2022年山西农业大学动物科技学院314数学(农)之工程数学—线性代

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目录

2018年山西农业大学动物科技学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（一）

...................................................................................................................................................... 2 2018年山西农业大学动物科技学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（二）

.................................................................................................................................................... 12 2018年山西农业大学动物科技学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（三）

.................................................................................................................................................... 20 2018年山西农业大学动物科技学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（四）

.................................................................................................................................................... 30 2018年山西农业大学动物科技学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（五）

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第 2 页，共 42 页 2018年山西农业大学动物科技学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题

库（一）

说明：本套核心题库按照考试大纲、历年真题、指定参考书等结合考试侧重点和难度，精心整理编写。核心题库更突出针对性和实战性，考研冲刺必备资料。

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一、解答题

1．

已知，求

【答案】

令

则且有

1

所以

2．

设为三维单位列向量，并且

记证明：

（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解；

（Ⅱ）A

相似于矩阵

【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且则

故Ax=0有非零解.

（Ⅱ）由（Ⅰ

）知

故A

有零特征值

的非零解即为对应的特征向量.

又

且

故为A 的特征值

，

为对应的特征向量. 另外，由

可知为两个正交的非零向量，从而线性无关.

故为A 的3个线性无关的特征向量，

为4的2重特征值

，

为4的单重特征值.

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记

则即A

相似于矩阵

3． 设二次

型

矩阵A 满足AB=0,其

中

（Ⅰ）用正交变换化二次型

为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ

）求

【答案】

（Ⅰ）由知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.

记

则由此可知

，是矩阵A 的特征值（至少是二重）

，

是的线性无关的特征向量.

根据

有故知矩阵A

有特征值因此，矩阵A 的特征值是0,0, 6.

设

的特征向量为那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，

有

解出

对正交化，

令则

再对，单位化，得

那么经坐标变换

即

二次型化为标准形

（Ⅱ）因为

有

进而

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又

所以由

得

于是

4． 已知A 是3阶矩阵，

是3维非零列向量，

若

令

（Ⅰ）证明：线性无关

；

（Ⅱ

）设求

【答案】

（Ⅰ）由

且

非零可知，是A 的个

同特征值的特征向量

，故

线性无关

.

又

令 即

由

线性无关

，得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,所以必有即

线性无关；

（Ⅱ）因为,

所以

故

二、计算题

5． 设

问k 为何值，可使（1）R （

A ）=1;（2）R （A ）=2

;（3）R （A ）=3.

【答案】方法一：因A 为3阶方阵，故因

所以当时，R （A ）=3.

当k=-2时，

又A 的左上角二阶子式不为零，故

于是R （A ）=2;

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