2008级985高等数学（下）及其参考答案

周世国：2008级985高等数学（下）及其参考答案

2008级高等数学下册试题（985） 一、填空题（每小题3分，共 15分

1微分方程y???2y??5y?0的通解为________________. 解：原微分方程对应的特征方程为r2?2r?5?0 解之，得特征根为：r??1?2i 故通解为：y?e?x?c1cos2x?c2sin2x?.

2、设区域D为x2?y2?1，则???x2?y2?dxdy?____________.

D解：???x2?y2?dxdy??2?d??10r2.rdr??0.

D23．已知两直线的方程是

L?2?21:x?11?y0?z?3?1,L2:x2?y?11?z1,

则过L1且平行于L2的平面方程是________________.

???ijk解：可取所求平面的法向量为????n?10?1?i?3j?k. 211又所求平面过点 ?1,2,3?，由平面的点法式方程得，所求平面为：

1.?x?1???3y??2??1z.??3?，即0x?3y?z?2?0. 4、设S是平面x?y?z?15被圆柱面x2?y2?1截出的限部分，则曲面积分

??yds?_____________.

S解：由对称性知，显然??yds?0.

S5、设????x,y,z?|x2?y2?z2?1?，则???x2dxdydz?___.

?解：由轮换对称性，知

???x2dxdy?d???z2ydx?d???ydz2z. dxdydz???故???x2dxdydz?122212????1220sin?d??0?.?d?

?3????x?y?z?dxdydz?3?0d? ?4?15.

1

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二、选择题（每小题3，共 15 1. 级数?n?1?n4n的和为?A?

29?A?49； ?B??； ?C?19； ?D?89.

解：令s?x??x?nxn?1n?1,x???1,1?.

? 则?s?x?dx?0?n?1?x，s?x???x?1?x?1?xnx?1??. ?2??1?x? 故

??n?1?1??.n???n44n?1?4?n1?n?1?1?1?114s????. 24?4?4?91?1???4??n?14n?24n?1n?1另解：设 Sn?则

1414?24142??34241423??44341434????????nnSn?4n?14n （1）

?n4n?1234 （2）

（1）—（2），得

34Sn?14???144???14n?n4n?1

?故

1??1?4??n?1??????4???1?14?n4n?1n1?n?1????1?????n?13??4????4

Sn?n4??1??4n??1?????.n?19??4????34 （3）

49?注意到?n?1n4n?1收敛。从而limn4n?1n???0,所以limSn?n??，即?n?1n4n?49.

2. 已知f?x?,f?y?在区域D???x,y?|x?y?1?上连续，且f?x??0,f?y??0. 则

??Daf?y??fb?ff???y?x??xdxd?y. ??B?A?a?b； ?B?a?b； ?C?2?a?b?； ?D?2?a?b?.

2

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解：记I???Daff?y??bf?x? dxdy （1）

?x??f?y??x?v,?y?u.做变换??u?y,?v?x.，即?

?x?v?0?y1?v10??1.

?x其雅可比行列式为J??u?y?u故由积分变换公式，得：

I???f?x??f??yD?af?y??b?f?xdxd?y?a?f?u??bf???f?u??f?vD?vJdu?dv?D??f?u???a???f?u??bffv d udvv其中D????u,v?|u?v?1?与D???x,y?|x?y?1?形状相同. 换记号，则有

I???Daf?x??bff?x??f?y?dxdy （2） y?? 故 由（1）、（2）相加，得： I?1?a?b?dxdy??a?b????22D12?2?a?b.

3. 曲线积分?ydx?xdyx?y22L等于?A? ，中L为x2?y2?1，正向.

?； ?D??A?解：??2?； ?B?ydx?xdyx?y222?； ?C??.

L??Lydx?xdy??2A??2?.（A为L所围成的区域的面积）.

x?sinydx?f?x?cosydy与路径无关，其中f?x?具有一fx?e4. 设曲线积分?????L?阶连续导数，且f?0??1,则f?x?等于?D?

?A?e?e4x?x； ?B?e?e4x?x； ?C?e?e2x?x； ?D?e?e2x?x.

x?sinydx?f?x?cosydy与路径无关，故 fx?e解：因为?????L? 3

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???f??x??ex??sin?yy??????f?x?cosy???x，

2x即 ??cosy??f??x?cosy，对于任何?x,y??R成立 fx?e????化简，得 f??x??f??x?x e （1）

?1dx1dx?1?1由公式：f?x??e???exe?dx?c??e?x?e2x?c??ex?ce?x （2）

?????2?2x?x又代入f?0??1,得：c?12.所以，f?x??e?e2.

5. 设f?x?在点x?0的某个邻域内二阶可导，且limsinx?xf?x?1x?0x3?2,则

f???0???C?.

?A?1； ?B?0； ?C?423； ?D?3.

解：因为limsinx?xf?x?x?0x3?12,故

sinx?xf??x1x3?2???x? （1）

f?x??12sixn???x?.x2?x122x?x2?sxi?n2x0?x? （2）

由（2）式，得 f?0??limf?x??lim?12sinxx?0x?0?x??o2? （3）

?2x?x????1 ?1x2?sinx 且f??0??limf?x??f?0?x?1?o?x2?x?0x?lim2x?0x??1 1x2?sinx?11x3?sinx?x3x2?cosx?1?lim2xx?0x?lim2x?0x2?lim2x?02x

3x2?lim2x?02x?lim1?cosxx?02x?0. （4） 由洛必达法则，

1xf?x?x?f?x??xf??x?2?limsinx?x?0x3?limcosx?03x2

4

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?lim???sinx?2f??x??xf???x?6x?134312f???0??.

16x?0?lim16??sinx6xf???0? 12x?0?13limf??x??f??0?x?0x?0?16limf???x?

x?016f???0????故 f???0??注意：如果仅仅追求此题的答案，则可以这样做 设xf?x??f?x??12x?2x?sinx3，即

sinxx11!?45!357?1?xxxx? ?x??_??????2x?!3!5!7!?12 ?12x?23!23!213!x?67!215!x?5417!x??

6f??x??x?f???x??1?x??23!85!x?23x??4

x?13307!?x??43.

故f???0??1??1?三、计算、证明题（每题10分，共 70分）

1．证明：曲面 xyz?a3?a?0?上任一点的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为一定数.

证：任取曲面?:xyz?a3?0上一点M0?x0,y0,z0?

令 F?x,y,z??xyz?a3，则曲面在M0点处的切平面的法向量为

?n??F??xM,0??Fy?M,0?z?F?M???0?0y,0z0x,0z?0 x.0y所以曲面在M0点处的切平面为：

y0z0?x?x0??x0z0?y?y0??x0y0?z?z0??0.

即

x3a3?y3a3?z3a3?1.

y0z0x0z0x0y0故所求四面体的体积为

113a3a3a9a9aV?....?.?232y0z0.x0z0x0y02?x0y0z0?2a3333992???92a.

3 5

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113a3a3a9a9a93V?....???a. 22332y0z0x0z0x0y02?x0y0z0?2?a?2333992. 叙述格林公式并计算曲线积分I????2xy?y?dx??2xy?x2L2?10xdy.其中L?是以?0,0?,?1,0?,?1,1?,?0,1?为顶点的正方形的正向边界曲线. 解：格林公式的叙述这里略去.

I????2xy?y?dx??2xy?x2LD2?10xdy????DD???2xy?x2?10x??x?????????2xy?y??dxdy2?y?? ????2y?2x?10????2y?2y???dxdy???10dxdy?10. ???3．

?x?2y?dx?2?x?y?ydy是否为某个二元函数u?x,y?的全微分？若是，求u?x,y?.

y?P?y解：（一）因为

?Q?x??2?x?y?3?在整个xoy平面上除原点外恒成立，所以，

?x?2y?dx?2?x?y?（二）可取

ydy是某一个函数u?x,y?的全微分.

u?x,y?????x,y?0,1??x?2y?dx??x?y?2yxydy??xyydyy21??x?2y?dx?0?x?y?2

x ?lny|1??x?y?dx?0?x?y?2???x?y?0ydx2

1?? ?lny??lnx?y?lny??y???? yx?y???1 ?lnx?y?1?yx?y.

4．计算曲面积分???x2?y2?dS，其中曲面S为锥面z?Sx?y22及平面z?1所围

成的区域的整个边界曲面. 解：S?S1?S2. 其中

S1:z?

x?y,

22

6

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dS???z???z?1????????dxdy?22?1??x?????2y??dxdy?22dxdy.

??x???y???x2?y2????x2?y2??

???x2?y2?dS?2???x2?y2?dxdy?2?2?120d??r.rdr?20S1Dxy2?;

22S2:z?1, dS?1????z?????z??dxd??x?y?dxd.y??， ??y??

???x2?y2?dS????x2?y2?dxdy??2?0d??1r2.r10dr?S1Dxy2?;

所以

???x2?y2?dS????x2?y2?dS?2??1S???x2?ydSS2?1?2??.

1S1?5．求幂级数?1nn?1n?n?1?x在x???1,1?内的和函数.

?1?n?1???解：?nxn??1nn?1n?n?1?x???1??x??1n?1?nn?1?n?1nn?1x n?1? 设sxn1?x???n?1n

??? 则s?xn?1??x?????xn?1?1n?1??n????n?11?x.

所以， s?sx1?x?1?0???101?xdx??ln1?x.

?即

?1nxn??ln1?x n?1? 又设s2?x???xn?1n?1n?1

? 则s??x?????xn?1????x2?n?1??xn?n?1???n?11?x.

则 s2?x??s2?0???xx01?xdx??x?ln1?x.

?故

?1?nxn?11ln1?xn?1x?1n?1x?n?1n?1?xs2?x???1?x.（3）

1）

2）

7

（ （周世国：2008级985高等数学（下）及其参考答案

所以

?n?n?1?x=?ln1?xnn?1?1?1?ln1?xx.

6．计算曲面积分??x2ydzdx?y2zdxdy，?是柱体

?????x,y,z?|x2?y2?a,0?z?h2?的外侧.

解：由高斯公式：

原式?????2??x2y?yz????dxdydz

?z???y??2???????x?2?y?dxdydz??2?0d??rdr0a?h0rdz?h?22?0d??rdr?0a3?2ha.

47．（本题有两小题，周六课时的同学都做，周五课时的同学任选一题） （1）计算三重积分?????x2?y2?z2?22,zdxdydz,其中区域?是由?2所确定. 222?x?y??z?2??22（2）设函数f?u?具有连续导数且f?0??0,求 lim1t?0?t42???2f2?2x?y?z222?dv.

x?y?z?t解：（1）解法一：柱面坐标法：

?x2?y2?z2?22,联立?2消z,得?在xoy坐标面上的投影区域为 222?x?y??z?2??2,圆域D:x2?y2?3.

????zdxdydz

22 ??2?0d??330rdr?4?r2?4?r2zdz?2?2?30?z3r.??3?3|4?r2??dr 24?r??2 ?2?32?32?3??0?r???4?r2???2?334?r2????dr（令r?2sint）

??30 ?2sint8cost??2?2cost?.2costdt

3?? ??30322cost?1?3cost?3costsintcostdt

?32? 8

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?4?3?.32?3costsintdt?042?3?.32?3costsintdt

0?20?03 ?2?.32?3costsintdt?2?.32?3costsintdt

??4?3.32cost535?|330?2?3.32cost242?|30

?2?.324?cost3?|0?2?.32cost4?|30

?? ?2??31???3??7???15?.32??.32????.32????.32????? 15332?32??8??4??16?59?59?.32?48015

其实，此题最宜采用球面坐标计算：这时首先要把积分区域?分成两个子区域： ???1??2. 其中

?0???2?,?? ?1:?0???, ?23??0???2,?0???2?,?2??:????,

2?3?,?0???4cos则

?????zdxdydz=???z2dxdydz??12????2zdxdydz2

?2??0d??30sin?d???cos?.?d?02222

??2??0d???2sin?d??34cos?0?cos?.?d?

222???242? ?2???3sin?.cos?d????d????0???0?????4cos?24?2????2sin?.cos?d???d??0?3?? ??? ??32.32sin?.cos?d???3?27??1??152??133???2??cos?|??|??2???3?50?0????5???2?...32?2457164???1?82??.32?cos?|? ?8?53?? 9

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?7?64?5.32??1.1?7?.32??.32?59?60.32?. ?2568???6016015（2）

2y2?z2?dv??2??t0d??0sin?d??0f????2d?

x2???f?x??y2?z2?t2 ?4??t0f????2d?.，

所以，4?lim1?tf?20???d?t?0?t4f?x2?y2?z2?dv?lim2???222t?0x?y?z?t?t4 ?l4?f?t?.t2imf?t??limf?t??f?0?t?im04?t3 ?lt?0tt?0t?0?f??0?.

10

（洛必达）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jndr.html