2010高数（一）期末复习题解答 - 图文

Chp1-3 一元函数微分学

(一)

●1.若当x?0时，sin(ax)~e2x?1，则常数a?（ B ） (A) 1 (B) 2 (C)-1 (D) -2

x2?ln(1?●2.求极限lim0x??03xt)dx3 .

x?1t)dt1?sin2?ln(1? 解 原式=lim0x??01

x3 =lim32xln(1?x)xx022x??02

=2

●3.求极限lim??x02t?tantdtx?0.

t(t?sint)dt2解：原式=limx?tanx?2xx?(x?sinx)2x?0

=limx?2xx?sinx6x22x?0

=limx?01?cosx6x12x2

=limx?0?12.

2●4.求极限lim?x0xtedtt2t2x?0(?edt)02

解：原式＝lim(?x0xtedt)??t2x?0

2t2?(edt)?????0?=limxe2ex2x2x?0?x0edtt2?limx2?edt0xt2x?0

1 ?lim2

xx?02e ?12

●5.lim1?xsinx?1ln(1?x)2．

x?0 解 原式?lim1?xsinx?1ln(1?x)(1?xsinx?1)xsinxx(1?xsinx?1)22x?0

?limx?0

?12.

(二)

(9?a)x?2010x?1ax?x?2008(ax?3)(x?5)x115622●6.已知limx????2，则a?3

●7.已知limx????5xkx9?2，则a?2

1??●8.若极限lim?1??x??x??2?e?2，则常数k??2 ．

●9.已知lim(9?a)x?bx?13x?ax?bx?12x????2，则a?9,b??12

(三)

?sinkx?,x?0●10.设函数f(x)??x 在点x = 0处连续，则常数k? 2 ．

?x?0?2,?aex?1x?0?●11.设f(x)??在x?0点连续，则a?____1__ _. 1x?0?xsinx????●12.设f(x)?????1(1?x)x,a?cosx,x?0在(??,??)上连续，则a? x?0e?1 .

(四)

x?2xe●13.已知函数y?ln(1?x)?arctane?cos3， 则dy???1?x2?1?e2x?2x???dx． ?●14.设y?解 y?sinxxx??1?xarcsinx?ln22(1?x)esecx22x2?cos2, 求y?．

x?2sinx1?xarcsinx?12ln(1?x)?1212ln|secx|?cos2

y??xcosx?sinxx2??2x21?x2arcsixn?1?2x2(1?x)x1?x22?12122x?12secxsecxtanx

?xcosx?sinxx2??21?x2arcsinx?1??x?tanx

(五)

?x?x(t)?x?x(t)2dyy?(t)?参数方程求导（对?，则y??，求dx，只要从?出发，继续使用?y?(t)?y???(t)y?y(t)?dxx(t)??x?(t)?dy?dydx22dy2参数方程求导的方法，即y????dt）

dxdt2?x?ln(1?t2)dydy●15.求由参数方程 ?所确定的函数y?y(x)的，. 2dxdxy?arctant? 解 x?(t)?2t1?t2， y?(t)?12t11?t2

y??dydx?y?(t)x?(t)? 1dy? y???dydx22?dt?dxdt?22tt?2??21?t4t32

1?t2?x?a(t?sint)dydy,●16设摆线的参数方程为?求 2y?a(1?cost)dxdx?解 y??dydx?y?(t)x?(t)?asinta(1?cost)?sint1?cost

??sint???2(y?)?dy?111?cost??t y??????2dxx?(t)[a(t?sint)]?1?costa(1?cost)(六)

●17.函数y?x?x2的单调减区间为[12,??)

●18.确定函数 y?2x22(1?x) 的单调区间

解：定义域为(??,1)?(1,??)，y??4x(1?x)3，

故函数在(??,0]与(1,??)上单调减，在[0,1)上单调增； (七) 函数的最值

Chp4 不定积分

(八)

●19.设函数f(x)可微，则?f?(x)dx?f(x)?C . ●20.下列关系中，正确的是( C ). A．dC．???f(x)dx??ddxf(x)； B．?d(f(x))?f(x)；

(f(x))dx?f(x)?C； D．

?dxdf(x)dx?f(x)dx.

●21.设函数f(x)在[a,b]上连续，F?(x)?f(x)，则结论（ B ）正确．

A．f(x)是F(x)在[a,b]上的一个原函数； B．

ddx?f(x)dx?F?(x)；

C. F(x)是f(x)在[a,b]上唯一的原函数； D. ?F?(x)dx?F(x). ●22.设

sinxxx是函数f(x)的一个原函数, 则?f(x)dx?dx?arctanx?c, 求?f(x)dx．

sinxx?C.

●23.设?f(x)解 由?f(x)xdx?arctanx?c，得

f(x)x?11?x2，

解得f(x)?x1?x2，因此

?f(x)dx??x1?x2dx

?122ln1(?x)?C.

(九)

●24.原函数（奇偶性，周期性，单调性） (十)

●25.?(1?cos3x)sinxdx． 解

?(1?cosx)sinxdx?3?sinxdx?3cosxsinxdx ?3 ??cosx??cosxdcosx

??cosx?14cosx?C

4●26.求不定积分?cos解：令原式=

x?1dx.

x?1?t，则x?t2?1,dx?2tdt，

?cost?2tdt?2?td(sint))

=2(tsint??sintdt)

=2(tsint?cost)?C =2(x?1sinx?1?cosx?1)?C.

●27.计算?x221?xx2arctanxdx.

1x2 解 ?1?x2arctanxdx??arctanxdx?11?x2?1?arctanxdx

?xarctanx??xdx??arctanxdarctanx

x? ?xarctan●28.设?(x212ln(1?x)?212arctanx?C.

22?1)f(x)dx?x?C, 求?xf?(x)dx.

解 求导得

(x2?1)f(x)?2x,

解得 f(x)?2xx2?1,

?xf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)??f(x)dx

?2x2x2?1??2xx2?1dx

?2x2x2?1?ln(1?x2)?C

Chp5 定积分

(十一)

x●29.设函数f(x)在[a,b]上连续，F(x)??f(t)dt，则结论（ D ）正确.

0A. f(x)是F(x)在[a,b]上的一个原函数； B.

?f(x)dx?F(x)；

C. F(x)是f(x)在[a,b]上唯一的原函数； D.

ddx?f(x)dx?F?(x).

●30.设函数f(x)在[a,b]上连续，F(x)??xfa(t)dt，则以下结论中错误的是（ D ）

． A．F(x)在[a,b]上连续； B．F(x)在[a,b]上可导且F?(x)?f(x)； C．?bf(t)dt?F(b)； D．F(x)是f(x)在[a,b]上唯一的原函数．

ax2?1●31.设函数f(x)??e?t2dt,x?(??,??), 则曲线y?f(x)在(1,0)点的切线方程是（0A．x?2y??1; B.2x?y?1; C．x?2y??2; D．2x?y?2.

●32.设f?x?为连续函数，则d?x2dx???f(t)dt??（ A ）．x?? A．2xf?x2??f?x?; B．2xf?x2? ;

C．f?x?; D．?2x?1?f?x?.

D ）．

●33.lim? x 0tcostdtx22x?0?（ C ）

12(A) 2 (B) -2 (C)

x2 (D)?12

?ln(1?●求极限lim0x??03t)dx3 .

x?1t)dt1?sinx2?ln(1? 解 原式=lim0x??01

x3 =lim32xln(1?x)x2x??02

=2

●求极限lim??x0x02t?tantdtx?0.

t(t?sint)dt22解：原式=limx?tanx?2xx?(x?sinx)2x?0

=limx?2xx?sinx6x22x?0

=limx?01?cosx6x12x2

=limx?0?12.

2●求极限lim?x0xtedtt2t2x?0(?edt)02

解：原式＝lim(?x0tedt)??t2x?0

?(xet2dt)2?????0?=limxe2ex2x2x?0?x0edtt2?limx2?edt0xt2x?0

1 ?limx2

x?02e ?12

x●34.设函数f(x)连续，且满足?tf(t)dt?arctanx?c, 求?f(x)dx.

0解 对?tf(t)dt?arctanx?c求导，得

0xxf(x)?11?x2,1f(x)?1x(1?x)2，

?f(x)dx??x(1?x)2dx

??1x????x1?x2?12??dx ??2 ?ln|x|?ln1(?x)?C

(十二)

32●35.积分?(1?x)9?x?3dx?

9?2 . ?2?x4sinx●36.积分???1?x2?sin??/2??/22?x??dx??．

(十三)

12●37.f(x)?x?2?f(x)dx，求f(x)或?f(x)dx

00●38.设f(x)?(十四)

11/211?x2?x?10f(x)dx，则?f(x)dx?01?2.

●39.计算?e2x?1dx.

1210解 令2x?1?t，则x?

?(t?1)，dx?tdt，

t1t2?11/2e2x?1dx=?tedt=?td(e) )

0=tet10?t?1010edtt

?e?esinx8?sinx2?e?(e?1)?1．

●40.求?20dx

?解：原式???20dcosx9?cosx2u?cosx??0du9?u21

?16lnu?3u?301?16 ln2●41.计算?51x?1xdx.

解 令x?1?t，则 原式??202tt?1202?2tdt

?2?t?1?1dt 2t?12?2(t?arctant)0 ?4?2arctan2

●42.计算无穷限积分?解 ??? 2?? 2e?xdx.

?te?xdxx?t???2??22tedt

?t ??2?tde??2(t?1)e2?t??2

?2(2?1)e??/4

●43.计算

?0x1?cos2x?/4dx.

12?/4?/4 解 原式??0x2cos2x?dx??0xdtanx

?124xtanx0?12??0tanxdx

??8?124lncosx0??8?12ln22

(十五)

?x2?1,x?15●44.已知f(x)??， 求?f(x?2)dx.

x0?xe,x?1 解 ?50x?2?tf(x?2)dx???2f(t)dt

13 ???2(x?1)dx?12?13xedx

xx?13??x?x?3???3?xe?2x3??31??13edx

x?6?3e?e?e|1 ?6?2e

?1?x2,●45.已知f(x)???sinx,x?2x?223， 求?f(x?1)dx.

0解 令x?1?t,则

2?0f(x?1)dx??2131f(t)dt

2 ??(1?x)dx?2?32sinxdx

323?x? ??x??3???cosx1

?(十六)

103?cos3?cos2.

●46.下列广义积分中发散的是（ BGH ）.

??A.

?111?x2??dx; B.

?1x1?x2??dx; C.

?1arctanx1?x2??dx； D.

?11x2??dx. E.

?11x(x?1)dx

11F.

?0xlnxdx G.

?02(2x?1)2dx H.

?1?11x2dx I.

?1011dx

x2

●47.下列广义积分中收敛的是（ C ）. A．???elnxxdx； B．???e1xlnxdx； C．???e1x(lnx)2dx； D．???e1xlnxdx.

Chp6 定积分的应用

(十七)

2直角坐标情形：y?f(x)x?[a,b]，弧长微元（弧微分）ds?1?y?dx，所求光滑曲线的弧长

s??ba21?y?dx (a?b)

参数方程情形：??x??(t)?y??(t),(??t??)，弧长微元ds?(dx)?(dy)?22??(t)???(t)dt,所求光

22滑曲线的弧长 s?●48.求曲线y?1?????(t)???(t)dt.

22233x上相应于x从a到b的一段弧的长度.

2解 y??x2,弧长微元:ds?1?y?2dx?1?xdx, 所求弧长: s??ba1?xdx?2333[(1?b)2?(1?a)2].

(十八) 49.

●50.设有曲线y?e, 过原点作曲线的切线, 求:

(1) 切线的方程;

(2) 位于曲线下方和切线左方以及x轴上方之间平面图形的面积A

(3) 由曲线、切线以及y轴所围平面图形的绕x轴旋转所得旋转体的体积．

解 (1) 设切点为(x0,y0), 则y0?e0, 切线方程为 y?ex0xx?e(x?x0),

x0因为切线过原点, 将(0, 0)代入得x0?1, 因此切点为(1, e), 切线方程是y = e x.

(2)A??0??edx??(e?ex)dx?0x1xe2

(3) Vx??10[?(e)??(ex)]dx

21x22?12xe3????e?x?

3?2?0?(十九) ●51.

?6(e?3).

2

2●52.设直线y?kx(0?k?1) 与抛物线y?x所围成的平面图形的面积为S1，它们与直线x?1所围

成的平面图形的面积为S2．

（1）计算由y?kx与y?x所围平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积； （2）求常数k的值, 使得S1?S2最小，并求S1?S2的最小值．

解 (1) y?kx与y?x的交点为(0,0),(k,k)，

?123 所以 Vx???[(kx)?x]dx=??kx?30?k24k222?0153kx50?2?5??k． ?15?

(2) S1??k0(kx?x)dx?1k2212k3?13k33?k216k，

2S2??(x?kx)dx?1613(1?k)?3(1?k)?16(2?3k?k)，

3S1?S2?(2?3k?2k)

记I(k)?2?3k?2k3，则

dIdk??3?6k2?0，解得k??22，负值舍去，k?22是唯一的驻点。

又 I??(k)?12k,I??(2222)?62?0，

所以，k?是极小值点，也是最小值点。)

162216因此，?S1?S2?min?I()?(2?2)

●53.设抛物线y?ax2?bx?c过原点，当0?x?1时y?0，又该抛物线与直线x?1及x轴所围成的平面图形的面积等于

13，试求a, b,c，使此图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V最小.

解 因抛物线过原点，故c?0

1由题意知 S??(ax02?bx)dx?13a?12b?13，解得b?23(1?a)

11?1?又 Vx???(ax2?bx)2dx???a2?ab?b2?

23?5??2?1352 ???a?127a?4?? 27?令

dVx531??4a??b?，得 ， 所以 ???a??0?42da27??135又

dVxda22?4?135?0，因此当a??54,b?32,c?0时，所得旋转体的体积最小

(二十)

●54.一底半径为R，高为H的圆柱形水桶盛满水，现将水全部抽出，至少需要作功多少？（单位:m，水

密度为ρ，重力加速度为g，圆周率?的具体值不用代入）

提示：适当建立坐标系，求功微元，再积分。

●55.一半径为4m，高为8m的倒圆锥形水池，池里盛满水，若将池里的水全部抽出，至少需作多少功？

y

解：如图建立坐标系 由

8?x8?2y4，得 y?8?x2x

?8?x?功微元dW??g???dx?x，

?2?故W??80?8?x??g???xdx??g??2?2?8013?256?216x?4x?xdx??g? ??43??(二十一) ●56.

●57.

●58.

Chp7 微分方程

(二十二)

●59.求微分方程(1?x2)dy?arctanxdx满足yarctanx1?x2x?0?0的特解．

解 dy?dx

y?12arctanx?C

2

由yx?0?0，得C = 0,

12特解为 y?arctanx.

2?(1?x2)yy??x●60.求解初值问题?的解．

yx?0?2?解 ydy?x1?x122dx

12y?2ln(1?x)?C,

2由 yx?0?2， 得 C = 2,

2(?x)?4. 所求解为 y2?ln1

(二十三) ●61.微分方程

dydx?1xy?x的通解是

2y?x(12x?C)2.

●62.求微分方程(y?x3)dx?2xdy?0满足条件y12xx2x?1?65的特解．

解 原方程化为 y??12xy?212xdx，

?13dx?C??x?C?5?通解 y?e?dx?????x2?2e?x，

由y●63.

x?1?65，得C?1，所求特解为y?15x?3x.

(二十四)

●64.已知二阶微分方程为y???e2x?x，其通解为y?14e2x?16x?C1x?C23.

●65.微分方程y???x?sinx的通解是 y?

dydx2216x?sinx?C1x?C2.

3●66.求解微分方程 (1?x)2?2x2x1?x2dydx?0.

解 原方程可化为 y???y?

令y??p，则y???p?，从而原方程可化为 p??2x1?x2p，即

dpp?22x1?x2dx

两边积分得 lnp?ln(1?x)?lnC1?，

2即 p?C1(1?x)（C1??C1?）

所以

dydx?C1(1?x) ，两边积分得 y?213C1x?C1x?C2

3(二十五)

●67.已知y1?x，y2?x?ex，y3?1?x?ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y???a1y??a2y?f(x)的解，试求该微分方程满足y(0)?1，y?(0)?0的特解．

解：由微分方程解的结构定理知y2?y1?ex,且因

ex y3?y2?1是对应齐次方程y???a1y??a2y?0的解；

1?常数，所以y2?y1?ex,y3?y2?1线性无关，故y???a1y??a2y?f(x)的通解为 y?C1e?C2?x

x?C1?C2?1代入初始条件，得?，解得 C1??1,C2?2，

C?1?0?1满足条件的特解为：y??ex?2?x (二十六) ●68.y?e(二十七)

●69.微分方程y??－7y?+12y=0的通解是 y? C1e3x?C2e4x . ●70.微分方程y???y?0的通解为

Y?C1cosx?C2sinx2xsin2x是某二阶常系数线性齐次方程y???py??qy?0的一个特解，求微分方程和其通解

.

●71.以下各式中，函数（ C ）是微分方程y???22y??6y?0的解．

A．y?sin2x； B．y?eC．y?e(二十八)

●72.微分方程y???6y??5y??2xe的特解形式为y?（ A ）

A. x(ax?b)ex； B. (ax?b)ex； C. axex； D. aex．

x*2x；

sin2x．

2xsin2x； D．y?e2x●73.微分方程y???4y??x的特解形式是（ C ）.

A. y?ax； B. y?ax?b； C.y?x(ax?b)； D. y?x(ax?b).

????2●74.求微分方程y???4y??4y?e?2x 的通解.

解 对应齐次方程的特征方程为r?4r?4?0

2

解出 r1?r2??2 所以齐次方程的通解为 Y?(C1?C2x)e?2x

因为 又非奇次项f(x)?e?2x,Pm(x)?1，???2 是特征方程的重根 故设 y??x2Ae?2x，

12得2A?1，所以A?

12原微分方程的通解为y?(C1?C2x)e?2x?xex2?2x

●75.设y(x)有二阶连续导数，且y?(0)?1，y(x)??0?y??(t)?5y?(t)?4y(t)?e?2t?dt，求y(x) ???2x两边求导整理得y???4y??4y?e?2x，求得其通解y?(C1?C2x)e又y(0)?0y?(0)?1，可得C1?0,C2?1 ●76.求微分方程y???2y??3y?e?3x的通解. 解：特征方程r2?2r?3?(r?3)(r?1)?0 特征根为：r1??3,r2?1

? 齐次方程的通解Y?C1e?3x?12xe2?2x

?C2e

?3xx?3x*,Pm(x)?1,???3为单特征根，设y?axe 又非奇次项f(x)?e，

将y代入原方程，得a??*14* ，故y??*14xxe?3x

故原方程的通解y?Y?y?C1e●77.求微分方程 y???3y??2y?3xe2?3x?Ce?14xe?3x

?x 的通解.

解 对应齐次方程的特征方程是 r?3r?2?0，解得特征根r1??1, r2??2 故对应齐次方程的通解是Y?C1e?x?C2e?2x

?x 又非齐次项f(x)?Pm(x)e，这里Pm(x)?3x，???1是单特征根，故原方程的特解有形式

y?x(ax?b)e*?x，代入原方程得2a?(2ax?b)?3x，所以a?32*，b??3，得y?x(32x?3)e?x，

从而原方程的通解为y?C1e?x?C2e?2x?3x(12x?1)e?x.

●78.求微分方程 y???2y??3y?3x?1 的通解.

解 对应齐次方程的特征方程是 r2?2r?3?0，解得r1??1，r2?3 从而对应齐次方程的通解为 Y?C1e?x?C2e3x ，

由f(x)?Pm(x)e?x,这里Pm(x)?3x?1,??0不是特征根，原方程有形如y*?ax?b的特解， 代入原方程，得 ?2a?3(ax?b)?3x?1，a??1，b??所以原方程的通解是 y?C1e?x?C2e3x?x?(二十九)

●79.设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且k?少存在一点c?(0,1)，使得f?(c)?0．

解 因为f(x)在[0，1]上连续，由积分中值定理，在[0,f(?)?k??f(x)dx?f(1).

01k13，

13

1/k0．求证：至f(x)dx?f(1) (k?1为常数）

1k]内存在?使得?f(x)dx?f(?)01k1k，于是

又f(x)在[?,1]上连续，(?,1)内可导，且f(?)?f(1)，因此，由罗尔定理，?c?(?,1)?(0,1)，使得

f?(c)?0.

1●80.设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3?2f(x)dx?f(0)，证明：必存在??(0,1)，使

3f'(?)?0

证明：由积分中值定理，存在c?[,1]使得：

32? 3?2f(x)dx3123f(c)?(13?)fc(?)f ( 0 )

则f(x)在区间[0,c]?[0,1]上满足Rolle定理的条件

故存在??(0,c)?(0,1)使得：f'(?)?0

1●81.设f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0, 1)内可导，且

?1/2f(x)dx?0，证明在开区间(0, 1)

内至少存在一点?，使f?(?)??f(x)tan?.

1解 因f(x)在闭区间[0，1]上连续，且

?1/2从而由积分中值定理得，存在一点??[1/2,1]，f(x)dx?0，

使f(?)?0

做辅助函数F(x)?sinxf(x)，

则F(x)在区间[0,?]?[0,1]满足Rolle定理条件，从而由Rolle定理得，存在一点

??(0,?)?(0,1)，使F?(?)?0，

即 sin??f?(?)?cosx?f(x)?0

f(x)tan?而sin??0，故得f?(?)??

●82.设函数f (x) 在 [a, b] 上连续且f (x) > 0, 试证: 在 (a, b) 内存在唯一一点c, 使得直线 x = c 将曲线y = f (x) 与直线 x = a, x = b以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积二等分.

证 令 F(t)??atf(x)dx?ba?tbf(x)dx,t?[a,b],

则 F(a)???f(x)dx?0, F(b)??abf(x)dx?0,

由零点定理, 至少存在一点c?(a,b), 使得F(c) = 0; 又 F?(t)?f(t)?f(t)?0,

表明F(t) 单调递增, 因此函数F(x) 至多有一个零点.

综上所述, (a, b) 内存在唯一一点c, 使得F(c) = 0, 即

?acf(x)dx??cbf(x)dx,

也即直线 x = c 将曲线y = f (x)与直线 x = a, x = b以及x轴所围成的曲边梯形的面积二等分. (三十)

●83.设函数f(x),g(x)在?0,1?上的导数连续，且f(0)?0，f?(x)?0，g?(x)?0. 证明：对任何的a?[0,1]，有?g(x)f?(x)dx?0a?10f(x)g?(x)dx?f(a)g(1).

证明：令F(a)??a0g(x)f?(x)dx??10f(x)g?(x)dx?f(a)g(1)，只需证F(a)?0即可

?F?(a)?g(a)f?(a)?f?(a)g(1)?f?(a)(g(a)?g(1))

由于g?(x)?0,f?(a)?0，从而?a?[0,1],g(a)?g(1)?0 所以F?(a)?0,?a?[0,1].

又F(1)??10g(x)f?(x)dx?1?10f(x)g?(x)dx?f(1)g(1)

?g(x)f(x)0??10g(x)f?(x)dx??10f(x)g?(x)dx?f(1)g(1)?0

故?a?[0,1]，F(a)?F(1)?0，即F(a)?0成立，得证 ●

●设函数f(x)有一阶连续的导数，正常数a为函数F(x)?x2?在(0,a)内至少有一点c，使得f?(c)?0．

证 F?(x)?2xxxx0f?(t)dt??x02tf?(t)dt的驻点，试证：

?0f?(t)dt?xf?(x)?xf?(x)?2x22?0f?(t)dt，

因为正常数a是F(x)的驻点，

?F?(a)?2a??a0f?(t)dt?0，

?a0f?(t)dt?0(?a?0)，

即 f(a)?f(0?)，或0f(a)?f(0).

又由已知条件，f(x)有一阶连续的导数，故由罗尔定理得，至少存在一点c?(0,a)，使得f?(c)?0． (三十一) ●微分方程

dydx?yxlnyx?yx的通解是（ C ）.

A. y?Cx； B. y?eCx； C. y?xeCx； D. xy?C. ●曲线?：y?y(x)过点(0, ?1)，且满足方程：

2x(y?1)dx?(1?x)dy?0

2曲线?与直线y?2t?1（t为常数）在区间[0, t]上所围面积为S1，在区间[t, 1]上所围面积为S2，这里0?t?1。试问当t取何值时，面积和S?S1?S2达到最小值？

2 解 方程2x(y?1)dx?(1?x2)dy?0可化为

两边积分得

22lny?1?lnx?1?lnC?，即y?1?C(x?1)（C??C?)

1y?1dy?2xx?12dx

又由已知y(0)??1可得C?2，故曲线y?y(x)即为y?2x2?1

从而 S1???2t01t223??22?2xdx??2tx?x?3??t??014323t

3 S2???t?23222?2x?2tdx??x?2tx??3???t?2t?243t

3因此 S?23?2t?283t。

12?(0,1)，

3令S?(t)??4t?8t2?0，得唯一驻点t1?而S??(t1)??16t?4?t?1?4?0，故S(t)在t?212处取得极小值，也是最小值，S(t1)?12

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