(函数专题（四）)

D C 第二十七课时 x 函数专题复习（四） P x A E 2R 函数的应用举例（1） B A D O 目的：熟悉借助“几何图形”和“计算利润”两种常见类型的应用问题。 过程： 一、应用问题的解答绝大部分是通过建立模型（常常是函数模型）并借助图 象和性质来进行研究的，研究结果再应用于实践。 1．数学模型来源于实践，是实际问题的抽象和概括，因此首先必须对实际问题要有深刻的理解。 2．其次，应不断培养自己的抽象概括能力和坚实的数学基础。 3．最后，当然需要有较强的运算能力。 二、例一、有一块半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形 状，下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上。写出这个梯形周长y 与腰长x间的函数式，并写出它的定义域。 分析：关键是用半径R与腰长x表示上底 由对称性：CD=AB?2AE 因此只要求AE 解：设腰长AD=BC=x 作DE?AB 垂足为E 连结BD 则?ADB=90? 由此：Rt△ADE∽Rt△ABD ∴AD2?AE?AB AE?x22R ∴CDx2?AB?2AE?2R?x2R ∴周长y?2R?2x?(2R?x2R)??R?2x?4R ∵ABCD是圆内接梯形 ∴ADx?02x?0?x|0?x? R2x2R??0R?0,AE?0,CD?0?2R? 例二 如图，已知⊙O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M，连AP设AP=x 1． 第1页

写出AP+2PM关于x的函数关系式 2．求此函数的最值

解：1．过P作PD?AB于D，连PB 设AD=a则x2 a ∴?x2D A C ?2R?a 2R PM?2R?x2x22R f(x)?AP?2PM??R?x?4R (0? 2．f(x)??x?2R) 1R(x?R2)?217R4R 当x?2R时f(x)min?2R 当x?R2时f(x)max?174 例三 距离船只A的正北 方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度，沿 北偏西60?角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度 向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相 距最近？ 解：设t小时后A行驶到点C，B行驶到点D，则BD=20 BC=100-15t 过D作DE?BC于E DE=BDsin60?=103t BE=BDcos60?=10t ∴EC=BC+BE=100-5t CD=DE2?CE2??103t?2??100?5t?2=325t2?1000t?10000 第2页

∴t=20时CD最小，最小值为20013313，即两船行驶2013小时相距最近。 例四、某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚得利润最大，并求出最大利润。 解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则 y=(x-8)[60-(x-10)10]=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160 (x>10) 当且仅当x=12时，y有最大值160元，即售价定为12元时可获最大利润160元。 第二十八课时 函数的应用举例（2） 目的： 要求熟悉属于“增长率”、“利息”一类应用问题，并能掌握其解法。 过程： 一、新授： 例一、某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数或y?a?b 解：设二次函数为： y?px2?qx?r ?p?q?r?1?p??0.05?? 由已知得：?4p?2q?r?1.2??q?0.35 ?9p?3q?r?1.3?r?0.7??x?c(a,b,c为常数)，已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。 第3页

∴y??0.05x2?0.35x?0.7 当 x = 4时，y1??0.05?42?0.35?4?0.7?1.3 又对于函数 y?a?b?cx 1 ?ab?c?1?a??0.8??由已知得：?ab2?c?1.2??b?0.5 ?ab3?c?1.3?c?1.4??12 ∴y??0.8?()x?1.4 2 当 x = 4时，y2??0.8?()4?1.4?1.35 由四月份的实际产量为1.37万件, |y2?1.37|?0.02?0.07?|y1?1.37| ∴选用函数y??0.8?()x?1.4 作模拟函数较好。 21 例二、 已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为 正常数。 1．当m?12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？ 2．如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求m的取值范围。 解：1．设商品现在定价a元，卖出的数量为b个。 由题设：当价格上涨x%时，销售总额为y?a(1?x%)?b(1?mx%) 即 y? 取m?12ab10000ab2000098[?mx2?100(1?m)x?10000] 2 得：y?[?(x?50)?22500] ab 当 x = 50时，ymax?ab10000 即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大。 2．∵二次函数y? 在 (?x,m[?mx2?100(1?m)x?10000] 50(1?m)m 50(1?m)]上递增，在[,??)上递减 第4页

∴适当地涨价，即 x > 0 , 即50(1?m)m?0 就是 0 < m <1 , 能使销售总金额增加。 例三、 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和 为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式。如果 存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？ “复利”：即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息。 分析：1期后 y1?a?a?r?a(1?r) 2期后 y2?a(1?r)2 ?? ∴ x 期后，本利和为：y?a(1?r)x 将 a = 1000元，r = 2.25%，x = 5 代入上式： y?1000?(1?2.25%)5?1000?1.02255 由计算器算得：y = 1117.68（元） 第二十九课时 函数的应用举例（3） 目的： 结合物理等学科，利用构建数学模型，解决问题。 过程： 例一、 设海拔 x m处的大气压强是 y Pa，y与 x 之间的函数关系式是 y?cekx，其中 c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为Pa，1000 m高空的大气压为0.90?105Pa，求：600 m高空的大气压强。（结果保留3个有效数字） 解：将 x = 0 , y =1.01?105；x = 1000 , y = 代入 5?1.01?105?cek?0?c?1.01?10???5k?1000510000.90?10?ce??0.90?10?ceky?cekx得： (1)(2) ?k?11000?ln0.901.01 将 (1) 代入 (2) 得：0.90?105?1.01?10e51000k 第5页

由计算器得：k??1.15?10?4 ∴y?1.01?105?e?1.15?10?4?e?1.15?10?4 将 x = 600 代入, 得：y?1.01?105 由计算器得：y?1.01?105?e?1.15?10?4?600 例二、一根均匀的轻质弹簧，已知在 600 N的拉力范围内，其长度与所受拉力 成一次函数关系，现测得当它在 100 N的拉力作用下，长度为 0.55 m , 在 300 N拉力作用下长度为 0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其 自然长度是多少？ 解：设拉力是 x N (0≤x≤600) 时，弹簧的长度为 y m 设：y = k x + b 由题设：??0.55?100k?b?k?0.0005???0.65?300k?b?b?0.50 ∴所求函数关系是：y = 0.0005 x + 0.50 ∴当 x = 0时，y = 0.50 , 即不受拉力作用时，弹簧自然长度为 0.50 m。 例三、一物体加热到 T0?C 时，移入室内，室温保持常温 a?C，这物体逐渐 冷却，经过 t 分后，物体的温度是 T?C，那么 T 与 t 之间的关系有 下列形式T?a?(To?a)?e?kt（这里 e =2.71828，k为常数），现有加热 到 100?C的物体，移入常温为 20?C的室内，经过 20分后，物体的 温度是 80?C，求： 1．经过 20分后，物体的温度是多少度?（精确到 1?C ） 2．经过多少分（精确到 1分），物体的温度是 30?C？ 解：将 T0 = 100 , T = 80 , a = 20 , t = 10代入关系式T 得：80?20?(100?20)?e?10k?a?(To?a)?e?kt 化简得：e?10k?0.75 第6页

两边取自然对数，并计算得：?10 ∴ k = 0.0288 从而可得：T?20?(100?20)?e?k?ln0.75 ?0.0288?t?20?80e?0.0288?t (*) ?0.5761．把 t = 20代入(*) T?20?(100?20)?e?0.0288?20?20?80e 由计算器得：T = 64.97 ?C 即经过 20分后，物体的温度约为65度。 2．把 T = 30代入(*) 30?20?(100?20)?e?0.0288?t 则e?0.0288?t?0.125 两边取自然对数，并计算得：t?72.2 即物体冷却到30?C约经过72分钟。

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