2014年中考数学压轴题复习（含答案，共20期）

2014年中考数学压轴题复习⑾

201．（湖北省随州市）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝x＋c与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A，且△ABC是等腰直角三角形． （1）求c的值；

（2）如图②，将△ABC绕点B逆时针方向旋转90°，得△A′BC′，然后将抛物线L1平移，使它的顶点落在点C′ 处，得抛物线L2，它与y轴相交于点D，连接DC′，试判断四边形BA′DC′ 的形状，并说明理由； （3）将抛物线L2沿直线BC′ 向上或向下平移，记此时抛物线的顶点为C″，它与y轴的交点为D′，过点C″ 作C″A″∥C′A′，交直线A′B于点A″ ．是否存在这样的点C″，使得△A″C″D′ 是一个含有30°内角的三角形？若存在，求出点C″ 的坐标；若不存在，请说明理由．

2

y y y D

C′ C′

A′ A′

B O C x B O C x B O C x

A A A

图① 图② 备用图

2

202．（湖北省恩施自治州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，－3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

y

A x O B

P C

1

203．（湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田）如图，已知直线l：y＝－

3x＋3交x轴于点A，交3ky轴于点B，将△AOB沿直线l翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y＝（k＞0）上．

x（1）求k的值；

k（2）将△ABC绕AC的中点旋转180°得到△PCA，请判断点P是否在双曲线y＝上，并说明理由．

x y

C

B

O A x

204．（湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田）正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F． （1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论； （2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.

A D A D A D

(P) O O O F F P

B C B C B C E E 图① 图② 图③

205．（湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA＝OD＝2，OC＝OE＝4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M.点，P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q． （1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

y N

D

E G M 2 F A B O C x

206．广东省（中山市、汕头市、东莞市等）如图，已知P是线段AB上的任意一点（不含端点A，B），分别以AP、BP为斜边在AB的同侧作等腰直角△APD和△BPE，连接AE交PD于点M，连接BD交PE于点N．

111（1）求证：①MN∥AB；②＋； ＝

MNBPAP（2）若AB＝4，当点P在AB上运动时，求MN的取值范围． D

E

M N

A B P

207．广东省（中山市、汕头市、东莞市等）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4，点F在DC上，DF＝2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位／秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题： （1）说明△FMN∽△QWP；

（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PQW为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？

（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．

F F D D C C P W P W M Q B B A A N N M Q

图（1） 图（2） ⌒208．（广东省广州市）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上的任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．

C （1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；

P D S43（3）记△ABC的面积为S，若＝，求△ABC的周长．

DE2A B E

O

3

209．（广东省广州市）如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－

1x＋b交折线OAB于点E． 2（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

y

D B C

A

x O E

210．（广东省深圳市）如图是一圆形纸片，AB是直径，BC是弦，将纸片沿弦BC折叠后，劣弧BC与AB

︵交于点D，得到BDC． C ︵︵︵（1）若BD＝CD，求证：BDC必经过圆心O；

︵︵（2）若AB＝8，BD＝2CD，求BC的长． O A B D

2

211．（广东省深圳市）如图，抛物线y＝ax＋c（a＞0）经过梯形ABCD的y 四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2，0），B（－1，－3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；

（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点A O D x

P的坐标． B C

212．（广东省深圳市）如图1，以点M（－1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线353x－与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F． 33（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；

（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP :PH＝3 :2，求cos∠QHC的值；

y＝－

（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN2MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．

4

y y y Q B B B T P K E C M O D x E C M O D x E C N M O D x A A A H H H F F F 图1 图2 图3

213．（广东省珠海市）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD．

P （1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；

A 5（2）若cos∠PCB＝，求PA的长．

5D O

B C

214．（广东省珠海市）如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0，6）．将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上．

（1）直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；

2

（2）过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y＝ax＋bx＋c经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；

（3）若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h＝PM－MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PM＜MN、PM＝MN、PM＞MN成立的x的取值范围．

y

N

C B M F P D H

O G E A x

215．（广东省佛山市）一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法．请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题： 如图，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC．

（1）若∠BAC是锐角，请探索在直线AB上有多少个点D，能保证△ACD∽△ABC（不包括全等）？

5

（2）请对∠BAC进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD∽△ABC（不包括全等）的

点D的个数．

A B C

216．（广东省茂名市）如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点

2

B坐标为(6，6)，抛物线y＝ax＋bx＋c经过A、B两点，且3a－b＝－1． （1）求a，b，c的值；

（2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，

当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动．设运动时间为t秒，△EBF的面积为S． ①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以点E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．

y y A B A B E E

F F

x x O C O C

备用图

217．（广东省茂名市）已知⊙O1的半径为R，周长为C．

（1）在⊙O1内任意作三条弦，其长分别是l1、l2、l3．求证：l1＋l2＋l3＜C； （2）如图，在直角坐标系xOy中，设⊙O1的圆心O1（R，R）． ①当直线l：y＝x＋b（b＞0）与⊙O1相切时，求b的值；

②当反比例函数y＝

k（k＞0）的图象与⊙O1有两个交点时，求k的取值范围． x y y

O1 R O1 O1

x x O O

（备用图） （备用图）

218．（广东省湛江市）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D，且PD与

⊙O相切．

C （1）求证：AB＝AC；

P （2）若BC＝6，AB＝4，求CD的值．

D

6 B A O

219．（广东省湛江市）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（－3，－4），线段OB绕原点逆时针旋

转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．

（1）直接写出点A的坐标，并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点C，使BC＋OC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，

请说明理由；

（3）如果点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最

大？求出此时点P的坐标和△PAB的最大面积．

y

A O

x

B

2

220．（广东省肇庆市）已知二次函数y＝x＋bx＋c＋1的图象过点P（2，1）． （1）求证：c＝－2b－4；

（2）求bc的最大值；

（3）若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），△ABP的面积是

7

3，求b的值． 4

答案

201．解：（1）在y＝x＋c中，令y＝0，得x＋c＝0，∴x＝±?c；令x＝0，得y＝c

22

∴A（0，c），B（－?c，0），C（?c，0） ∵△ABC是等腰直角三角形，∴OA＝OB 即－c＝?c，∴c＝0（舍去）或c＝－1

即c的值为－1 ······························································································ 3分 （2）四边形BA′DC′ 为平行四边形 ······································································· 4分

由（1）知：A（0，－1），B（－1，0），C（1，0）

△ABC绕点B逆时针方向旋转90°后，点C′ 的坐标为（－1，2） ············· 5分 ∵抛物线L2的顶点为C′（－1，2）

∴抛物线L2的解析式为y＝(x＋1)＋2 ······················································ 6分 ∵A（0，－1），∴A′（0，1）

在y＝(x＋1)＋2中，令x＝0，得y＝3 ∴点D 的坐标为（0，3），∴DA′＝3－1＝2＝BC′ 又∠C′BC＝90°，∴BC′∥DA′

∴四边形BA′DC′ 为平行四边形 ··································································· 8分 （3）假设存在这样的点C″，过D′ 作D′E⊥BC′ 于E

设顶点为C″ 的抛物线的解析式为y＝(x＋1)＋k 令x＝－1，得y＝k；令x＝0，得y＝1＋k

∴C″E＝1＋k－k＝1＝D′E，∴△C″D′E是等腰直角三角形，∴∠D′C″E＝45° ∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BCA＝45°，∴∠BC′A′＝45° ∵C″A″∥C′A′，∴∠BC″A″＝45°

∴∠A″C″D′＝90° ·························································································· 9分

∴若△A″C″D′ 是一个含有30°内角的三角形，则只能是∠C″A″D′＝30°或∠C″D′A″＝30° ········································································································ 10分

C″D′

当∠C″A″D′＝30°时，则A″C″＝＝3C″D′＝3×2＝6

tan30°

2

2

2

∴BC″＝2A″C″＝2×6＝23

∴C″1（－1，23），C″2（－1，－23） ···················································· 12分

36

当∠C″D′A″＝30°时，则A″C″＝C″D′2tan30°＝2×＝ 33

623

∴BC″＝2A″C″＝2×＝

33

2323∴C″3（－1，），C″4（－1，－）

33

综上所述，存在这样的点C″，使得△A″C″D′ 是一个含有30°内角的三角形，

2323

点C″ 的坐标为：（－1，23）或（－1，－23）或（－1，）或（－1，－）

33

········································································································ 14分

8

y E C″ C′ D′ B O A y y y C′ A′ C D′ C″ 2

C′ C″ x A″ B O D′ A′ C A x C′ B O D′ C A″ C″ A A′ ″ AA′ B O C A x x A″ 202．解：（1）∵二次函数y＝x＋bx＋c的图象经过B（3，0）、C（0，－3）两点

??9＋3b＋c＝0

∴? ···························································································· 2分 ?c＝－3??b＝－2?解得：?

?c＝－3?

∴二次函数的表达式为：y＝x－2x－3 ························································ 3分

2

（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形．设P点坐标为（x，x－2x－3），PP′ 交CO于E

2

若四边形POP′C为菱形，则有PC＝PO 连结PP′，则PE⊥CO于E，∴OE＝EC＝∴y＝－

3 23 ······································································································ 6分 223令x－2x－3＝－

22?102?10解得x1＝，x2＝（不合题意，舍去）

22∴P点的坐标为（

32?10，－） ····························································· 8分 222

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x－2x－3）

易得直线BC的解析式为y＝x－3，则Q点的坐标为（x，x－3） ∴QP＝x－3－(x－2x－3)＝－x＋3x

22

S四边形ABPC＝S△ABC＋S△BPQ＋S△CPQ＝

111AB2OC＋QP2FB＋QP2OF 222112

×4×3＋(－x＋3x)×3 2233275 ································································· 10分 ＝－(x－)＋

228＝

3时，四边形ABPC的面积最大 232315此时y＝()－2×－3＝－

224当x＝

9

∴P点的坐标为（

P′ C A O E 31575，－），四边形ABPC的最大面积为 ············· 12分 248y y F B P C P x A O Q B x 203．解：（1）在y＝－

33x＋3中，令y＝0，得－x＋3＝0，∴x＝3；令x＝0，得y＝3 333OB＝，∴∠BAO＝30°

3OA∴A（3，0），B（0，3） ∴tan∠BAO＝

∴∠BAC＝30°，∴∠CAO＝60°

过C作CD⊥OA于D，则OD＝OA－DA＝OA－CA2cos60°＝3－3×CD＝CA2sin60°＝3×∴C（

333，）

22333＝ 2212＝3 2y k33k（k＞0）上，∴＝

32x2C B O A P x ∵点C在双曲线y＝

∴k＝

93 ·························································· 4分 493 4x（2）由（1）知双曲线的解析式为y＝

将△ABC绕AC的中点旋转180°得到△PCA，则AP＝BC＝OB＝3 ∠CAP＝∠ACB＝90°，∴∠OAP＝150° 过P作PE⊥x轴于E，则∠PAE＝30° ∴OE＝OA＋AE＝OA＋AP2cos30°＝3＋3×PE＝AP2sin30°＝3×∵

1239＝ 22＝

3 293393＝，∴点P在双曲线y＝上 ············································ 8分 924x4?2

10

204．解：（1）AP＝EF，AP⊥EF ························································································ 1分

如图①，∵PE⊥BC，PF⊥DC，∴PE∥DC，PF∥BC

又∵O是对角线DB的中点，点P与点O重合，∴E是BC的中点，F是DC的中点 ∴EF∥DB，EF＝又∵AP＝

1DB 2A (P) O D 1DB，AP⊥DB 2∴AP＝EF，AP⊥EF ··········································· 3分 （2）（1）中的结论仍然成立 ······································ 4分

如图②，延长AP交EF于G，延长EP交AD于H ∵PE⊥BC，PF⊥DC，∠C＝90°，∴四边形PECF为矩形 ∵DB为对角线，∠PFD＝90°，∴DF＝PF ∴四边形PFDH为正方形

∴PF＝DF＝PH＝DH，∴AH＝FC＝PE ∴△APH≌△PEF

∴AP＝EF ··························································· 5分 ∠PAH＝∠PEF

∵∠PAH＋∠APH＝90°，∠APH＝∠EPG ∴∠PEF＋∠EPG＝90°，∴∠PGE＝90°

B P A B F E 图①

C H D O F G E 图②

C ∴AP⊥EF ····································································································· 6分 （3）如图③ ··········································································································· 8分

（1）中的结论仍然成立，即AP＝EF，AP⊥EF ······································ 10分 提示：延长AB交PF于G，证明△APG≌△FEP

205．解：（1）∵DB⊥DC，∴∠BDC＝90°，∴∠BDO＋∠ODC＝90°

∵∠BDO＋∠OBD＝90°，∴∠OBD＝ODC 又∵∠BOD＝∠DOC＝90°，∴△BOD∽△DOC OBODOB2∴，即＝＝，∴OB＝1

4ODOC2∴B（－1，0） ································································································ 1分

11

A H D O E B P G 图③

C F

设经过B、E、C三点的抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－4) 将E（0，4）代入，得4＝a(0＋1)(0－4)，∴a＝－1 ∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－4)

即y＝－x＋3x＋4 ·············································· 3分

23225（2）∵y＝－x＋3x＋4＝－(x－)＋

243∴抛物线的对称轴为直线x＝

2

y Q E H D P F A B O N G M 2

设直线AD的解析式为y＝kx＋b

???－2k＋b＝0?k＝1则? ∴? ?b＝2?b＝2??

C 图① x ∴线AD的解析式为y＝x＋2，将x＝∴M（

337代入，得y＝＋2＝ 22237，） ······························································································ 4分 222

若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△PQM为等腰直角三角形 设P（x，x＋2），则Q（x，－x＋3x＋4）

∴PQ＝－x＋3x＋4－(x＋2)＝－x＋2x＋2

22

∵PQ∥y轴，∴当点P在对称轴的左侧时，∠MPQ＝∠MDE＝∠ADO＝45° ∴∠PMQ＝90°或45°

当点P在对称轴的右侧时，∠MPQ＝135°，△PQM与△AOD不相似 ①若以M为直角顶点，PQ为斜边，如图①，过点M作MH⊥PQ于H

23则PQ＝2HM，即－x＋2x＋2＝2(－x)

2∴解得x1＝2＋3（不合题意，舍去），x2＝2－3

y N G ∴x＋2＝2－3＋2＝4－3

∴P1（2－3，4－3） ·················································· 6分 ②若以Q为直角顶点，PM为斜边，如图②，则PQ＝MQ 即－x＋2x＋2＝

E Q M 3?113?113P D －x，解得x1＝（舍去），x2＝ F 222A 3?117?11∴x＋2＝＋2＝

B O 222

C 图② x ∴P2（

3?117?11，） 22故存在符合条件的P点，且P点坐标为：

3?117?11（2－3，4－3）或（，） ··························· 8分 22y Q N G M （3）①四边形PMNQ不能成为菱形 ·················································· 10分 E 59②四边形PMNQ能成为等腰梯形，点P的坐标为（，） · 12分 22D P 提示（原题不作要求，本人添加，仅供参考）：

F 12

A B O 图③ C x

①若四边形PMNQ为菱形，如图③，则PQ＝MN

2225711∴－x＋2x＋2＝－＝，即4x－8x＋3＝0

2441331解得x1＝，x2＝（舍去），此时PM＝2(－)＝2≠MN

2222

∴四边形PMNQ不能成为菱形

②显然，当NQ∥PM时，四边形PMNQ是平行四边形，所以若四边形PMNQ是梯形，只有一种情况：PQ∥MN

y R E N Q S G P M 若四边形PMNQ为等腰梯形，如图④

11则有：(yM＋yN )＝(yP＋yQ ) D 22F 22725即＋＝x＋2－x＋3x＋4，整理得：4x－16x＋15＝0

A 24B O 35解得x1＝（舍去），x2＝

2259∴x＋2＝＋2＝

2259∴四边形PMNQ能成为等腰梯形，点P的坐标为（，）

22

C 图④ x

206．解：（1）①证明：∵△APD和△BPE都是等腰直角三角形，∴∠DAP＝∠EPB＝45°

∴AD∥PE，∴∠DAM＝∠PEM，∠ADM＝∠EPM ∴△DAM∽△PEM，∴AD :PE＝AM :ME

D E M A

N P

B

同理可得PD :BE＝PN :NE，

∵AD＝PD，BE＝PE，∴AM :ME＝PN :NE

∴MN∥AP，即MN∥AB ·············································································· 3分 ②证明：∵MN∥AB，∴∠PMN＝∠ACP＝45°，∠PNM＝∠BPE＝45° ∴∠PMN＝∠PNM＝45°，∴△PMN是等腰直角三角形 ∴PM＝

2MN 2∵∠APM＝∠ABE＝45°，∠PAM＝∠BAE（公共角） ∴△APM∽△ABE，∴PM :BE＝AP :AB＝AP :(AP＋BP)

22MN :BP＝AP :(AP＋BP)[来源:Z_xx_k.Com] 22111整理得：＋ ·········································································· 6分 ＝

MNAPBP111（2）解：∵＋ ＝

MNAPBPAP · BPAP · BPAP (AB?AP)1 1122

∴MN＝＝＝＝[－(AP－AB)＋AB ]

AP?BPAB24ABAB∴

∴MN≤

111AB（当AP＝AB时，MN取得最大值为AB） 424

∵AB＝4，∴MN≤1，又∵P不与A，B重合，∴AP＜AB，∴MN＞0

13

∴0＜MN≤1 ································································································· 9分

207．解：（1）由题意知：PW∥MN，PQ∥FN，∴∠MNF＝∠PWF，∠PWF＝∠WPQ

∴MNF＝∠WPQ

同理可得：∠NFM＝∠PQW或∠NMF＝∠PWQ

∴△FMN∽△QWP ······················································································· 2分 （2）∵△FMN∽△QWP，∴当△FMN为直角三角形时，△PQW也为直角三角形

当0≤x≤4时，若∠NMF＝90°，则有MF ＋MN ＝FN 即(x＋2)＋(4－x)＋(6－x)＝(4－x)＋4，此方程无实数解

222

222222

D P F C W 若∠MNF＝90°，则有MN ＋FN ＝MF 即(4－x)＋(6－x)＋(4－x)＋4＝x＋2

222

222222

M A Q N 图（1）

F B 解得x＝4或x＝10（舍去） ···················································· 3分 若∠NFM＝90°，则有MF ＋FN ＝MN

即(x＋2)＋(4－x)＋4＝(4－x)＋(6－x)

4解得x＝ ·············································································· 4分

34所以，当x＝或x＝4时，△PQW为直角三角形 ·············· 5分

344当0≤x＜，＜x＜4时，△PQW不为直角三角形 ······· 6分

33

222

222222

D C P W A N M Q B 图（2） （3）在0≤x≤4时间段，当x＝4时，点M与点A重合，线段MN最短，此时MN＝2

·········································································································· 7分

当4＜x≤6时，如图（2）

∵MN ＝AM ＋AN ＝(x－4)＋(6－x)

22222

＝2x－20x＋52

2

＝2(x－5)＋2 ··················································································· 8分

2

∴当x＝5时，MN 有最小值2，即线段MN最短，此时MN＝2

综上所述，当x＝5时，线段MN最短，此时MN＝2 ···························· 9分

208．解：（1）如图，连结OA、OB，设OP与AB的交点为F，则有OA＝1

∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝

11OP＝，AF＝BF 22 2

13在Rt△AOF中，∵AF＝OA2－OF2＝12－ ()2＝

22 ∴AB＝2AF＝3 ·························································································· 4分 （2）∠ACB是定值 ······························································································· 5分

理由：由（1）易知∠AOB＝120°

连结AD、BD，∵点D为△ABC的内心，∴∠CAB＝2∠DAB，∠CBA＝2∠DBA

14

∵∠DAB＋∠DBA＝

1∠AOB＝60°，∴∠CAB＋∠CBA＝120° 2∴∠ACB＝60°（定值） ················································································· 8分 （3）记△ABC的周长为l，设AC、BC与⊙D的切点分别为G，H，连结DG，DC，DH

则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC ∴S＝S△ABD＋S△ACD＋S△BCD

C G P A F O

111＝AB2DE＋AC2DG＋BC2DH 222D H E B

＝

11(AB＋BC＋AC)2DE＝l2DE 221l·DES2∵＝43，∴＝43，∴l＝83DE 22DEDE∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∴在Rt△CGD中，CG＝

1∠ACB＝30° 2DEDG＝＝3DE，∴CH＝CG＝3DE ?tan3033又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE

1∴l＝AB＋BC＋AC＝23＋23DE＝83DE，解得DE＝ ················ 13分

3∴△ABC的周长为

83 ············································································· 14分 3209．解：（1）由题意得点B的坐标为（3，1）

若直线经过点A（3，0）时，则b＝若直线经过点B（3，1）时，则b＝

3 25 2y D C O B A E 图1 x 若直线经过点C（0，1）时，则b＝1

①若直线与折线OAB的交点在OA上，即1＜b≤此时E（2b，0） ∴S＝

3时，如图1 211OE2CO＝×2b×1＝b ································································· 4分 2235＜b＜时，如图2 22②若直线与折线OAB的交点在BA上，即此时E（3，b－

3），D（2b－2，1） 2y D ∴S＝S矩形OABC－(S△COD＋S△AOE＋S△BDE )

35111＝3－[(2b－2)×1＋×3(b－)＋(5－2b)(－b)]

2222215

C O B E A x 图2

＝

25b－b 2

3b （1＜b≤）??2∴S＝? ····································································· 8分

53??2b－b（1＜b≤2）

2

（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC

的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积

由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE

∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形 ······················ 10分 过点D作DH⊥OA，垂足为H 由题易知，tan∠DEN＝

1，DH＝1，∴HE＝2 25 ········································································ 12分 455×1＝ ·························································· 13分 445 4y C1 C O O1 D M B A H N B1 图3

E A1 x 设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHN中，由勾股定理得： a＝(2－a)＋1，∴a＝

222

∴S四边形DNEM＝NE2DH＝

故矩形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积不发生变化，面积始终为

····································································································· 14分

210．解：（1）过C作CE⊥AB于E，连接CA、CD

1︵1︵∵∠CDA＝∠BCD＋∠CBD＝BDC＝BmC＝∠CAD

22∴AC＝CD ︵︵∵BD＝CD，∴BD＝CD，∴BCD＝∠CBD

∴∠CDA＝2∠CBD，∴∠CAD＝2∠CBD ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°

∴∠CAD＋∠CBD＝90°，∴2∠CBD＋∠CBD＝90° ∴∠CBD＝30°，∴∠CDA＝60°

∴△CAD是等边三角形，∴AD＝CD

︵∴AD＝BD，∴BDC必经过圆心O ····························································· 4分

︵︵（2）∵AC＝CD，∴AC＝CD

︵︵︵1︵1︵1︵1∵BD＝2CD，∴AC＝BD＝BDC＝BmC＝半圆

24331连接CO，则∠OPC＝×180°＝45°

4

C O E D m A B 16

∴CE＝OE＝

22OC＝×4＝22 22∴BE＝OE＋OB＝22＋4

(22?4)2＋(22)2＝42?2 ·∴BC＝ ··············································· 7分

211．解：（1）∵抛物线y＝ax＋c经过A（－2，0），B（－1，－3）

2

y ???4a＋c＝0?a＝1

∴? 解之得：? ??a＋c＝－3c＝－4??

∴抛物线的解析式为y＝x－4 ····································· 3分

2

（2）如图1，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点

设BD的解析式为y＝kx＋b

???2k＋b＝0?k＝1则? ∴? ??－k＋b＝－3b＝－2??

A O M B 图1

C D x ∴BD的解析式为y＝x－2，令x＝0，则y＝－2

∴M（0，－2） ······························································································· 5分 （3）如图2，连接AM，设BC与y轴的交点为N，则N（0，－3）

由（2）知，OM＝OA＝OD＝2，∠AMB＝90° ∴BN＝MN＝1，AM＝22，BM＝2 ∴S△ABM＝

y P2 P1

1AM2BM＝22×2＝2 22

A

O M N P3 图2

D x 设P（x，x－4），依题意有：即

12

AD2|x－4|＝4×2 2

122

×42|x－4|＝4×2，整理得：|x－4|＝4 2

B C 解之得：x1＝22，x2＝－22，x3＝0

故符合条件的P点有三个：P1（22，4），P2（－22，4），P3（0，－4）

······································································································· 9分

212．解：（1）OE＝5，r＝2，CH＝2 ····················································· 3分 （2）如图2，连接QC、QD，则∠CQD＝90°

∠PHC＝∠PDQ，∠CPH＝∠QPD ∴△CPH∽△QPD，∴

QDDP ＝

CHPHy Q P E C H F M O D A x B QD3即＝，∴QD＝3

22∵CD＝4，∴cos∠QHC＝cos∠QDC＝

3 ······················· 6分 4图2 （3）如图3，连接AK、AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则∠GTA＝90°

17

∴∠1＋∠2＝90°

∵∠3＝∠2，∴∠1＋∠3＝90°

∵∠4＋∠3＝90°，∠5＝∠4，∴∠1＝∠5 又∠NMA＝∠AMK，∴△NMA∽△AMK ∴

2MNAM2，即MNMK＝AM＝4 ＝

AMMKy G K E T 4 5 2 3 B N M 1 C H O D A F x 故存在常数a，始终满足MN2MK＝a，常数a＝4

············································································· 9分

213．解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形

︵︵∵P是优弧BAC的中点，∴PB＝PC

∴PB＝PC

∵BD＝AC＝4，∠PBD＝∠PCA ∴△PBD≌△PCA

∴PA＝PD，即△PAD是以AD为底边的等腰三角形

·········································································································· 4分

（2）由（1）可知，当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB－BD＝6－4＝2

过点P作PE⊥AD于E，则AE＝∵∠PCB＝∠PAD ∴cos∠PAD＝cos∠PCB＝

5AE＝

5PA图3 P A E D O B C 1AD＝1 2∴PA＝5 ······································································································ 9分

214．解：（1）∠ABE＝∠CBD＝30° ··················································································· 1分

在△ABE中，AB＝6

ABBC＝BE＝＝43

cos30?CD＝BC2tan30°＝43×

3＝4 3y C F D O H G E A x N M P B ∴OD＝OC－CD＝6－4＝2 ∴B（43，6），D（0，2）

设BD所在直线的函数解析式为y＝kx＋b

??k＝3?43k＋b＝6

3 则? ∴?

?b＝2??b＝2

∴BD所在直线的函数解析式为y＝

3x＋2 ·············································· 3分 318

（2）∵EF＝EA＝AB2tan30°＝23，∠FEG＝180°－∠FEB－∠AEB＝60°

又∵FG⊥OA

∴FG＝EF2sin60°＝3，GE＝EF2cos60°＝3，OG＝OA－AE－GE＝3 又H为FG中点 ∴H（3，

3） ···························································································· 4分 22

∵抛物线y＝ax＋bx＋c经过B（43，6）、H（3，

3）、D（0，2）三点 2??∴?3a＋??c＝2

48a＋43＋c＝6

??33b＋c＝ ∴?b＝2??c＝2

a＝

163 3－

∴抛物线的解析式为y＝（3）∵PM＝(

MN＝6－(

312

x－x＋2 ····················································· 5分

36

33121223x＋2)－(x－x＋2)＝－x＋x 3336633x＋2)＝4－x 33

3122312

x＋)－(4－x)＝－x＋3x－4 ················ 6分

3366h 12

由－x＋3x－4得x1＝23，x2＝43

6h＝PM－MN＝(－

该函数的简图如图所示： ········································7分 当0＜x＜23时，h＜0，即PM＜MN 当x＝23时，h＝0，即PM＝MN

当23＜x＜43时，h＞0，即PM＞MN ·············9分

215．解：（1）（ⅰ）如图①，若点D在线段AB上

由于∠ACB＞∠ABC，可以作一个点D满足∠ACD＝∠ABC

使得△ACD∽△ABC ····················································································· 2分 （ⅱ）如图②，若点D在线段AB的延长线上 则∠ACD＞∠ACB＞∠ABC，与条件矛盾

因此，这样的点D不存在 ············································································ 4分 （ⅲ）如图③，若点D在线段AB的反向延长线上 由于∠BAC是锐角，则∠BAC＜90°＜∠CAD 不可能有△ACD∽△ABC

因此，这样的点D不存在 ············································································ 6分 综上所述，这样的点D有一个 ···································································· 8分

19

? 4 O 23 43 x

注：（ⅲ）中用“∠CAD是钝角，△ABC中只可能∠ACB是钝角，而∠CAD＞∠ACB”说明不存在点D亦可

（2）若∠BAC为锐角，由（1）知，这样的点D有一个 ····································· 9分

若∠BAC为直角，这样的点D有两个 ······················································ 10分 若∠BAC为钝角，这样的点D有一个 ······················································ 11分 注：（2）的第一个解答不写不扣分，第二个解答回答“这样的点D有一个”给1分

216．解：（1）由已知A（0，6）、B（6，6）在抛物线上

?c＝6

B 图①

D A D C B D C

图②

A A B 图②

C ?

得方程组：?36a＋6b＋c＝6 ········································································· 1分

??3a－b＝－1

?2解得：?b＝3?c＝6

a＝－

19 ·························································································· 3分

y A R2(3，9) E B R1(9，3) x （2）①运动开始t秒时，EB＝6－t，BF＝t

1112

S＝EB2BF＝(6－t)t＝－t＋3t ··············· 4分

22221219∵S＝－t＋3t＝－(t－3)＋

2229∴当t＝3时，S有最大值 ······························ 5分

2

R1(3，3) F O C ②当S取得最大值时，由①知t＝3，所以BF＝3，CF＝3，EB＝6－3＝3 若存在某点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形， 则FR1＝EB且FR1∥EB，即可得R1为（9，3）、（3，3） ·························· 6分

或者ER2＝BF且ER2∥BF，可得R2为（3，9） ·········································· 7分

122再将所求得的三个点代入y＝－x＋x＋6，可知只有点（9，3）在抛物线上，因此抛物

93线上存在点R1（9，3），使得四边形EBRF为平行四边形 ························· 8分

217．（1）证明：∵l1≤2R，l1≤2R，l1≤2R

∴l1＋l2＋l3≤3×2R＜π×2R＝C ······························································· 2分 ∴l1＋l2＋l3＜C ·························································································· 3分

20

（2）解：①如图，根据题意可知⊙O1与与x轴、y轴分别相切

设直线l与⊙O1相切于点M，则O1M⊥l，过点O1作直线NH⊥x轴，与l交于点N，与x轴交于点H

∵直线l与x轴、y轴分别交于点E（－b，0）、F（0，b） ∴OE＝OF＝b，∴∠NEO＝45°，∴∠ENO1＝45° 在Rt△O1MN中，O1N＝O1M÷sin45°＝2R

∴点N的坐标为N（R，2R＋R） ···························· 4分 把点N坐标代入y＝kx＋b得：2R＋R＝R＋b，解得：b＝2R ··································································································· 5分 ②如图，设经过点O、O1的直线交⊙O1于点A、D

则由已知，直线OO1：y＝x圆与反比例函数图象的对称轴

k当反比例函数y＝的图象与⊙O1直径AD相交时（点A、D除外） xk则反比例函数y＝的图象与⊙O1有两个交点

x过点A作AB⊥x轴交x轴于点B，过O1作O1C⊥x轴于点C 则OO1＝O1C÷sin45＝2R，OA＝2R＋R ∴OB＝AB＝OA2sin45o＝(2R＋R)2∴A（R＋

22＝R＋R 22o

y N M F O1 E O H l x y A O1 O D E C B x 22kR，R＋R），将点A的坐标代入y＝ 22x23解得：k＝(＋2)R ············································································ 6分

222R，R－R） 22k32

将点D的坐标代入y＝，解得：k＝(－2)R ······························· 7分

x2k∴当反比例函数y＝（k＞0）的图象与⊙O1有两个交点时，k的取值范围是：

x2233(－2)R ＜k＜(＋2)R ····························································· 8分 22同理可求得点D的坐标为D（R－

218．（1）证明：连接OP

∵PD与⊙O相切，∴OP⊥PD ∵AC⊥PD，∴OP∥AC

11∵OP＝OA＝OB＝AB，∴OP＝AC

22∴AB＝AC ···························································6分

（2）解：连接AP

∵AB＝AC，P为BC的中点，∴AP⊥BC 在Rt△CDP与Rt△CPA中，∠C＝∠C

21

C P D A O B

∴Rt△CDP∽Rt△CPA，∴

CDPC ＝

PCACCD3∵BC＝6，AB＝4，∴PC＝3，AC＝4，∴＝

439∴CD＝ ································································································ 12分

4

219．解：（1）A（5，0） ····································································································· 1分

由抛物线经过点O，可设抛物线的解析式为y＝ax＋bx ··························· 2分

2

把A（5，0）、B（－3，－4）代入y＝ax＋bx，得：

1a＝－

?25a＋5b＝06?? 解得 ·································································· 4分 ?59a－3b＝－4?

b＝

6125∴抛物线的解析式为y＝－x＋x ·························································· 5分

6612515225（2）如图①，∵y＝－x＋x＝－( x－)＋

66622455∴抛物线的对称轴是直线x＝，点O、A关于直线x＝对称

225连接AB交直线x＝于点C，则点C使BC＋OC的值最小 ···················· 6分

2

2

?????

设直线AB的解析式为y＝kx＋b

1k＝

?5k＋b＝02?则? 解得 ?5－3k＋b＝－4?

b＝－

215∴直线AB的解析式为y＝x－ ························8分

225155把x＝代入y＝x－，得y＝－

222455∴点C的坐标为（，－） ································9分

24y O C B 图① ??

???

A x （3）如图②，过点P作y轴的平行线交AB于点D，设点P的横坐标为x，

12515则P（x，－x＋x），D（x，x－） ··············································· 10分

66221∴S△PAB＝S△PAD＋S△PBD＝PD2(xA－xB) y 21＝(yP－yD)(xA－xB)

O P 2112515＝[(－x＋x)－(x－)]×[5－(－3)] 26622D 2242322

＝－x＋x＋10＝－(x－1)＋

3333B 32∴当x＝1时，S△PAB的最大值为 ···················· 12分

3图② 1252把x＝1代入y＝－x＋x，得y＝

663

A x 22

∴此时点P的坐标为（1，

2） ·································································· 13分 32

2

220．（1）证明：将点P（2，1）代入y＝x＋bx＋c＋1得：1＝2＋2b＋c＋1 ················ 1分

整理得：c＝－2b－4 ·················································································· 2分

（2）解：∵c＝－2b－4，∴bc＝b(－2b－4)＝－2(b＋1)＋2 ································· 4分 ∵－2＜0，∴当b＝－1时，bc有最大值2 ·············································· 5分

13（3）解：由题意得：AB×1＝

24239∴AB＝|x2－x1|＝，即|x2－x1|＝ ··················································· 6分

249亦即(x1＋x2)－4x1x2＝ ·········································································· 7分

4

2

由根与系数的关系得：x1＋x2＝－b，x1x2＝c＋1＝－2b－4＋1＝－2b－3

··································································································· 8分

299代入(x1＋x2)－4x1x2＝得：(－b)－4(－2b－3)＝

44239整理得：b＋8b＋＝0 ········································································· 9分

4313解得：b1＝－，b2＝－，经检验均合题意 ···································· 10分

22

23

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