高三一轮复习资料递推数列题型归纳解析

高三一轮复习资料递推数列题型归纳解析

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

类型1 )(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。

例:已知数列{}n a 满足211=

a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1

11)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a

)111()4131()3121()211(n

n --+??????+-+-+-= 所以n

a a n 111-=- 211=a ，n

n a n 1231121-=-+=∴ 类型2 n n a n f a )(1=+

解法：把原递推公式转化为

)(1n f a a n n =+，利用累乘法求解。 例:已知数列{}n a 满足321=

a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 解：由条件知1

1+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 1342312-??????????n n a a a a a a a a n n 1433221-??????????=n a a n 11=?又321=a ，n

a n 32=∴ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

解法一(归纳法): ()()2123232233223233n n n n a a a a ---=+=++=+++

123112232323323n n n n a ---+==+++++=-

解法二（待定系数法）：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=?-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23

311=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=?=n n n b ,所以321-=+n n a .

()()

{}11111211111:2323

2,222323

n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+++++=+∴=+-=-∴--∴-==+∴=- 解法三作差法两式相减,得:是以=4为首项为公比的等比数列

解法四(作商法): 1111323222n n n n n n n a a a a ++++=+∴

=+ 令11322n

n n n n n a b b b ++=-=则 累加得: 132232

n n n n b +=-=-则a 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）

。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q

a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n

b （其中n

n n q a b =），得：q b q p b n n 11+=+再同类型3求解。 例:已知数列{}n a 中，651=

a ,11)2

1(31+++=n n n a a ，求n a 。 解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(3

2211+?=?++n n n n a a 令n n n a b ?=2，则1321+=+n n b b ,解之得：n n b )32(23-=所以n n n n n b a )31(2)21(32-== 类型5 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。

例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a . 解：设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得 []12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n

??????+-=-=∴13323A B B A A ?

??==11B A 1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故n n n b 32361?=?=-代入（１）得132--?=n a n n

说明：（1）若)(n f 为n 的二次式，则可设C Bn An a b n n +++=2;(2)本题也可由1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为n n n qb pb b +=++12求之. 类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)

解法：这种类型一般利用???≥???????-=????????????????=-)2()1(11n S S n S a n n

n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例：已知数列{}n a 前n 项和2214--

-=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a . 解：（1）由2214--

-=n n n a S 得：111214-++--=n n n a S 于是)21

21(

)(1211--++-+-=-n n n n n n a a S S 所以11121-+++-=n n n n a a a n n n a a 2

1211+=?+. （2）应用类型4（n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））的方法，上

式两边同乘以12+n 得：22211+=++n n n n a a 由12

14121111=?-

-==-a a S a .于是数列{}n n a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n 2)1(222=-+=12-=?n n n a 类型7 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 满足

???-==+q

st p t s 解法二(特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02

=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和

2,1=n ，代入12

11--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。

例: 已知数列{}n a 中，),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。

解法一（待定系数——迭加法）:由025312=+-++n n n a a a ，得)(3

2112n n n n a a a a -=-+++，且a b a a -=-12。则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，

3

2为公比的等比数列，于是11)32)((-+-=-n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1???=代入，得a b a a -=-12，)32()(23?-=-a b a a ，234)32()(?-=-a b a a ，???21)3

2)((---=-n n n a b a a 。把以上各式相加，得 ])32()32(321)[(21-+???+++-=-n n a b a a )(3

21)32(11

a b n ---=-。 a b b a a a b a n n n 23)32)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是

???-=-=???

???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 类型8 r n n pa a =+1)0,0(>>n a p

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。

例：已知数列｛n a ｝中，2111,1n n a a

a a ?=

=+)0(>a ，求数列{}.的通项公式n a 解：由211n n a a a ?=+两边取对数得a

a a n n 1lg lg 2lg 1+=+， 令n n a

b lg =，则a b b n n 1lg 21+=+，再利用待定系数法解得：12)1(-=n n a a a 。 类型9 )

()()(1n h a n g a n f a n n n +=+ 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。 例：已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+?=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。 解：取倒数：11113131---+=+?=n n n n a a a a ??????∴n a 1是等差数列， 3)1(111?-+=n a a n 3)1(1?-+=n 231-=?n a n

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