宝山区2014学年度质量管理考试数学试卷定稿

宝山区2014年第一学期期末 高三年级数学质量监测试卷

（满分150分，其中学业水平考试卷120分，附加题30分，完卷时间130分钟）

2014.12

考试注意：

1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚． 2.本试卷共有 32道试题，满分 150 分．考试时间 130分钟． 3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答．

一.（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，要求直接填写结果，每题填对3分，否则一律得 0 分．

1. 函数y?3tanx的周期是 ．

2.计算

2413= ．

3.计算limn??1?2?3?n210?n＝ ．

4.二项式(x?1)展开式中，x 的系数为 ．

85．设矩阵A???2?2??24??24?，，若BA?B??????，则x? .

?111x?1?2??????6．现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有 种. 7．若cos(???)??13，????2?，则sin?? ． 228.若一个球的体积为43?，则它的表面积为__________． 9.若函数y?sin(2x??)(0????)是R上的偶函数，则?的值是 ．

10.正四棱锥P?ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于 ．

PEDABC11.直线x?2y?0被曲线x2?y2?6x?2y?15?0所截得的弦长等于 ．

12.已知函数f(x)?Asin(?x??),(A?0,??0,0????)的部分图像如图所示， 则y?f(x)的解析式是f(x)? ．

二．选择题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把正确结论的代码写在题后的括号内，选对得 3分，否则一律得 0 分．

13．已知点P(tan?,cos?)在第三象限，则角?的终边在（ ）

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 14．已知函数y?x?b，x?(0,??)是增函数，则 （ ）

（A）??0，b是任意实数 （B）??0，b是任意实数 （C）b?0，?是任意实数 （D）b?0，?是任意实数 15．在?ABC中，若b?2asinB，则这个三角形中角A的值是（ ） （A）30?或60? （B）45?或60? （C）60?或120? （D）30?或150? 16.若loga3?logb3?0，则（ ）

??a?b?1(B)?0b?a?1C(a)?b?1D(b)? a? (A)0x2y217.双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（ ）

412（A）23 （B）2 （C）3 （D）1

18.用数学归纳法证明等式1?3?5?????(2n?1)?n2（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）

（A）1?3?5?????(2k?1)?k2 （B）1?3?5?????(2k?1)?(k?1)2 （C）1?3?5?????(2k?1)?(k?2)2 （D）1?3?5?????(2k?1)?(k?3)2 219.设z?1?i（i是虚数单位），则复数

z?z2对应的点位于（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20.圆x2?y2?4x?0在点P(1,3)处的切线方程为 ( ) （A）x?3y?2?0 （B）x?3y?4?0 （C）x?3y?4?0 （D）x?3y?2?0

21.“tanx??1”是“x???4?2k?(k?Z)”的（ ）

（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件； （C）充要条件； （D）既非充分又非必要条件.

22. 在四边形ABCD中,AC?(1,2),BD?(?4,2),则四边形的面积为（（A）5 （B）25 （C）5 （D）10

23．函数y?x2?1?1(x?0)的反函数是（ ）

（A）y?x2?2x(x?0) （B）y??x2?2x(x?0)

（C）y?x2?2x(x?2) （D）y??x2?2x(x?2)

）

24．曲线y2?|x|?1的部分图像是（ ）

（A） （B）

(C) （D）

三、解答题（本大题满分 48 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 25.（本题满分 8 分）

?|x?1|?3?解不等式组?2

?1??x?3

26.（本题满分 8 分）

如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长AB?2， 若异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan1，求正四棱 2柱ABCD?A1B1C1D1的体积.

第26题

27．（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6分．

已知点F为抛物线C:y2?4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于

A,B两点，若点P的纵坐标为m(m?0)，

点D为准线l与x轴的交点． (1)求直线PF的方程；

(2)求?DAB面积S的取值范围．

PyADOFxlB28.（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6分．

已知函数f(x)?x?a(x?R)． 2x?2（1）写出函数y?f(x)的奇偶性；

（2）当x?0时，是否存实数a，使y?f(x)的图像在函数g(x)?求a的取值范围；若不存在，说明理由．

29.（本题满分 12 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分4分，第 3 小题满分5分．

已知抛物线x2?4y，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点P又过点1，

2图像的下方，若存在，x11P1作斜率为的直线交抛物线于点P2，再过P2作斜率为的直线交抛物线于点P3，，如

241此继续。一般地，过点Pn作斜率为n的直线交抛物线于点Pn?1，设点Pn(xn,yn)．

2（1）求x3?x1的值；

（2）令bn?x2n?1?x2n?1，求证：数列{bn}是等比数列；

?2y2?1?x? （2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足? 4?y?kx?1?消去y并整理得(k2?4)x2?2kx?3?0，

故x1?x2??2k3． ????????????????5分 ，xx??1222k?4k?4由OA?OB，即x1x2?y1y2?0． ??????????????????6分 而y1y2?k2x1x2?k(x1?x2)?1，

33k22k2?4k2?1于是x1x2?y1y2??2． ???1?2k?4k2?4k2?4k?4所以k??1时，x1x2?y1y2?0，故OA?OB．?????????????8分 2当k??4112时，x1?x2?，x1x2??．

17217AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(1?k2)(x2?x1)2，

424?343?13而(x2?x1)?(x2?x1)?4x1x2?2?4?， ?217171722所以AB?465．???????????????????????10分 171n?1?3??3n?532． 证明：（1）因为??2，所以数列?an??是等比数列；??3分 1n5??an??3?5an?1??393n?（2）?an??是公比为－2，首项为a1??的等比数列．

5105??3n?3?3n9n?1通项公式为an???a1??(?2)??(?2)n?1， ???????4分

5?5?510若?an?中存在连续三项成等差数列，则必有2an?1?an?an?2，

3n?193n93n?29nn?1?(?2)]??(?2)??(?2)n?1 即2[510510510解得n?4，即a4,a5,a6成等差数列． ???????????????7分

3n?1?3?3n?3?n（3）如果an?1?an成立，即??a1??(?2)???a1??(?2)n?1对任意自然

5?5?5?5?数均成立．

化简得

4n3?3??(a1?)(?2)n ????????????????9分 155

343n?(), 5152当n为偶数时a1?因为p(n)?343n?()是递减数列，所以p(n)max?p(2)?0， 5152即a1?0； ???????????????????????10分 当n为奇数时，a1?343n343?(),因为q(n)??()n是递增数列， 51525152所以q(n)min?q(1)?1，即a1?1；???????????????11分 故a1的取值范围为(0,1)． ???????????????????12分

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