必修五解三角形章节总结与题型

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章末整合提升

知识梳理

abc

1.正弦定理：sinA=sinB=sinC=2R，其中R是三角形外接圆半径.

b2 c2 a2

222222

2bc. 2.余弦定理：a=b+c-2bccosA,b=a+c-2accosB,cosA=

111a b c

S(S a)(S b)(S c)23.S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB,S△==Sr(S=,r为abc

内切圆半径)=4R(R为外接圆半径).

4.在三角形中大边对大角，反之亦然.

5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形内角的诱导公式

CCA BA B

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos2=sin2,sin2=cos2

在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；

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(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列. 7.解三角形常见的四种类型

abc

(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及sinA=sinB=sinC，可求出角C，再求b、

c.

(2)已知两边b、c与其夹角A，由a=b+c-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C. (3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.

2

2

2

ab

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinA=sinB，求出另一边b的对角B，acab

由C=π-(A+B)，求出c，再由sinA=sinC求出C，而通过sinA=sinB求B时，可能出一

解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：

9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.

专题一：正、余弦定理的应用

1．正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．

2．余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角．

例1．在 ABC中，已知a

，c，B 60

，求b及A；

222b a c 2accosB 解析：（1）∵

=2 2 2 COS450

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2

12 1)=8=

∴b 求

A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b2 c2 a22221

, 解法一：∵

cosA ∴

A 600.

a0

A sinBsin45,

解法二：∵

sin2.4

1.4 3.8,∴a＜

＜2 1.8 3.6,

c，即00＜A＜900,

A 60. ∴

针对练习： 1．（2010

上海文数）18.若△

ABC

的三个内角满足

sinA:sinB:sinC 5:11:13，则△ABC

（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.

（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由

sinA:sinB:sinC 5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13

52 112 132

0，所以角C为钝角 由余弦定理得cosc

2 5 11

2．（2010湖南文数）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，

c=

a，则

A.a＞b B.a＜b

C. a＝b D.a与b的大小关系不能确定

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【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题 例2．.（2009北京理） 在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B

3

，

4

cosA ,b （Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求 ABC的面积.

5

【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力． 解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且B ∴C

3

,cosA

4， 5

2 3 A,sinA ，

35

∴sinC sin

1 2

. A A sinA

32

3,sinC 5

（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA

又∵B

,b ABC中，由正弦定理，得

3

bsinA6

. ∴a

sinB5

∴△ABC

的面积S 针对练习：

3．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB＝3，bsinA＝4. (1)求边长a；

(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长l. 解：(1)将acosB＝3与bsinA＝4两式相除，得

1163 36 absinC . 2251050

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3acosBacosBbcosB1＝＝·＝·＝. 4bsinA

sinAbsinBbtanB又由acosB＝3知cosB>0，

34

∴cosB＝，sinB＝，即a＝5.

551

(2)由S＝acsinB，得c＝5.

2

a2＋c2－b2

由cosB＝，解得b＝2 5.

2ac

∴l＝a＋b＋c＝10＋2 5.

理解并掌握正弦定理与三角形面积计算公式的结合．要掌握面积与角或

边的转换方法．

4．（2010天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若

a2 b2 ，sinC B，则A=

（A）30 （B）60 （C）120 （D）150

00

【答案】A

【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。 由由正弦定理得

c c ， 2R2R

b2+c2-a2 c2 所以cosA==，所以A=300

2bc2bc2bc2

【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角

化为边运算。

5.(2010年天津)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝bc，sinC＝2 3sinB，则A＝( )

A．30° B．60° C．120° D．150°

专题二：正、余弦定理、三角函数与向量的综合应用 例3. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 k(k R). （Ⅰ）判断△ABC的形状； （Ⅱ）若c

2,求k的值.

解：（I） cbcosA, cacosB

又 bccosA accosB

sinBcosA sinAcosB

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即sinAcosB sinBcosA 0 sin(A B) 0

A B

A B

ABC为等腰三角形. （II） 由（I）知a b

b2 c2 a2c2

bccosA bc c 2 k 1

2bc2

针对练习：

15

6.（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ABC中，AB a，AC b，a b 0，S ABC ，

4

a 3,b 5，则 BAC （ ）

A.． 30 B ． 150 C．150 D． 30或150 答案 C

7．（2009浙江理）（本题满分14分）在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满

0 0

A 足cos ，AB AC 3．

2（I）求 ABC的面积； （II）若b c 6，求a的值．

34A2A 1 ,sinA ，又由AB AC 3 解 （1）

因为cos ， cosA 2cos

25525

得bccosA 3, bc 5， S ABC

1

bcsinA 2 2

（2）对于bc 5，又b c 6， b 5,c 1或b 1,c 5，由余弦定理得

a2 b2 c2 2bccosA

20， a

8.设△ABC的三个内角分别为A、B、C，向量m＝3sinA，sinB)，n＝(cosB3cosA)，若m·n ＝1＋cos(A＋B)，则C＝( )

ππ2π5πA. B. C. D.63369.(2010年辽宁)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA＝(2a＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.

(1)求A的大小；

(2)求sinB＋sinC的最大值． 专题三：三角形面积

例3．在 ABC中，sinA cosA

，AC 2，AB2

3,求tanA的

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值和 ABC的面积。

解法一：先解三角方程，求出角A的值。

sinA cosA 2cos(A 45 )

2,2

1

cos(A 45) .

2

又0

A 180 , A 45 60 ,A 105.

tanA tan(45 60 )

2sinA sin105 sin(45 60 ) sin45 cos60 cos45 sin60

S ABC

2 6

.4

112 63 AC ABsinA 2 3 (2 6)。 2244

解法二：由

sinA cosA计算它的对偶关系式sinA cosA的值。

2

sinA cosA ①

2

(sinA cosA)2

12

1

2sinAcosA

2

0 A 180 , sinA 0,cosA 0.

1

另解(sin2A )

2

3

(sinA cosA) 1 2sinAcosA ,

2

2

6

sinA cosA ②

2

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① + ② 得

sinA

cosA

2 6

。

4

2 64

。

① － ② 得

从而

tanA

sinA4

2

cosA4以下解法略去。

点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？

10． (2010年安徽)△ABC的面积是30，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，cosA12＝. 13

→→(1)求AB·AC；

(2)若c－b＝1，求a的值．

12

思维突破：(1)根据同角三角函数关系，由cosA＝得sinA的值，再根据△ABC面积公

13

→→

式得bc＝156；直接求数量积AB·AC.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，代入已知条件c－b＝1及bc＝156，求a的值．

12

解：由cosA＝，

13

25

得sinA＝1－ 13＝13. 1

又sinA＝30，∴bc＝156. 2

12→→

(1)AB·AC＝bccosA＝156144.

13

(2)a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)

1－12＝25. ＝1＋2·156· 13∴a＝5. 11．（2009湖南卷文）在锐角 ABC中，

BC 1,B 2A,则

AC

的值等cosA

于 ， 解析 设

AC的取值范围为.

A , B 2 由正弦定理得.

ACBCACAC , 1 2.

sin2 sin 2cos cos

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由锐角 ABC得0

2 90 0 45 ，

0 180 3 90 30 60又，故

30 45 cos ，

22

AC 2cos

12.（2009四川卷文）在 ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

且sinA

B

（I）求A B的值； （II

）若a b

1，求a、b、c的值。

B

解（I）∵A、

B为锐角，sinA

∴

cosA

B

5105102

cos(A B) cosAcosB sinAsinB

∵ 0 A B ∴ A B

4

（II）由（I）知C 由

3 ，∴

sinC 42

abc

得

sinAsinBsinC

，即a ,c

又∵

a b ∴

1 1 ∴ b 1

b

∴

a ,c

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点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数f(t) t

4，这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？ t

专题三：解三角形的实际应用

正弦定理、余弦定理在实际生产生活中有着非常广泛的应用．常见题有距离问题、高度问题、角度问题以及求平面图形的面积问题等．解决这类问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题．

抽象推理还原

实际问题――→解三角形问题――→三角形问题的解――→实际问题的解 概括演算说明例4：（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上

的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D

的距离（计算结果精确到0.01km

1.414，

2.449）

解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，

ABAC

在△ABC中，sin BCAsin ABC, ACsin60 32 6

,

即AB=sin15 20

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因此，BD=

32 6

0.33km。 20

故B，D的距离约为0.33km。 。

点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。

13.如图3，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．

图3

一、本章思维总结

1．解斜三角形的常规思维方法是：

（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b； （2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；

（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；

（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。 2．三角学中的射影定理：在△ABC 中，b3．两内角与其正弦值：在△ABC 中，

a cosC c cosA，

A B sinA sinB，

4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

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