2012高考数学压轴试题集锦（二）

2008高考数学压轴试题集锦（二）

21．已知数列?an?的首项a1?2a?1（a是常数，且

a??1），an?2an?1?n2?4n?2（n?2），数

的首项b1?a，bn?an?n2（n?2）。 （1）证明：?bn?从第2项起是以2为公比的等比数（2）设Sn为数列?bn?的前n项和，且?Sn?是等比数实数a的值；

（3）当a>0时，求数列?an?的最小项。

22．已知抛物线C：y?2px(p?0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1。

2列?bn?列； 列，求

（1）求抛物线C的方程；

（2）若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN的方程； （3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称

为原来问题的一个“逆向”问题． 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积16后，它

3的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为16，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥

3的体积为16，求所有侧面面积之和的最小值”．

3 现有正确命题：过点A(?p,0)的直线交抛物线C：y2?2px(p?0)于P、Q两点，设点P关于x轴的对2称点为R，则直线RQ必过焦点F。

试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。 23．已知函数f(x)=

5?2x，设正项数列?an?满足a1=l，an?1?f?an?．

16?8x (I)写出a2，a3的值; (Ⅱ)试比较an与

5的大小，并说明理由； 4n51n

(Ⅲ)设数列?bn?满足bn=－an，记Sn=?bi．证明：当n≥2时,Sn＜(2－1)．

44i?124．已知函数f(x)=x－3ax(a∈R)．

(I)当a=l时，求f(x)的极小值；

(Ⅱ)若直线菇x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值

范围；

(Ⅲ)设g(x)=|f(x)|，x∈[－l，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式． 25．在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}，{Bn}，{Cn}，其中An(n,an),Bn(n,bn)

3

Cn(n?1,0)，满足向量AnAn?1与向量BnCn共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的

线上a1?a,b1??a.

（1）试用a与n表示an(n?2)；

（2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。 26．已知F1(?2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|?|PF2|?2，记点P的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程；

（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.

（i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M(m,0)，使MP?MQ恒成立，求实数m的

值.

1的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记??|PA|?|QB|，求λ的取值范围. 2|AB|27．设x1、x2(x1?x2)是函数f(x)?ax3?bx2?a2x(a?0) 的两个极值点.

（ii）过P、Q作直线x? （1）若x1??1,x2?2，求函数f(x)的解析式； （2）若|x1|?|x2|?22,求b的最大值；

（3）若x1?x?x2,且x2?a,函数g(x)?f?(x)?a(x?x1)，求证：|g(x)|?28．已知f(x)?logax(0?a?1),{an}，若数列{an}

使得2,f(a1),f(a2),f(a3),??,f(an),2n?4(n?N*)成等差数列. （1）求{an}的通项an;

1a(3a?2)2. 122a42na2n?4?1,求证:Sn??3. （2）设bn?an?f(an), 若{bn}的前n项和是Sn，且221?a1?ax2y229．点P在以F1,F2为焦点的双曲线E:2?2?1(a?0,b?0)上，已知PF1?PF2，|PF1|?2|PF2|，

abO为坐标原点．

（Ⅰ）求双曲线的离心率e；

（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1?OP2??1,P2两点，且OP曲线E的方程；

（Ⅲ）若过点Q(m,0)（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且MQ??QN（?为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使F1F2?(GM??GN)？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

3230.已知函数f(x)?ax?3x?6ax?11，g(x)?3x2?6x?12，和直线m:y?kx?9，又f?(?1)?0．

27，2PP1?PP2?0，求双4（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）是否存在k的值，使直线m既是曲线y?f(x)的切线，又是y?g(x)的切线；如果存在，求出k的

值；如果不存在,说明理由．

（Ⅲ）如果对于所有x??2的x,都有f(x)?kx?9?g(x)成立，求k的取值范围．

31．已知二次函数f(x)?ax2?bx?c,(a,b,c?R)满足：对任意实数x，都有f(x)?x，且当x?（1，3）

时，有f(x)?1(x?2)2成立。 8 （1）证明：f(2)?2。

（2）若f(?2)?0,f(x)的表达式。 （3）设g(x)?f(x)?范围。

32．（1）数列{an}和{bn}满足an?{an}为等差数列。（8分）

（2）数列{an}和{cn}满足cn?an?2an?1(n?N*)，探究{an}为等差数列的充分必要条件，需说明理由。

[提示：设数列{bn}为bn?an?an?2(n?1,2,3?)

33．某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行. 根据以往经验，每局甲赢的概率为

m1

x x?[0,??)，若g(x)图上的点都位于直线y?的上方，求实数m的取值24

1(b1?b2???bn) （n=1，2，3?），求证{bn}为等差数列的充要条件是n11，乙赢的概率为，且每局比赛输赢互不受影响. 若甲第n局赢、平、输的得分分别记为23an?2、an?1、an?0n?N*,1?n?5,令Sn?a1?a2???an .

(Ⅰ)求S3?5的概率；

（Ⅱ）若随机变量?满足S??7（?表示局数），求?的分布列和数学期望.

34．如图，已知直线l与抛物线x2?4y相切于点P(2, 1)，且与x轴交于点A，定点B的坐标为(2, 0) . （I）若动点M满足AB?BM?2AM?0，求点M的轨迹C；

（II）若过点B的直线l?（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求

?OBE与?OBF面积之比的取值范围.

x2y235．已知AB是椭圆2?2?1(a?b?0)的一条弦,M(2,1)是AB的中点,以M为焦点,以椭圆的右准线为相

ab应准线的双曲线与直线AB交于N(4,?1).

(1)设双曲线离心率为e,试将e表示为椭圆的半长轴长的函数;

(2)当椭圆的率心率是双曲线离心率的倒数时,求椭圆的方程;

(3)求出椭圆长轴长的取值范围.

36．设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：

①

an?an?2?an?1; ②an?M.其中n?N*,M是与n无关的常数. 2 （1）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4，S3=18，证明：{Sn}∈W （2）设数列{bn}的通项为bn?5n?2n,且{bn}?W，求M的取值范围；

（3）设数列{cn}的各项均为正整数，且{cn}?W.证明：cn?cn?1 37．数列?an?和数列?bn?（n?N+）由下列条件确定： （1）a1?0，b1?0；

（2）当k?2时，ak与bk满足如下条件：当

ak?1?bk?1a?ba?b?0时，ak?ak?1，bk?k?1k?1；当k?1k?1?0时，222ak?ak?1?bk?1，bk?bk?1. 2解答下列问题：

（Ⅰ）证明数列?ak?bk?是等比数列；

（Ⅱ）记数列?n(bk?an)?的前n项和为Sn，若已知当a?1时，limn?0，求limSn.

n??n??an（Ⅲ）n(n?2)是满足b1?b2???bn的最大整数时，用a1，b1表示n满足的条件.

1?ax,x??0,??? (a为实常数)． x (1) 当a = 0时，求f?x?的最小值；

38. 已知函数f?x??lnx? (2)若f?x?在[2,??)上是单调函数，求a的取值范围； (3)设各项为正的无穷数列{xn}满足lnxn?1?1?n?N*?, 证明：xn≤1(n∈N*)． xn?139.设函数f(x)?x3?ax2?bx(x?0)的图象与直线y?4相切于M(1,4)． （Ⅰ）求f(x)?x3?ax2?bx在区间(0,4]上的最大值与最小值；

32（Ⅱ）是否存在两个不等正数s,t(s?t)，当x?[s,t]时，函数f(x)?x?ax?bx的值域也是[s,t]，若

存在，求出所有这样的正数s,t；若不存在，请说明理由；

32（Ⅲ）设存在两个不等正数s,t(s?t)，当x?[s,t]时，函数f(x)?x?ax?bx的值域是[ks,kt]，求正

数k的取值范围．

*40. 已知数列?an?中，a1?1，nan?1?2(a1?a2?...?an)n?N．

?? （1）求a2,a3,a4；

（2）求数列?an?的通项an；

（3）设数列{bn}满足b1?

参考答案：

21.解：（1）∵bn?an?n2

112,bn?1?bn?bn，求证：bn?1(n?k) 2ak∴bn?1?an?1?(n?1)2?2an?(n?1)2?4(n?1)?2?(n?1)2 ?2an?2n2?2bn(n≥2) ????3分 由a1?2a?1得a2?4a，b2?a2?4?4a?4， ∵a??1，∴ b2?0，????4分

即{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列。????5分

(4a?4)(2n?1?1)??3a?4?(2a?2)2n ????8分 （2）Sn?a?2?1Sn(2a?2)2n?3a?43a?4当n≥2时， ??2?Sn?1(2a?2)2n?1?3a?4(a?1)2n?1?3a?4∵{Sn}是等比数列, ∴Sn(n≥2)是常数，

Sn?1∴3a+4=0，即a??4 。????11分 3（3）由（1）知当n?2时，bn?(4a?4)2n?2?(a?1)2n， 所以an???2a?1n(n?1)2?(a?1)2?n(n?2)，????13分

所以数列?an?为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，?? 显然最小项是前三项中的一项。????15分 当a?(0,)时，最小项为8a-1；

141时，最小项为4a或8a-1；???16分 411当a?(,)时，最小项为4a；

421当a?时，最小项为4a或2a+1；????17分

21当a?(,??)时，最小项为2a+1。????18分

2当a?

22. 解：（1）y?4x ????4分

2

t2（2）设N(,?t)（t>0），则M(t2,2t)，F(1,0)。

4因为M、F、N共线，则有kFM?kNF，????6分 所以

?t12t?14?2t，解得t?2，????8分 2t?1所以k?22?22，????10分 2?1因而，直线MN的方程是y?22(x?1)。????11分 （3）“逆向问题”一：

①已知抛物线C：y2?2px(p?0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(?证明：设过F的直线为y=k(x?p,0)。????13分 2p)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则R(x1,?y1) 2?y2?4x122p2?222由?，????14分 p得kx?(pk?4)x?4pk?0，所以x1x2?4?y?k(x?)?2pk(x1?)?y12，????15分 kRA???ppx1?x1?22pppk(x2?)k(x1x2?x1)k(x1?)2?22=k，????16分 kQA???RApppx2?x1x2?x1x1?222所以直线RQ必过焦点A。????17分

[注：完成此解答最高得6分。]

②过点A(?p,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，FP与抛物线交于另一点R，则RQ垂直于x轴。

2[注：完成此解答最高得6分。]

③已知抛物线C：y?2px(p?0)，过点B(m,0 )（m>0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(-m,0)。

[注：完成此解答最高得7分，其中问题3分。] “逆向问题”二：已知椭圆C：

2x2y2?2?1的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，过F2的直线交椭圆C于P、Q两点，2aba2设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(,0)。

c[注：完成此解答最高得9分，其中问题4分。]

22“逆向问题”三：已知双曲线C：x?y?1的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，过F2的直线交双曲线C于P、Q两

22ab点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(a2c,0)。

[注：完成此解答最高得9分，其中问题4分。] 其它解答参照给分。

23．(1)a5?2an73n?1?，因为a1?（2）因为a16?8a1,所以a2?,a3?.???????????? 2分

n84n?0,an?1?0,所以16?8an?0,0?an?2.?????????????3分

a55?2a48(a55n5n?)an?n?1?44?16?8a???3?4,?????????????????5分 n432(2?an)22?an因为2?a5n?0,所以an?1?4与a5n?4同号，??????????????????6分 因为a54??14?0，a551?2?4?0,a3?4?0,

?，a55n?4?0,即an?4.??????????????????????????8分

（3）当n?2时，b54?a31531n?n?2?2?a?(?an?1)???bn?1 n?1422?an?1?32?1?bn?1?2bn?1，??????????????????????????10分 2?54所以bn?2?bn?1?22?bn?2???2n?1b?31?2n，?????????????????12分

3?n1(1?2n)所以Sn?b1?b2???bn?114?2???????1??2???41?2?14(2n?1)????14分

24．（1）∵当a=1时f??x??3x2?3，令f??x?=0，得x=0或x=1?????????2分 当x??0,1?时f??x??0，当x????,0???1,???时f??x??0 ∴f?x?在?0,1?上单调递减，在???,0???1,???上单调递增，

∴f?x?的极小值为f?1?=-2.????????????????????????4分 （2）∵f??x??3x2?3a??3a????????????????????????6分 ∴要使直线x?y?m=0对任意的m?R总不是曲线y?f(x)的切线，当且仅当-1<-3a, ∴a?13.??????????????????????????????????8分 (3)因g?x??f?x??x3?3ax在[-1,1]上为偶函数,故只求在 [0,1]上最大值，????9分 ① 当a?0时，f??x??0，f?x?在?0,1?上单调递增且f?0??0,

∴g?x??f?x??f?x?，∴F?a??f?1??1?3a.????????????????10分

② 当a?0时 f??x??32x?3a?3?x???ax?? ai .当

a?1，即a?1时g?x??f?x???f?x?，?f?x?在?0,1?上单调递增，此时

F?a???f?1??3a?1??????????????????????????12分

???ii. 当0?a?1，即0?a?1时，g?x??f?x?在??0,a?上单调递减，在?a,1?上单调递增.

10,a?a,1?10 当f?1??1?3a?0即?a?1时，g?x??f?x???f?x?在?上单调递增，在?上单调递????3减，故F?a???f?a??2aa.??????????????14分

20当f?1??1?3a?0即0?a?（ⅰ）当?f1时， 3时， F?a??f?1??1?3a ?a??f?1??1?3a即0?a?14（ⅱ） 当?f1?a?时，F?a???f?a??2a?a??f?1??1?3a即143a 1?1?3a,(a?),?4?1?综上F?a???2aa,(?a?1),??????????????????16分

4??3a?1,[1,??).??25．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分

（1）

AnAn?1?(1,an?1?an),BnCn?(?1,?bn),?AnAn?1与BnCn共线，?an?1?an?n,

又∵{Bn}在方向向量为（1，6）的直线上，?bn?1?bn?6,即bn?1?bn?6

n?1?n

?bn??a?6(n?1)an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?...?(an?an?1)?a?b1?b2?...?bn?1(n?1)(n?2)?6 2?a?a(n?1)?3(n?1)(n?2)?3n2?(9?a)n?6?2a(n?2)?a?(?a)(n?1)?（2）∵二次函数f(x)?3x2?(a?9)x?6?2a是开口向上，对称轴为x?又因为在a6与a7两项中至少有一项是数列{an}的最小项， ∴对称轴x?a?9的抛物线 6a?9111511a?915应该在[,]内，即??,?24?a?36 62226226．（本题满分14分）本题共2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分10分

解：（1）由|PF1|?|PF2|?2?|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由

y2?1(x?1).????4分 c?2,2a?2,?b?3，故轨迹E的方程为x?322 （2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y?k(x?2),P(x1,y1),Q(x2,y2)，与双曲线方程联立消y

得(k?3)x?4kx?4k?3?0，

2222?k2?3?0????02? ??x?x?4k?0 122k?3??4k2?3?x1?x2?2?0k?3? 解得k2 >3 ??????????????????????????????5分 （i）?MP?MQ?(x1?m)(x2?m)?y1y2

?(x1?m)(x2?m)?k2(x1?2)(x2?2)?(k2?1)x1x2?(2k2?m)(x1?x2)?m2?4k22222(k?1)(4k?3)4k(2k?m)22 ???m?4kk2?3k2?33?(4m?5)k2??m2.????????7分2k?3 ?MP?MQ,?MP?MQ?0，

故得3(1?m2)?k2(m2?4m?5)?0对任意的 k?3恒成立，

2??1?m?0,解得m??1. ??2??m?4m?5?02 ∴当m =－1时，MP⊥MQ.

当直线l的斜率不存在时，由P(2,3),Q(2,?3)及M(?1,0)知结论也成立， 综上，当m =－1时，MP⊥MQ. ????????????????????8分

1是双曲线的右准线，???????????9分 2111 由双曲线定义得：|PA|?|PF2|?|PF2|,|QB|?|QF2|，

e22 （ii）?a?1,c?2,?直线x?1?k2|x2?x1||PQ|? 方法一：???

2|AB|2|y2?y1|1?k2|x2?x1|1?k211??1?2. ???10分 ?2|k(x2?x1)|2|k|2k ?k?3,?0?21113?,故???，????????????????12分 2323k1， 2 注意到直线的斜率不存在时，|PQ|?|AB|,此时???13??. ????????????????????????14分 综上，???,??23? 方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，

2?，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则

33?|PQ||PQ|11 ?PQC?|??|,??????. ????12分

?22|AB|2|CQ|2sin?2cos(??)2 ????? 由

?3????12?3,得?sin??1, 32 故：???,3??. ??????14分 ??23?

27．（本题满分16分）本题共3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分

解：f?(x)?3ax2?2bx?a2(a?0).???1分 （1）?x1??1,x2?2是函数f(x)的两个极值点，

?f?(?1)?0,f?(2)?0.????????????????????????2分

?3a?2b?a2?0,12a?4b?a2?0,解得a?6,b??9. ?????????3分 ?f(x)?6x3?9x2?36x. ??????????????????????4分

（2）∵x1、x2是 f(x)是两个极值点，?f?(x1)?f?(x2)?0.

∴x1、x2是方程3ax?2bx?a?0的两根.

∵△= 4b2 + 12a3， ∴△>0对一切a > 0，b?R恒成立.

22x1?x2???a?0,2ba,x1?x2??,3a3 ?x1?x2?0.2b2a4b24?|x1|?|x2|?|x1?x2|?(?)?4(?)??a. ????????6分 23a339a4b2422由|x1|?|x2|?22得?a?22,?b?3a(6?a). ??????7分 239a?b2?0,?3a2(6?a)?0,0?a?6. ???????????????? 8分

令h(a)?3a(6?a),则h?(a)??9a?36a.

22

0?a?4时,h?(a)?0?h(a)在（0，4）内是增函数； 4?a?6时,h?(a)?0 ∴h (a)在（4，6）内是减函数.

∴a = 4时，h(a)有极大值为96，?h(a)在?0,6?上的最大值是96，

∴b的最大值是46. ?????????????????????????10分 （3）证法一：∵x1、x2是方程f?(x)?0的两根，

?f?(x)?3a(x?x1)(x?x2)，???????????????????? 12分

1|x?x1|?|x?x2?|13)2 ???? 14分 ?|g(x)|?3a|x?x1|?|x?x2?|?3a(32?x1?x?x2,?x?x1?0,x?x2?0,3a13a1[(x?x1)?(x?x2?)]2?(x2?x1?)2. 4343a1?x1?x2??,x2?a,?x1??.33?|g(x)|??|g(x)|?3a111?(a??)2?a(3a?2)2. ??????????????16分 43312证法二：∵x1、x2是方程f?(x)?0的两根，

?f?(x)?3a(x?x1)(x?x2).???????????????????? 12分

a1?x1?x2??,x2?a,?x1??.

33111?|g(x)|?|3a(x?)(x?a)?a(x?)|.?|a(x?)[3(x?a)?1]|

333∵x1 < x < x2，

1?|g(x)|?a(x?)(?3x?3a?1) ??????????????????? 14分

313a?1??3a(x?)(x?)33 3a3a1??3a(x?)2??a2?a2433a31a(3a?2)22??a?a??????????????????16分

431228．（14分）解：设2，f(a1), f(a2), f(a3),??，f(an),2n+4的公差为d，则

2n+4=2+(n+2－1)d?d=2,??????????（2分）

?f(an)?2?(n?1?1)d?2?nd?2n?2?logaan?2n?2

?an?a2n?2.????????（4分）

（2）?bn?an?f(an)?a2n?2?logaa2n?2?(2n?2)a2n?2， ?Sn?4a4?6a6???2n?a2n?(2n?2)a2n?2

?a2Sn?4a6?6a8???(2n?2)?a2n?2n?a2n?2?(2n?2)a2n?4(1?a2)Sn?4a4?2[a6???a2n?2]?(2n?2)a2n?4,?a?1,2a4(1?a2n)2a4?(2n?2)a2n?42a41?a2n?Sn???[?1?(n?1)a2n],22222(1?a)1?a1?a1?a??????????????????(8分)2a44222??1,又0?a?1?2a?a?1?(2a?1)(a?1)?0,21?a2故2a2?1?0,解得,0?a?.?????????(10分)22a42n??1,又a?0,21?a2na2n?42a41?a2n?Sn??(?1?a2n)?????(11分)2221?a1?a1?a1?a2n??1?a2n?????(12分)21?a11??1?????(13分)??1?3.?????(14分)

11?a21?229．解：（I）|PF|PF1|?4a,|PF2|?2a 1|?2|PF2|,|PF1|?|PF2|?2a?

?PF1?PF2?(4a)2?(2a)2?(2c)2?e?5

x2y2?1渐近线为y??2x设P（II）E:2?1(x1,2x1),P2(x2,?2x2),P(x,y)

a4a2OP1?OP2??3x1x2??279?x1x2?，?2PP1?PP2?0 44?x?2x1?x22(2x1?x2)922,y?代入E化简x1x2?a?a?2

833x2y2???1

28（III）假设在x轴上存在定点G(t,0)使F1F2?(GM??GN)， 设l:x?ky?m,M(x3,y3),N(x4,y4)联立l与E的方程得

?8km?y?y?(1)342??4k?1 (4k2?1)y2?8kmy?4m2?8?0故?2?yy?4m?8(2)34?4k2?1?GM??GN?(x3?t??x4??t,y3??y4),F1F2?(210,0)

F1F2?(GM??GN)?x3?t??x4??t?0?k(y3??y4)?(1??)m?(??1)t?0(3)

由MQ??QN?y3??y4?0?y3???y4(4)

∴（3）即为2ky3?(1??)m?(??1)t?0(5)，将（4）代入（1）（2）

2m2?2有y3?(??1)代入（5）得t?

m2km故在x轴上存在定点G(2,0)使F1F2?(GM??GN)。 m30．解：（Ⅰ）因为f?(x)?3ax2?6x?6a,所以f?(?1)?0即3a?6?6a?0,所以a=－2. (Ⅱ)因为直线m恒过点（0，9）.

2先求直线m是y=g(x) 的切线.设切点为(x0,3x0?6x0?12),因为g?(x0)?6x0?6.

2所以切线方程为y?(3x0?6x0?12)?(6x0?6)(x?x0),将点（0，9）代入得x0??1. 当x0??1时，切线方程为y=9, 当x0?1时，切线方程为y=12x+9.

由f/(x)?0得?6x?6x?12?0，即有x??1,x?2 当x??1时，y?f(x)的切线y??18，

当x?2时， y?f(x)的切线方程为y?9?y?9是公切线，

2/又由f(x)?12得?6x?6x?12?12?x?0或x?1，

2当x?0时y?f(x)的切线为y?12x?11，

当x?1时y?f(x)的切线为y?12x?10，?y?12x?9，不是公切线 综上所述 k?0时y?9是两曲线的公切线

2(Ⅲ).（1）kx?9?g(x)得kx?3x?6x?3，当x?0，不等式恒成立，k?R.

当?2?x?0时，不等式为k?3(x?而3(x?1)?6， x11)?6??3[(?x)?]?6??3?2?6?0?k?0 x(?x)11当x?0时，不等式为k?3(x?)?6，?3(x?)?6?12 ?k?12

xx?当x??2时,kx?9?g(x)恒成立，则0?k?12

（2）由f(x)?kx?9得kx?9??2x?3x?12x?11

2当x?0时，9??11恒成立，k?R，当?2?x?0时有k??2x?3x?12?23220 x203210520?=?2(x?)?，

x48x3210520当?2?x?0时?2(x?)?为增函数，?也为增函数?h(x)?h(?2)?8

48x?要使f(x)?kx?9在?2?x?0上恒成立，则k?8 由上述过程只要考虑0?k?8，

设h(x)??2x?3x?12?则当x?0时f/(x)??6x2?16x?12=?6(x?1)(x?2)

在(2,??)时f/(x)?0?f(x)在x?2时有极大值即f(x)在(0,??)上的最大?在x?(0,2]时f/(x)?0，

值，又f(2)?9，即f(x)?9而当x?0,k?0时kx?9?9，?f(x)?kx?9一定成立 综上所述0?k?8.

31．解：（1）由条件知 f(2)?4a?2b?c?2恒成立

又∵取x=2时，f(2)?4a?2b?c?∴f(2)?2 ????4分

1(2?2)2?2与恒成立 8（2）∵??4a?2b?c?21 ∴4a?c?2b?1, ∴b?,2?4a?2b?c?0c?1?4a ??2分

又 f(x)?x恒成立，即ax2?(b?1)x?c?0恒成立 ∴a?0,??(?1)?4a(1?4a)?0， ????2分

122111,b?,c? 8221211∴f(x)?x?x? ????2分

822解出：a?（3）由分析条件知道，只要f(x)图象（在y轴右侧）总在直线 y?斜率

m1x?上方即可，也就是直线的24m小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是： 2?y?????y???1211x?x?2822 利用相切时△=0，解出 m?1? ????4分

m12x?24∴m?(??,1?解法2：g(x)?22) ????2分 2121m11x?(?)x??在x?[0,??)必须恒成立 82224即 x?4(1?m)x?2?0在x?[0,??)恒成立 ①△<0，即 [4(1－m)]2－8<0，解得：1?22?m?1? ??2分 22???02?②??2(1?m)?0 解出：m?1? ????2分

2?f(0)?2?0?总之，m?(??,1?2) 232．证明：（1）必要性 若{bn}为等差数列，设首项b1，公差d

1n(n?1)n?1(nb1?d)?b1?d n22dd∵an?1?an?, ∴{an}为是公差为的等差数列 ??4分

22则an?充分性 若{an}为等差数列，设首项a1，公差d

则b1?b2???bn?n[a1?(n?1)d]?dn2?(a1?d)n

b1?b2???bn?1?d(n?1)2?(a1?d)(n?1)∴bn?2dn?(a1?2d)(n?2)

(n?2)

当n=1时，b1=a1也适合

∵bn+1－bn=2d， ∴{bn}是公差为2d的等差数列 ????4分 （2）结论是：{an}为等差数列的充要条件是{cn}为等差数列且bn=bn+1

其中bn?an?an?2 （n=1，2，3?） ????4分 33（本小题满分12分）

解: (I)S3?5,即前3局甲2胜1平. ?????????????????1分

111,平的概率为,输的概率为, ………………………….2分 26312121得S3?5得概率为C3()??. ??????????????????5分

268由已知甲赢的概率为

(II) S??7时, ??4, 5,且最后一局甲赢, ……………………………………...6分

111121P(??4)?C3()()()?； ?????????????????8分

622161119111311111121P(??5)?C4()()()?C3()C3()()()???.

262362221612216?的分布列为

4 5 ?

119 P? 16216

???????????????10分 ∴ E??4?11149?5??. ??????????????12分 16216216

34（本小题满分12分）

2解：（I）由x?4y得y?121x， ∴y??x. 42∴ 直线l的斜率为y?x?2?1，

故l的方程为y?x?1， ∴点A的坐标为（1，0）.

设M(x,y) ，则AB?（1，0），BM?(x?2,y)，AM?(x?1,y)， 由AB?BM?2AM?0得(x?2)?y?0?

2?(x?1)2?y2?0，

x2?y2?1. 整理，得2∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为22，短轴长为2的椭圆. (II)如图，由题意知l?的斜率存在且不为零， 设l?方程为y?k(x?2)(k?0) ①，

x2?y2?1，整理，得 将①代入21(2k2?1)x2?8k2?x?(8k2?2)?0，由??0得0?k2?.

2设E(x1,y1)、F(x2,y2)，

?8k2x?x2?2??12k?1, ② 则?2?x1x2?8k?2?2k2?1?BES?OBE令??， 则??，

BFS?OBF由此可得 BE???BF，??x1?2，且0???1.

x2?2由②知 (x1?2)?(x2?2)??4， 21?2k2.

1?2k2(x1?2)?(x2?2)?x1x2?2(x1?x2)?4?4?1?2k2?12∴ , 即k??. ?2228(1??)(1??)∵ 0?k?214?11??， ，∴ 0?2(1??)222解得 3?22???3?22. 又∵0???1， ∴3?22???1，

∴?OBE与?OBF面积之比的取值范围是（3?22， 1）.

?x12y12?2?2?1?ab35(1)设A(x1,y1),B(x2,y2) 则?2相减得 2?x2?y2?12?ab?221b2y1?y2y1?y2b2???2 则kAB?????2 即a2?2b2故b2?c2

42ax1?x2x1?x2a(2?4)2?222由双曲线定义知离心率e? ?2a|a?22||?4|c (2)由上知椭圆离心率为2. 2故e?2?2 则a?32或2 |a?22|x2y2??1. 当a?32时,椭圆方程为

189x2?y2?1.而此时M(2,1)在椭圆外. 故舍去. 当a?2时,椭圆方程为2x2y2??1. 则所求椭圆方程为

189 (3)由题设知AB:y??x?3.椭圆x2?2y2?a2?0

?y??x?322223x?12x?18?a?0得有??12?12(18?a)?0 ?222?x?2y?a?0故a?6 ?2?|a?22|?2又由(2)知e? ?1 即?|a?22|??a?22?0故a的范围是(6,22)?(22,2?22). 则长轴2a的范围是(26,42)?(42,4?42). 36.（本小题满分16分）

（1）解：

设等差数列{an}的公差是d，则a1+2d=4，3a1+3d=18， 解得a1=8，d=－2，

所以Sn?na1?n(n?1)d??n2?9n??????????????2分 2由

Sn?Sn?21?Sn?1?[(?n2?9n)?(n?2)2?9(n?2)?2(n?1)2?18(n?1)] 22=－1＜0 得

Sn?Sn?2?Sn?1,适合条件①； 22又Sn??n?9n??(n?)?92281 4所以当n=4或5时，Sn取得最大值20，即Sn≤20，适合条件② 综上，{Sn}∈W??????????????????4分 （2）解：

因为bn?1?bn?5(n?1)?2n?1?5n?2n?5?2n 所以当n≥3时，bn?1?bn?0，此时数列{bn}单调递减； 当n=1，2时，bn?1?bn?0，即b1＜b2＜b3，

因此数列{bn}中的最大项是b3=7

所以M≥7??????????????????8分 （3）解：假设存在正整数k，使得ck?ck?1成立

由数列{cn}的各项均为正整数，可得ck?ck?1?1即ck?1?ck?1 因为

ck?ck?2?ck?1,所以ck?2?2ck?1?ck?2(ck?1)?ck?ck?2 2由ck?2?2ck?1?ck及ck?ck?1,得ck?2?2ck?2?ck?1?ck?1,故ck?2?ck?1?1 因为

ck?1?ck?3?ck?2,所以ck?3?2ck?2?ck?1?2(ck?1?1)?ck?1?ck?1?2?ck?3 2????????依次类推，可得ck?m?ck?m(m?N*) 设ck?p(p?N),则当m?p时，有ck?p?ck?p?0 这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾！

所以假设不成立，即对于任意n∈N,都有cn?cn?1成立.( 16分)

*

*

37．（本题满分14分）数列?an?和数列?bn?（n?N+）由下列条件确定： （1）a1?0，b1?0；

（2）当k?2时，ak与bk满足如下条件：当

ak?1?bk?1a?ba?b?0时，ak?ak?1，bk?k?1k?1；当k?1k?1?0时，222ak?ak?1?bk?1，bk?bk?1. 2解答下列问题：

（Ⅰ）证明数列?ak?bk?是等比数列；

（Ⅱ）记数列?n(bk?an)?的前n项和为Sn，若已知当a?1时，limn?0，求limSn.

n??n??an（Ⅲ）n(n?2)是满足b1?b2???bn的最大整数时，用a1，b1表示n满足的条件.

a?bak?1?bk?11?0时，bk?ak?k?1k?1?ak?1?(bk?1?ak?1)，

222a?ba?b1当k?1k?1?0时，bk?ak?bk?1?k?1k?1?(bk?1?ak?1)，

2221所以不论哪种情况，都有bk?ak?(bk?1?ak?1)，又显然b1?a1?0，故数列?ak?bk?是等比数列.…（4分）

21n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn?an?(b1?a1)()n?1，故n(bn?an)?(b1?a1)?n?1，

2223n?1n1123n?1nSn?(b1?a1)(1??2???n?2?n?1)，所以Sn?(b1?a1)(?2?3???n?1?n)

22222222221111n12n所以Sn?(b1?a1)(1??3???n?1?n)，Sn?(b1?a1)[4(1?n)?n]，…（7分）

2222222n又当a?1时，limn?0，故limSn?4(b1?a1).（8分）

n??n??aa?ba?b（Ⅲ）当b1?b2???bn(n?2)时，bk?bk?1(2?k?n)，由（2）知k?1k?1?0不成立，故k?1k?1?0，

22a?b1从而对于2?k?n，有ak?ak?1，bk?k?1k?1，于是an?an?1???a1，故bn?a1?b…………(1?a1)()n?1，

22解：（Ⅰ）当（10分）

an?bn1?11a?ba?b???a1?[a1?(b1?a1)()n?1]??a1?(b1?a1)()n.若nn?0，则bn?1?nn， 22?2222?1??1?1?bn?1?bn??a1?(b1?a1)()n???a1?(b1?a1)()n?1???(b1?a1)()n?0，所以bn?bn?1，这与n是满足

2??2?2?b1?b2???bn(n?2)的最大整数矛盾.

因此n是满足

an?bn?0的最小整数.（12分） 2而

an?bnb?aa?b1?0?a1?(b1?a1)()n?0?11?2n?log211?n， 22?a1a1a1?b1?n的最小整数.（14分） a1因而，n是满足log211ax2?x?138. (1)f?(x)??2?a?

xxx2 当a≥0时，ax2?x?1在[2，＋∞)上恒大于零，即f?(x)?0，符合要求； 当a＜0时，令g(x)?ax2?x?1，g (x)在[2，＋∞)上只能恒小于零

2分

??1?4a?01? 故△＝1＋4a≤0或?g(2)?0，解得：a≤?

4?1?2??2a?1 ∴a的取值范围是(??，?]?[0，??)

4x?1(2)a = 0时，f?(x)?2

x 当0＜x＜1时f?(x)?0，当x＞1时f?(x)?0，∴f(x)min?f(1)?1

xb1?1?lnxn?(3)反证法：假设x1 = b＞1，由(2)lnn?，

bxnxn?1b1?lnb?(n?N*) ∴xnxn?1b111lnb11?lnb??lnb?(lnb?)?lnb??2(lnb?)?? 故1?x1x2bx3bx4b11111lnb，即lnb?1 ① ?(1??2???n??)lnb?11bbb1?1?bb111lnb?1 又由(2)当b＞1时，lnb??1，∴lnb?1??1bb1?b6分

8分

与①矛盾，故b≤1，即x1≤1

同理可证x2≤1，x3≤1，?，xn≤1(n∈N) 39．解：（Ⅰ）f'(x)?3x?2ax?b。依题意则有：

2*

14分

?f(1)?4?1?a?b?4?a??632，所以?，解得?，所以f(x)?x?6x?9x； ??f'(1)?0?3?2a?b?0?b?9f'(x)?3x2?12x?9?3(x?1)(x?3)，由f'(x)?0可得x?1或x?3。

f'(x),f(x)在区间(0,4]上的变化情况为：

x f'(x) 0 (0,1)1 (1,3)3 (3,4)4 + 0 — 0 + f(x) 0 3增函数 24 减函数 0 增函数 4 所以函数f(x)?x?6x?9x在区间[0,4]上的最大值是4，最小值是0。 （Ⅱ）由函数的定义域是正数知，s?0，故极值点(3,0)不在区间[s,t]上；

1≤t?3，在此区间上f(x)的最大值是4，不可能等于（1）若极值点M(1,4)在区间[s,t]，此时0?s≤t；故在区间[s,t]上没有极值点；

（2）若f(x)?x3?6x2?9x在[s,t]上单调增，即0?s?t≤1或3?s?t，

32??f(s)?s?s?2?s?6s?9s?s则?，即?3，解得不合要求； ?2??f(t)?t?t?4?t?6t?9t?t（3）若f(x)?x3?6x2?9x在[s,t]上单调减，即1≤s?t≤3，则??f(s)?t，

f(t)?s?两式相减并除s?t得：(s?t)2?6(s?t)?st?10?0， ① 两式相除并开方可得[s(s?3)]2?[t(t?3)]2，

即s(3?s)?t(3?t)，整理并除以s?t得：s?t?3， ②

?s?t?32则①、②可得?，即s,t是方程x?3x?1?0的两根，

?st?1即存在s?3?53?5，t?满足要求； 22（Ⅲ）同（Ⅱ），极值点(3,0)不可能在区间[s,t]上；

1≤t?3， （1）若极值点M(1,4)在区间[s,t]，此时0?s≤???故有①????0?s≤1≤t?3kt?4ks?f(s)f(s)≤f(t)???或②????0?s≤1≤t?3kt?4ks?f(t)f(s)≥f(t)

①由k?44，1≤t?3知，k?(,4]，当且仅当t?1时，k?4； t3再由k?(s?3)2，0?s≤1知，k?[4,9]，当且仅当s?1时，k?4 由于s?t，故不存在满足要求的k值。 ②由s?1tt(3?t)2f(t)?f(t)?[]，及0?s≤1可解得2≤t?3， k4244所以k?，2≤t?3知，k?(,2]；

t3441tt(3?t)2]?(0,1]， 即当k?(,2]时，存在t??[2,3)，s?f(t)?f(t)?[3kk424且f(s)≥4s?f(t)?f(t)，满足要求。

k（2）若函数f(x)在区间[s,t]单调递增，则0?s?t≤1或3?s?t，

且??f(s)?ks2，故s,t是方程x?6x?9?k的两根，

?f(t)?kt由于此方程两根之和为3，故[s,t]不可能同在一个单调增区间；

?f(s)?kt（3）若函数f(x)在区间[s,t]单调递减，即1≤s?t≤3，?，

f(t)?ks?两式相除并整理得s2(s?3)2?t2(t?3)2，

由1?s?t?3知s(s?3)?t(t?3)，即s?t?3，

再将两式相减并除以s?t得，?k?(s2?st?t2)?6(s?t)?9?(s?t)2?6(s?t)?9?st??st， 即k?st?(s?t299)?。即k?(0,)，s,t是方程x2?3x?k?0的两根， 244即存在s?3?9?4k3?9?4k，s?满足要求。

229时，存在两个不等正数s,t(s?t)，使x?[s,t]时，函数f(x)?x3?6x2?9x的4综上可得，当0?k?值域恰好是[ks,kt]。

40．解：（1）a2?2,a3?3,a4?4

（2）nan?1?2(a1?a2?...?an) ○1

2 (n?1)an?2(a1?a2?...?an?1) ○

1—○2得nan?1?(n?1)an?2an即：nan?1?(n?1)an，○，

an?1n?1 ?ann所以an?a1a2a3an23n...?1...?n(n?2)所以an?n(n?N*) a1a2an?112n?1，

112,bn?1?bn?bn?bn?bn?1?...?b1?0， 2k（3）由（2）得：b1?所以{bn}是单调递增数列，故要证：bn?1(n?k)只需证bk?1

若k?1，则b1?1121?1显然成立；若k?2，则bn?1?bn?bn?bnbn?1?bn 2kk，

所以

111111111k?1k?1????(?)?...?(?)????2?因此： bn?1bnk，bkbkbk?1b2b1b1kkk?1所以bn?1(n?k)

。k?1，

所以bk?

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