概率笔记

概率笔记

1. 随机试验的特点

? 可以在相同的条件下重复进行。 ? 每次试验的可能结果不止一个，但是事先能知道试验的所有可能结果。

? 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 具有上述特点的试验称为随机试验。

2. 随机变量的分布函数

分布函数的定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数

F(x)?P{X?x}

称为随机变量X的分布函数。

分布函数F(x)在数轴上某点x处的函数值表示X落在区间（－?，x]上的概率。P{x1?X?x2}?P{X?x2}?P{X?x1}＝F(x2)?F(x1)

分布函数的性质：

? F(x)是一个单调不减函数。

F(x)?0 F（?）＝limF(x)?1 ? F（－?）＝xlimx??????? F（x+0）=F(x)，即F(x)是右连续的。

例1：一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶子上任一同心圆盘上

的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。

0,x?0??2F(x)??x/4,0?x?2

?1,x?2?

3. 连续型随机变量的概率密度

如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使对于任意函数x有

F(x)?P{X?x}＝?x??f(t)dt 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。

概率密度f(x)的性质： ? f(x)?0

? ???? ?

??f(x)dx?1

x2x1P{x1?X?x2}?F(x2)?F(x1)=?f(t)dt(x1?x2)

若f(x)在点x处连续，则有F?(x)?xf(x) 证明：设G(x)?C??f(x)dx，F(x)????f(t)dt

x显然此时有G?(x)?f(x)，及F(x)????f(t)dtG?x()G边求导，可得：F?(x)?G?(x)?G?(??)?也就是说???即可。

另外，若F(x)????证明：设???由???xxx(?)??,对等式两

f(x)?0?f(x)

f(t)dt对x求导，只要把“被积函数”中的t换成x

，则F?x?f?x??x?(x)f(t)dt f(t)dt?G(x)?G(??)，显然G?(x)?f(x)

f(t)dt?G(x)?G(??)，可知F(x)???(x)??f(t)dt?G[?(x)]?G(??)

等式两边对x求导可得。F?(x)?G?[?(x)]???(x)?0?f[?(x)]???(x) 注意：对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数a的概率均

为0。因此在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分是开区间还是闭区间。 例2：设随机变量X具有概率密度

?Ke?3x,x?0f(x)??

0,x?0?试确定常数K，并求P{X>0.1}。 解：由?x为

?3e?3x,x?0f(x)??

?0,x?0x21f(t)dt?1，即有???0Ke?3tdt?1，解得K=3。于是K的概率密度

而P{X>0.1}=?0.13e?3xdx

4.1 正态分布

设连续型随机变量X的概率密度为

f(x)?12???(x??)2?22??e,???x???

则称X服从参数为?,?的正态分布，记为X~N(?,?2)

4.2 标准正态分布

?(x)?12?e?x22，?(x)?1定理：若X~N(?,?2)，则Z=2?X?????xe?t22dt，?(?x)?1??(x) 12???(t??)2?22?~N(0,1)x??证明：若X~N(?,?2)，则显然有FX(x)??令

t??edt

??y，则t??y??,dt??dy，

x??而FX(x)?????12??e?y22?dy＝12?x??????e?y22dy＝?(x???)

所以，若X~N(?,?2)，则有

F(x)?P{X?x}=P{P{x1?X?x2}?P{X???x1????x????X???}??(x???) x2??)??(x1??)?x2???}＝?(??

4.3 上?分位点

设X~N(0，1)，若z?满足条件P{X>z?}=?，0

5. 随机变量的函数的分布

假设随机变量X是连续型的，取值于（a，b），其概率密度为fX(x)；而Y=g(X)，a

?fX[h(y)]h?(y),??y??;fY(y)??

0,其他?证明：设Y=g(X)，其反函数x=h(y)可导且单调递增。

那么FY(y)?P{Y?y}?P{g(X)?y}?P{X?h(y)} 既FY(y)?P{X?h(y)}??h(y)??fX(t)dt，等式两边对

y求导数得。

FY?y?fYy?fXhy?h?y

反函数单调递减的情况证明类似，最后有结论如上所述。 解题步骤：

? 由Y=g(X)，定Y的取值范围。 ? 求x=h(y)，及h’(y) ? fY(y)?fX[h(y)]?h?(y)

例3：设电压V=Asin?，其中A是一个已知的正常数，项角?是一个

随机变量，在区间（?率密度。 解：?在区间（??2,??2,??2）服从均匀分布，试求电压V的概

?2）服从均匀分布，因此有概率密度

???1?,??(?,?)f(?)???22?0,??else?

VA而V=Asin?在（?h?(v)?1A?V22?2,??2）上有唯一反函数，?＝h(v)=arcsin

，于是有

1A?v22?1?f[??h(v)]?h?(v)??fV(v)?????0,else???,v?(?A,?A)

0,else

上面定理中，若Y=g(X)是连续函数，但不是单调函数。这时，可以把g(X)分为两两不相交的区间，使g(X)在每个小区间上都满足定理条件。则fY(y)??fk(y)，对于定义域相同的部分相加即可。

k

例4：设X服从标准正态分布，求Y=X2的密度。

??x?h1(y)?y,x?(0,??)解：Y=X的反函数有两个分别为?

??x?h2(y)??y,x?(??,0]1且有h1?(y)＝h2?(y)＝

2y2而标准正态分布的概率密度为?(x)?因此有，

12?e?x22,x?(??,??)

y2??f[x?y]?h?(y),y?(0,??)?f1(y)?f2(y)????0,else???212?e??21y,y?(0,??)

0,y?(??,0]于是有

??fY(y)?f1(y)?f2(y)????12?e?y2?1y,y?(0,??)

0,y?(??,0]此时称随机变量Y服从自由度为1的卡方分布，记为Y～?2(1)

6.1 二维随机变量的分布函数

设（X,Y）是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数

F(x,y)=P(X?x，Y?y) 称为二维随机变量（X,Y）的分布函数。 分布函数的基本性质：

? F(x,y)是变量x,y的不减函数，且关于x和y右连续。 ? 0?F(x,y)?1，

? 对于固定的y，F(－?,y)＝0 ? 对于固定的x，F(x,－?)＝0

? F(－?，－?)＝0；F(＋?，＋?)＝1

6.2 二维连续型随机变量的概率密度

对于二维随机变量（X,Y）的分布函数F(x,y)，如果存在非负的函数f(x,y)使对于任意的x,y有

F(x,y)?????yx??f(u,v)dudv 则称（X,Y）为连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量（X,Y）的概率密度。

概率密度f(x,y)的性质： ? f(x,y)?0

????? ??????f(u,v)dudv?F(??,??)?1

? 若f(x,y)在点（x,y）连续，则有证明：令?f(u,v)dv?g(u,v)?c

y?F(x,y)?x?y2?f(x,y) 令???f(u,v)dv?g(u,v)|v????G(u,y)，

v?yxy则有F(x,y)????????F(x,y)?xf(u,v)dvdu??[???y??xy??f(u,v)dv]du??G(u,y)du??x

等式两边对x求偏导数有：

?G(x,y)＝?f(x,v)dv

等式两边再对y求偏导数有：

?F(x,y)?x?y?f(x,y)

xy实际上，F(x,y)????[???f(u,v)dv]du先对x求偏导得???yf(x,v)dv，也

就是把中括号里边“被积函数”的u换成x即可。再对y求偏导得f(x,y)，也就是把被积函数中的v换成y即可。

? 设G是xoy平面上的一个区域，点（X,Y）落在G内的概率

由例7知，若X～N（0，1），则X2～?2(1)=?(设X1，X2...，Xn～N(0，1)，且相互独立。 可知X2111,)22

，X2...，Xn22～?2(1)=?(ni?111,)，且相互独立。 22n1X～?(,)。此时我们称

222in由?分布的可加性可知，?Y=?i?1nXi2服

从自由度为n的卡方分布，记为Y=?i?1Xi2～?2(n)，其概率密度为：

?1n2ny?()?1?2y2e2,y?0?fY(y)??n?()?2?0,y?0?

即?(nn12,)＝?(n)22 结论：设X1，X2...，Xn～N(0，1)，且相互独立。

则?i?1Xi2～?2(n)＝?(n1,) 22 10.2 ?2分布的可加性

m1n12,)，Y～?(n)＝?(,)。 2222m?n12,)＝?(m?n) 由?分布的可加性得知，X+Y～?(22设X，Y相互独立。X～?2(m)＝?(分布具有可加性。

结论：设X，Y相互独立。X～?2(m)，Y～?2(n)。

则X+Y～?2(m?n)

11. t分布

设X,Y相互独立。X～N（0，1），Y～?2(n)。则有度为n的t分布。记为XY/nXY/n可见?2服从自由～t(n)。其概率密度为：

2)(1?t2?n?12?(h(t)?n?1?n?()2nn)，???t???

t分布概率密度的图形类似于标准正态分布的概率密度。n越大，t当分布和标准正态分布越接近。当n>45的时候，t分布和标准正态

分布已经非常接近，此时可以用标准正态分布近似代替t分布。

事实上我们有：

n???limh(t)?12?e?t22,???t???

即当n趋近＋?时，t分布的极限分布就是标准正态分布。 t分布的上?分位点：

设X~t(n)，若t?(n)满足条件P{X>t?(n)}=?，0

t1??(n)??t?(n)

而当n>45时，近似有t?(n)＝z?（正态分布的上?分位点）

12. F分布

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