2017-2018学年高中数学考点33立体几何中的向量方法、（含2017年

考点33 立体几何中的向量方法

一、简答题

1.(2017·全国乙卷理科·T18)如图,在四棱锥P",ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.

(1)证明:平面PAB⊥平面PAD.

(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A",PB",C的余弦值. 【命题意图】本题主要考查面面垂直的证明,考查如何建立空间直角坐标系,确定相关点的坐标,利用法向量求二面角的余弦值. 【解析】(1)因为∠BAP=∠CDP=90°, 所以PA⊥AB,PD⊥CD,

又因为AB∥CD,所以PD⊥AB,

又因为PD∩PA=P,PD,PA?平面PAD,

所以AB⊥平面PAD,又因为AB?平面PAB, 所以平面PAB⊥平面PAD.

(2)取AD中点O,BC中点E,连接PO,OE, 因为AB",CD,

所以四边形ABCD为平行四边形, 所以OE",AB,

由(1)知,AB⊥平面PAD,

所以OE⊥平面PAD,又因为PO,AD?平面PAD, 所以OE⊥PO,OE⊥AD,

又因为PA=PD,所以PO⊥AD, 所以PO,OE,AD两两垂直,

所以以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

设PA=2,所以D?2,0,0,BC?2,2,0,

所以PD=?2,0,?2,PB=

???2,2,0,P0,0,2,

????????2,2,?2,

?BC=?22,0,0,

设n=?x,y,z?为平面PBC的法向量,

1

????n?PB?0??2x?2y?2z?0由?得? ??n?BC?0???22x?0令y=1,则z=2,x=0,可得平面PBC的一个法向量n=0,1,2, 因为∠APD=90°,所以PD⊥PA, 又因为PD⊥AB,PA∩AB=A, 所以PD⊥平面PAB,

即PD是平面PAB的一个法向量,PD= ?2,0,?2, 所以cos=

????PD?nPD?n

=?23=-, 323由图知二面角A",PB",C为钝二面角,所以它的余弦值为 -

3. 3【反思总结】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面:①求异面直线所成的角,关键是转化为两直线的方向向量的夹角;②求直线与平面所成的角,关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角;③求二面角,关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 2.(2017·天津高考理科·T17)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.

(1)求证:MN∥平面BDE.

(2)求二面角C-EM-N的正弦值.

(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为7,求线段AH的长. 21【命题意图】本题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. 【解析】如图,以A为原点,分别以AB,AC,AP方向为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系.由题意可得各点坐标:

2

A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).

??n?DE?0(1)DE=(0,2,0),DB=(2,0,-2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则?即

??n?DB?0?2y?0不妨设z=1,可得n=(1,0,1).又MN=(1,2,-1),可得MN·n=0.因为MN?平面?2x?2z?0?BDE,所以MN//平面BDE.

(2)易知,n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量,设n2=(x,y,z)为平面EMN的一个法向量.则n2·EM=0,n2·MN=0,又EM=(0,-2,-1), MN=(1,2,-1),所以?则n2=(-4,1,-2), 所以,cos=-??2y?z?0令y=1,

?x?2y?z?04105,sin=,

2121所以二面角C-EM-N的正弦值为(3)由题意,设

105. 21AH=h(0≤h≤4),则H(0,0,h),进而NH=(-1,-2,h),BE=(-2,2,2), 由已知得,|cos|=

NH?BENH?BE81或, 52=2h?2h2?5?23=7, 21整理得,10h-21h+8=0,所以,h=所以,线段AH的长为

2

81或. 52【方法技巧】利用向量法计算二面角大小的常用方法

(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

3.(2017·北京高考理科·T16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=

,AB=4.

3

(1)求证:M为PB的中点. (2)求二面角B-PD-A的大小.

(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

【命题意图】本题主要考查空间几何体的位置关系与夹角运算,意在培养学生的空间想象能力及运算能力.

【解析】(1)设AC∩BD=O,

连接OM,因为PD∥平面MAC且平面PBD∩平面MAC=MO,所以PD∥MO, 因为O为BD中点,所以M为PB中点. (2)取AD中点E,连接PE, 因为PA=PD,所以PE⊥AD,

又因为平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PE⊥平面ABCD, 建立如图所示坐标系,

则B(-2,4,0),P(0,0,2),D(2,0,0),A(-2,0,0), 易知平面PDA的法向量m=(0,1,0),设平面BPD的法向量n=(x0,y0,z0),

?n?DP?则???x0,y0,z0???2,0,2???2x0?2z0?0??n?DP?? x0,y0,z0???4,4,0???4x0?4y0?0所以n=(1,1,2), 设二面角B-PD-A的平面角为θ, cosθ=|cos|=

m?nmn =

1=

121?12?12??2?2, 所以θ=

?3. (3)由(2)可知M?????1,2,2?2??,C(2,4,0), ?

4

?2?3,2,?, MC=????2??设直线MC与平面BDP的角为α,则有 sinα=|cos|=

MC?nMCn

=

3?2?11?1??2?2??2?3?2?????2?222=

26, 9所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为26. 9【知识链接】平面与平面成角

设n1,n2分别是二面角α-l-β的面α,β的法向量,则就是所求二面角的平面角或其补角的大小.且有cos=

n?nnn

11

22

.

4.(2017·江苏高考·T22)如图,在平行六面体ABCD",A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.

(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值. (2)求二面角B",A1D",A的正弦值.

【命题意图】主要考查异面直线所成角及二面角的求法,重点考查运用空间向量解决问题的能力.

【解析】在平面ABCD内,过点A作AE⊥AD,交BC于点E. 因为AA1⊥平面ABCD, 所以AA1⊥AE,AA1⊥AD.

如图,以AE,AD,AA为正交基底,建立空间直角坐标系A",xyz. 因为AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=120°.

则A(0,0,0),B(3,-1,0),D(0,2,0),E(3,0,0),A1(0,0, 3),C1(3,1, 3). (1)A1B=( 3,-1,- 3),AC1=(3,1, 3),

5

??

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