m2)gFd?A2kt?N?kt （13-9） ???Gq?N(m?m)g?12式（13-9）是非常复杂的多项式，可以先利用MATLAB符号计算方法先将传递函数分子分母

计算出来后再进行频率响应仿真分析。具体程序如下： m2=317.5; m1=45.4; k=22000; kt=192e3; c=1.5e3; a1=[c k]; a2=[m2 c k]; a3=[m1 c k+kt]; n1=conv(a3,a2); N1=poly2sym(n1);

n2=conv(a1,a1); N2=poly2sym(n2); N=N1-N2; pretty(N);

w0=(k/m2)^0.5; f0=w0/2/pi;

wt=((k+kt)/m1)^0.5; ft=wt/2/pi;

kexi=c/2/sqrt(k*m2); s2=m1*k+m2*(k+kt); num2=[m2*kt,c*kt,k*kt]; num2=poly2sym(num2); num=collect(num2-N);

运行程序可以得到一下结果：

num =- (28829*x^4)/2 - 544350*x^3 - 7983800*x^2 即传递函数分子的系数矩阵为

num=[-28829/2,-544350,-7983800,0,0].*kt./(m1+m2)./9.8 应该注意的是分子系数矩阵的一次项和常数项皆为0。 结合第13.1节计算得到的传递函数分母系数，就容易得到Fd/G对q的传递函数H2(s)。具体程序如下：

num=[-28829/2 -544350 -7983800 0 0].*kt./(m1+m2)./9.8; den=[28829/2 544350 68943800 288000000 4224000000]; sys=tf(num,den);

运算得到以下结果： Transfer function:

-7.782e005 s^4 - 2.939e007 s^3 - 4.31e008 s^2 -------------------------------------------------------------------

1.441e004 s^4 + 544350 s^3 + 6.894e007 s^2 + 2.88e008 s + 4.224e009

由此得到了对动载传递函数H2(s)，应用与第13.1节相同的算法，可以很容易地得到传递函数的频率响应及共振频率值等性能指标。具体程序如下： m2=317.5; m1=45.4; k=22000; kt=192e3; c=1.5e3; a1=[c k]; a2=[m2 c k]; a3=[m1 c k+kt]; n1=conv(a3,a2); N1=poly2sym(n1); n2=conv(a1,a1); N2=poly2sym(n2); N=N1-N2; pretty(N)

w0=(k/m2)^0.5; f0=w0/2/pi;

wt=((k+kt)/m1)^0.5; ft=wt/2/pi;

kexi=c/2/sqrt(k*m2); s2=m1*k+m2*(k+kt); num2=[m2*kt,c*kt,k*kt]; Num2=poly2sym(num2); Num=collect(Num2-N)

num=[-28829/2 -544350 -7983800,0,0]*kt/(m1+m2)/9.8 den=[28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000]; sys=tf(num,den) w=0.1:.1:100; figure(1)

[h,w1]=freqs(num,den,w); bode(sys); mag=abs(h); j=0;

for i=1:length(w)-1;

if(mag(i+1)-mag(i))<0&(mag(i)-mag(i-1))>0; j=j+1;

magmax(j)=mag(i); wm(j)=w(i); end end

wm1=wm(1)/2/pi; wm2=wm(2)/2/pi; magm1=magmax(1); magm2=magmax(2); i1=wm1/f0; i2=wm2/f0;

fprintf('汽车相对动载对车轮速度主频率1(低频)w1=%3.3fHZ\\n',wm1) fprintf('汽车相对动载对车轮速度主频率2(高频)w2=%3.3fHZ\\n',wm2) fprintf('汽车双质量悬架系统低频共振峰值 Mag1=%3.3f \\n',magm1) fprintf('汽车双质量悬架系统高频共振峰值 Mag2=%3.3f \\n',magm2) fprintf('主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=%3.3f\\n',i1) fprintf('主频率1（高频）w1与车身系统固有频率f0之比i2=%3.3f\\n',i2) 运行程序可得到如下结果及图13-4。

汽车相对动载对车轮速度主频率1(低频)w1=1.369HZ 汽车相对动载对车轮速度主频率2(高频)w2=11.443HZ 汽车双质量悬架系统低频共振峰值 Mag1=14.663 汽车双质量悬架系统高频共振峰值 Mag2=116.700

主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=1.033 主频率1（高频）w1与车身系统固有频率f0之比i2=8.638

Bode Diagram60Magnitude (dB)Phase (deg)40200-2036031527022518010010110Frequency (rad/sec)2103

13.3悬架动扰度fd对q的传递特性仿真

悬架动扰度fd对q的传递函数为

H3(s)?fdz2?z1z2z1??? qqqq将式（13-6）与式（13-7）代入上式，得

fdA1ktA2ktkt(A1?A2) （13-10） ???qNNN式（13-10）是一个非常复杂的多项式。与前两节计算方法相同，可以利用MATLAB符号

计算方法先将传递函数分子分母系数计算出来后，再进行频率响应仿真分析。 具体程序如下： m2=317.5; m1=45.4; k=22000; kt=192e3; c=1.5e3; a1=[c k]; a2=[m2 c k]; a3=[m1 c k+kt]; n1=conv(a3,a2); N1=poly2sym(n1);

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