高等流体力学作业参考答案-20121215

第二章 流体力学的基本概念

随堂作业：粘性不可压缩均质流体定常运动（绝热过程）方程组在二维直角坐标系中的形式 解：

粘性流体??0，不可压缩均质流体??C，定常流动系

??0，绝热q?0，二维直角坐标?t??0。 ?z连续性方程：

?u?v??0 ?x?y?Pxx?Pxydu???Fx??,dt?x?y运动方程：

?P?Pdv???Fy?xy?yy,dt?x?y??u1??u?v??Pxx??P?2???????,??x3??x?y????v1??u?v?????, 本构方程：Pyy??P?2?????y3?x?y??????u?v?Pxy???????x?y?二 流线与迹线，加速度 1(2) u?解：

流线的微分方程为

cxcy,v?,w?0,c是常数,试画出流线族; 2222x?yx?ydxdycxcy?,v?,将u?2代入得uvx?y2x2?y2dxdy?,积分后cxcyx2?y2x2?y2得lnx?lny?C,得y?Cx,z?B，其中B、C为积分常数。 1(8) u?x?y,v??2xy,求通过x?1,y?1的一条流线; 解:

流线的微分方程为

22dxdydxdy22??,将u?x?y,v??2xy代入,得2,积分得2uvx?y?2xyy3?3x2y?C,其中C为积分常数。将x?1,y?1代入,求得C??2。所求流线方程为

y3?3x2y?2?0。

1(11)设u?x?t,v??y?t,??0,求通过x??1,y??1的流线及t?0时通过

x??1,y??1的迹线;

解:

因为??0所以流动属于二维运动,z?C 。 流线的微分方程为

dxdydxdy?,将u?x?t,v??y?t代入得,积分整理得?uvx?t?y?t2代入得C?1?t。所求流线方程为xy?xt?yt?t2?C。将x??1,y??1xy?xt?yt?1?0。

迹线的微分方程为

dxdydxdy?u,?v,将u?x?t,v??y?t代入得?x?t,??y?t,解dtdtdtdt非齐次常系数线性微分方程得x?C1et?t?1,y?C2e?t?t?1,代入t?0,x??1,y??1得

C1?0,C2?0,所以所求迹线方程为x?y?2?0。

三运动类型的判别

1（3）u??cy,v?cx,w?0;对流场进行分析，是有旋运动，还是无旋运动，求出它们的流线形状,其中c是常数。

解：

?w?v?0?(cx)????0,?y?z?y?z?u?w?(?cy)?0rotyV?????0,

?z?x?z?x?v?u?(cx)?(?cy)rotzV?????2c,?x?y?y?zrotxV?rot?0故为有旋运动。

dxdyx2y2dxdy???C所以?流线的微分方程为,将u??cy,v?cx代入得，积分得uv22?cycx流线形状为椭圆形。

第三章 流体力学基本方程组

9试证下述不可压缩流体的运动是可能存在的 (1)u?2x?y,v?2y?z,w??4(x?y)z?xy 解:：

22

?u?u?u?u?u?u??????4x?4y?4(x?y)?022?x?y?z?(2x?y)?(2y?z)?(?4(x?y)z?xy)满足不可压缩流体连续性方程,所以运动是运动是可能存在的。 13求下列速度场成为不可压缩流体可能流动的条件

(1)u?a1x?b1y?c1z,v?a2x?b2y?c2z,u?a3x?b3y?c3z; 解：成为不可压缩流体可能运动的条件是

?u?u?u???a1?b2?c3?0。 ?x?y?z22已知粘性流体在圆管中作层流流动时的速度分布为u?c(r02?r2)，其中c为常数,r0是圆管半径,求:(1)单位长度圆管对流体的阻力;(2)在管内r?r0/2处沿圆管每单位长流体的内摩擦。 解：

d(c(r02?r2))du????2?cr。边界处r?r0,???2?cr0。单位长度圆管对流（1）???drdr体的阻力F?2??r0??4?cr02。 （2）在管内r?r0/2处，F?2??r0???cr02。 223一长为l,宽为b的平板,完全浸没于粘性系数为?的流体中,流体以速度u0沿平板平行流过。假定流体质点在平板两面上任何一点的速度分布情况如图所示。求：（1）平板上的总阻力；（2）y?h/2处的流体内摩擦力；（3）y?3h/2处的流体内摩擦力； 解：

（1）由牛顿内摩擦定律I?yFdu??，而u?u0,v?0,w?0，所以平板上的总阻力

hAdyF?2IA?2?blu0。 h（2）y?h/2处的流体内摩擦力???udu??0 dyh（3）y?3h/2处，

du=0，所以此处流体内摩擦力为0。 dy3-25 解：

（一）由能量方程知：

dU??P:S?div(k?gradT)??qdt流体为不可压缩绝热粘性流体，且由题有??v

?0，则有

dU??P:S??p??v????dt计算变形速度张量为

S=错误！未找到引用源。

故每单位体积的内能增量为

2?=-?(??v)2?2?S:S3

u2u2u2?0?2?(?)??2224h4hh

152?0.01?()?3.6?10?3达因/厘米2?秒25

（二）由能量方程知：

dU??P:S?div(k?gradT)??qdt流体为不可压缩绝热粘性流体，则

dU??P:Sdt由条件知，

?u?v?v???0 ?x?x?y?u?uu?(y)? ?y?yhh

二维流动条件下

?=0 ?z则

P:S=pxy1?v?u1?v?u?(?)?pyx?(?)2?x?y2?x?y?u?uu2??????2?y?yh152=0.01?()25?3.6?10达因/厘米?秒

（三）取截面积S=1/25厘米2的流体进行 分析，则体积

?32V?h?S?25?1/25?1厘米由于流体为不可压缩绝热粘性流体，则流 体内能增量全部来源于外力所做的功，外 力为上平板对流体的作用力，由相互作用 力的关系得

3

u1F???S????h25

151?0.01???2.4?10?4达因

2525单位时间内能增量

?U?F?u?2.4?10?4?15?t

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