高三一轮复习资料递推数列题型归纳解析
更新时间:2023-08-12 00:41:01 阅读量: 外语学习 文档下载
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高三一轮复习资料递推数列题型归纳解析
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。
类型1 )(1n f a a n n +=+
解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法求解。
例:已知数列{}n a 满足211=
a ,n n a a n n ++=+211,求n a 。 解:由条件知:1
11)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ,代入上式得)1(-n 个等式累加之,即)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n
n --+??????+-+-+-= 所以n
a a n 111-=- 211=a ,n
n a n 1231121-=-+=∴ 类型2 n n a n f a )(1=+
解法:把原递推公式转化为
)(1n f a a n n =+,利用累乘法求解。 例:已知数列{}n a 满足321=
a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。 解:由条件知1
1+=+n n a a n n ,分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ,代入上式得)1(-n 个等式累乘之,即 1342312-??????????n n a a a a a a a a n n 1433221-??????????=n a a n 11=?又321=a ,n
a n 32=∴ 类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。
例:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a .
解法一(归纳法): ()()2123232233223233n n n n a a a a ---=+=++=+++
123112232323323n n n n a ---+==+++++=-
解法二(待定系数法):设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=?-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ,则4311=+=a b ,且23
311=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项,2为公比的等比数列,则11224+-=?=n n n b ,所以321-=+n n a .
()()
{}11111211111:2323
2,222323
n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+++++=+∴=+-=-∴--∴-==+∴=- 解法三作差法两式相减,得:是以=4为首项为公比的等比数列
解法四(作商法): 1111323222n n n n n n n a a a a ++++=+∴
=+ 令11322n
n n n n n a b b b ++=-=则 累加得: 132232
n n n n b +=-=-则a 类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )
。 (或1n n n a pa rq +=+,其中p ,q, r 均为常数) 。
解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以1+n q ,得:q q a q p q
a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n
b (其中n
n n q a b =),得:q b q p b n n 11+=+再同类型3求解。 例:已知数列{}n a 中,651=
a ,11)2
1(31+++=n n n a a ,求n a 。 解:在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得:1)2(3
2211+?=?++n n n n a a 令n n n a b ?=2,则1321+=+n n b b ,解之得:n n b )32(23-=所以n n n n n b a )31(2)21(32-== 类型5 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠,a 、p
解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++,与已知递推式比较,解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。
例:设数列{}n a :)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ,求n a . 解:设B An b a B ,An a b n n n n --=++=则,将1,-n n a a 代入递推式,得 []12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n
??????+-=-=∴13323A B B A A ?
??==11B A 1++=∴n a b n n 取…(1)则13-=n n b b ,又61=b ,故n n n b 32361?=?=-代入(1)得132--?=n a n n
说明:(1)若)(n f 为n 的二次式,则可设C Bn An a b n n +++=2;(2)本题也可由1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n (3≥n )两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为n n n qb pb b +=++12求之. 类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)
解法:这种类型一般利用???≥???????-=????????????????=-)2()1(11n S S n S a n n
n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例:已知数列{}n a 前n 项和2214--
-=n n n a S .(1)求1+n a 与n a 的关系;(2)求通项公式n a . 解:(1)由2214--
-=n n n a S 得:111214-++--=n n n a S 于是)21
21(
)(1211--++-+-=-n n n n n n a a S S 所以11121-+++-=n n n n a a a n n n a a 2
1211+=?+. (2)应用类型4(n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq ))的方法,上
式两边同乘以12+n 得:22211+=++n n n n a a 由12
14121111=?-
-==-a a S a .于是数列{}n n a 2是以2为首项,2为公差的等差数列,所以n n a n n 2)1(222=-+=12-=?n n n a 类型7 递推公式为n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。 解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ,t 满足
???-==+q
st p t s 解法二(特征根法):对于由递推公式n n n qa pa a +=++12,βα==21,a a 给出的数列{}n a ,方程02
=--q px x ,叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根,当21x x ≠时,数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ,其中A ,B 由βα==21,a a 决定(即把2121,,,x x a a 和
2,1=n ,代入12
11--+=n n n Bx Ax a ,得到关于A 、B 的方程组);当21x x =时,数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ,其中A ,B 由βα==21,a a 决定(即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入11)(-+=n n x Bn A a ,得到关于A 、B 的方程组)。
例: 已知数列{}n a 中,),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,,求数列{}n a 的通项公式。
解法一(待定系数——迭加法):由025312=+-++n n n a a a ,得)(3
2112n n n n a a a a -=-+++,且a b a a -=-12。则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项,
3
2为公比的等比数列,于是11)32)((-+-=-n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1???=代入,得a b a a -=-12,)32()(23?-=-a b a a ,234)32()(?-=-a b a a ,???21)3
2)((---=-n n n a b a a 。把以上各式相加,得 ])32()32(321)[(21-+???+++-=-n n a b a a )(3
21)32(11
a b n ---=-。 a b b a a a b a n n n 23)32)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。 解法二(特征根法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征方程是:02532=+-x x 。32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,,于是
???-=-=???
???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 类型8 r n n pa a =+1)0,0(>>n a p
解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1,再利用待定系数法求解。
例:已知数列{n a }中,2111,1n n a a
a a ?=
=+)0(>a ,求数列{}.的通项公式n a 解:由211n n a a a ?=+两边取对数得a
a a n n 1lg lg 2lg 1+=+, 令n n a
b lg =,则a b b n n 1lg 21+=+,再利用待定系数法解得:12)1(-=n n a a a 。 类型9 )
()()(1n h a n g a n f a n n n +=+ 解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。 例:已知数列{a n }满足:1,13111=+?=--a a a a n n n ,求数列{a n }的通项公式。 解:取倒数:11113131---+=+?=n n n n a a a a ??????∴n a 1是等差数列, 3)1(111?-+=n a a n 3)1(1?-+=n 231-=?n a n
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