同济大学高数第六版基本概念机公式总结(1)

第一章 函数与极限

第一节 函 数

教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、

分段函数、复合函数、初等函数的概念。

教学重点：分段函数、复合函数；

一、 集合、常量与变量

(一) 集合

1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C??等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记a?M（读a属于M）；若事物a不是集合M的一个元素，就记a?M或a?M（读a不属于M）；集合有时也简称为集。

注意：（1）对于一个给定的集合，要具有确定性的特征，即对于任何一个事物或元素，能够判断

它属于或不属于给定的集合，二者必居其一.

（2）对于一个给定的集合，其中的元素应是互异的，完全相同的元素，不论数量多少，

在一个集合里只算作一个元素，就是说，同一个元素在同一个集合里不能重复出现. （3）若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集

2. 集合的表示法

表示集合的方法，常见的有列举法和描述法两种.

列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号{ }括起来，这种方法称为列举法.

3.全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。

以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。

4.集合间的基本关系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有x?A，必有x?B，就称A

为B的子集，记为A?B,或B?A(读B包含A)。

显然：N?Z?Q?R.

若A?B,同时B?A,就称A、B相等,记为A=B。

2x 5.不含任何元素的集称为空集,记为?,如：{xx?1?0,x?R}=?,{x:2??1}=?,空集是任

何集合的子集,即??A。

(二) 区间与邻域 1. 区间

设a和b都是实数，且a

数集 {x | a

a和b称为开区间( a , b ) 的端点，这里a?( a ,b ) ， b?( a ,b ).

数集 {x |a ?x?b}称为闭区间，记作[a,b]，即

[ a, b ]={ x| a ?x?b}.

a和b称为闭区间[ a ,b ] 的端点，这里a? [ a , b ]， b? [ a , b ] . 类似地可以说明：

[ a,b )=={ x | a?x

[ a,b )和( a ,b]都称为半开区间.

以上这些区间都称为有限区间.数b-a称为这些区间的长度.从数轴上看，这些有限区间是长度为有限的线段.闭区间[a,b]与开区间（a,b）在数轴上表示出来，分别如图1-7（a）与(b).此外还有无限区间，引进记号+?（读作正无穷大）及-?（读作负无穷大），则可类似地表示下面的无限区间:

[ a，+?)={ x | a?x}，

(-? ,b )={ x | x

全体实数的集合也可记作（-?，+?），它也是无限区间. 2.邻域.

设?是任一正数，a为某一实数，把数集{ x| |x-a |

U(a, ?)={ x| |x-a |

点a称为这邻域的中心，?称为这邻域的半径.

由于a-?U(a, ?）={ x| a-?因为| x-a |表示点x与点a间的距离，所以U(a, ?）表示：与点a距离小于?的一切点x的全体.

有时用到的邻域需要把邻域中心去掉.点a的?邻域去掉中心a后，称为点a的去心的?邻域，记作U(a, ?），即

U(a, ?）={ x | 0<|x-a |

(三)常量与变量

在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量。

注1：常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。

2：常量一般用a,b,c??等字母表示，变量用x,y,u,t??等字母表示，常量a为一定值，在数轴上可用定点表示，变量x代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示，如：x?(a,b)表示x可代表(a,b)中的任一个数。

??

二、 函数的概念

定义：设x和y为两个变量，，D为一个给定的数集，如果对每一个x?D，按照一定的法则f变量y总有确定的数值与之对应，就称y为x的函数，记为y?f(x).数集D称为该函数的定义域，

x叫做自变量，y叫做因变量。

当x取数值x0?D时，依法则f的对应值称为函数y?f(x)在x?x0时的函数值。所有函数值组

成的集合W?{yy?f(x),x?D}称为函数y?f(x)的值域。

关于函数定义的几点说明：

（1）我们这里所讲的函数是指单值函数，也就是说，对于每一个x值只能对应变量y的一个值. （2）符号“f”的意义：

符号“f”表示自变量x与函数y的某种对应关系.例如y=f(x)=5x2+3x-1，它的对应关系”f”是自变量的平方乘以5加上自变量的3倍减去1，我们不妨简化为y=f( )=5( )2+3( )-1。如x=3时，对应的函数值是

f(3)=5?32+3?3-1.

同样当x=a时，对应的函数值是 f(a)=5a2+3a-1.

表示函数对应法则的符号也常常用“g”、“F”等表示，这时函数就记作y=g(x)、 y=F(x)等.

（3）确定函数的两个要素——定义域和对应法则

函数概念反映着自变量和因变量之间的依赖关系.它涉及到定义域、对应法则和值域.很明显，只要定义域和对应法则确定了，值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则是确定函数的两个要素，只要两个函数的定义域和对应法则都相同，那么，这两个函数就相同；如果定义域或对应法则有一个不相同，那么这两个函数就不相同.

例如：函数 f(x)=

x与g(x)=1，因为f(x)的定义域为（-?，0）?(0,+?），而g(x)的定义域x为（-?，+?），所以f(x)与g(x)是不同的函数. （4）函数定义域的求法

对于由实际问题得到的函数，其定义域应该由问题的具体条件来确定.如例1函数S=?r2中，自变量r是圆的半径，故此函数的定义域就是 (0,+?）.例2中，自变量Q表示销售的台数，故此函数的定义域是全体自然数.

若函数由公式给出时，不考虑函数的实际意义，这时函数的定义域就是使式子有意义的 变量的一切实数值.

注 1：函数通常还可用y?g(x),y?F(x),s?u(t)等表示。

2：约定：函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体。

3、若对每一个x?D，只有唯一的一个y与之对应，就称函数y?f(x)为单值函数；若有不

止一个y与之对应，就称为多值函数。如：x?y?1,x?y?1等。以后若不特别声明，只讨论单值函数。

2222

4、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助于数学式

子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例3的法则是：当自变量x在(0,1]上取值，其函数

值为x2；当x取0时，f(x)?1；当x在[?1,0)上取值时，其函数值为1?x。（这种函数称为2分段函数，在以后经常遇见，希望注意！）尽管有几个不同的算式，但它们合起来只表示一个函

数！

5、对D中任一固定的x，依照法则有一个数y与之对应，以x为横坐标，y为纵坐标在坐标平

面上就确定了一个点。当

x取遍D中的每一数时，便得到一个点集

C?{(x,y)y?f(x),x?D}，我们称之为函数y?f(x)的图形。换言之，当x在D中变动时，

点(x,y)的轨迹就是y?f(x)的图形。

三、 函数的几种特性

1 函数的有界性：设y?f(x)在D上有定义，若对?x?D,?M?0，使得：f(x)?M，就称f(x)在D上有界，否则称为无界。

注：1、若对?x?D，?M，使得f(x)?M(f(x)?M)，就称f(x)在D上有上(下)界。f(x)

在D上有界?f(x)在D上同时有上界和下界。

2、f(x)在D上无界也可这样说：对?M?0，总?x0?D，使得f(x0)?M。

2、函数的单调性：设函数f(x)在区间I上有定义，若对?x1、x2?I，当x1?x2时总有： （1）f(x1)?f(x2)，就称f(x)在I上单调递增，特别当严格不等式f(x1)?f(x2)成立时，就称f(x)在I上严格单调递增。

（2）f(x1)?f(x2)，就称f(x)在I上单调递减，特别当严格不等式f(x1)?f(x2)成立时，就称f(x)在I上严格单调递减。

注：1、此处的定义与书上有区别，希望注意！

2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。 3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样。

3、函数的奇偶性：设函数f(x)的定义域D为对称于原点的数集，即若x?D，有?x?D， （1）若对?x?D，有f(?x)?f(x)恒成立，就称f(x)为偶函数。 （2）若对?x?D，有f(?x)??f(x)恒成立，就称f(x)为奇函数。 注：1、偶函数的图形是关于y轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的。

2、若f(x)是奇函数，且0?D，则必有f(0)?0。

3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数的积也为偶函数；一奇一偶的积为奇函数。

4、周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果?l?0，使得对?x?D，有x?l?D，且

f(x?l)?f(x)恒成立，就称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期。

注1：若l为f(x)的周期，由定义知2l,3l,4l??也都是f(x)的周期，故周期函数有无穷多个

周期，通常说的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（为什么？）

2：周期函数在一每个周期(a?kl,a?(k?1)l)（a为任意数，k为任意常数）上，有相同的形

状。

四、 反函数

定义：设f(x)的定义域为D，值域为W，因此，对?y?W，必?x?D，使得f(x)?y，这样

的x可能不止一个，若将y当作自变量，x当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数x??(y)，称之为函数y?f(x)的反函数，而f(x)叫做直接函数。 注1：反函数x??(y)的定义域为W，值域为D；

2：由上讨论知，即使y?f(x)为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还作

研究；

3：在习惯上往往用x表示自变量，y表示因变量，因此将x??(y)中的x与y对换一下，

y?f(x)的反函数就变成y??(x)，事实上函数y??(x)与x??(y)是表示同一函数的，因为，表示函数关系的字母\?\没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。所以说：若y?f(x)的反函数为x??(y)，那么y??(x)也是y?f(x)的反函数，且后者较常

用；

4：反函数y??(x)的图形与直接函数y?f(x)的图形是对称于y?x

五、初等函数

（一）幂函数

形如y?x?（?为常数）的函数叫做幂函数。 其定义域较为复杂，下作一些简单的讨论：

（一）当?为非负整数时，定义域为(??,??)； （1） 当?为负整数时，定义域为(??,0)?(0,??)； （2） 当?为其它有理数时，要视情况而定。

（3） 当?为无理数时，规定其定义域为(0,??)，其图形也很复杂，但不论?取何值，图形

总过（1，1）点，当?>0时，还过（0，0）点。

（二）指数函数与对数函数

1.指数函数：形如y?a(a?0,a?1)的函数称为指数函数，其定义域为(??,??)，其图形总在x轴上方，且过（0，1）点，

x（1）当a?1时，y?a是单调增加的；

xx（2）当0?a?1时，y?a是单调减少的；

以后我们经常遇到这样一个指数函数y?e,e的意义以后讲，其图形大致如下图所示，特别地，

xy?ax与y?a?x关于y轴对称。

2、对数函数：指数函数y?ax的反函数，记为y?logax(a为常数，a?0,a?1),称为对数函数，其定义域为(0,??)，由前面反函数的概念知：y?ax的图形和y?logax的图形是关于

y?x对称的，从此，不难得y?logax的图形，

y?logax的图形总在y轴右方，且过（1，0）点

（1） 当a?1时，y?logax单调递增，且在（0，1）为负，(1,??)上为正； （2） 当0?a?1时，y?logax单调递减，且在（0，1）为正，(1,??) 上为负； 特别当a取e时，函数记为y?lnx，称为自然对数函数。

（三）三角函数与反三角函数

三角函数 三角函数主要是： 正弦函数：y?sinx余弦函数：y?cosx正切函数：y?tanx余切函数：y?cotxx?(??,??) x?(??,??)

x?n???2n?0,?1,?2,??

x?n?n?0,?1,?2,??

正弦函数和余弦函数均为周期为2?的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为?的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还有两个：正割

y?secx?11和余割y?cscx?，其图形在此不做讨论了。 cosxsinx反三角函数：

反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为： 反正弦函数：y?Arcsinx反余弦函数：y?Arccosx反正切函数：y?Arctanx反余切函数：y?Arccotxx?[?1,1] x?[?1,1] x?(??,??) x?(??,??)

显然反三角函数都是多值函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下： 将y?Arcsinx限制在[???,]上，得一单值函数，记为y?arcsinx，它就是所取主值函数，

22

,]叫做主值区间，显然??arcsinx?， 2222同理：将y?Arccosx限制在[0,?]上，得y?arccosx

,]上，得y?arctanx 22将y?Arccotx限制在[0,?]上，得y?arccotx

从图中不难看出arcsinx和arctanx是单调递增的，arccosx和arccotx是单调递减的。

将y?Arctanx限制在[?

[???????六 复合函数和初等函数

1.定义：设y?f(u)，定义域为D1，u??(x)，定义域为D2，值域为W2，且W2?D1，这样对于?x?D2，由u??(x)可算出函数值u?W2?D1，所以u?D1，由y?f(u)又可算出其函数值y，因此对于?x?D2，有确定的值y与之对应，从而得一个以x为自变量，y为因变量的函数，我们称之为以y?f(u)为外函数，u??(x)为内函数复合成的复合函数，记为y?f(?(x))，其中u为中间变量。

注1：并非任何两函数都可以复合的，

2：复合可推广到三个或更多的函数上去，

3：在函数复合中，未必都有y?f(u)、u??(x)的形式，一般为y?f(x)和y?g(x)，这时

候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有y?f(x)和y?g(x)之分。

2、初等函数

我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本

初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。

七 分段函数举例

第二节 数列的极限

教学目的：使学生理解数列极限的定义及性质，并能用定义证明一些简单数列的极

限。

教学重点：数列极限的定义及性质。

一、数列的定义：

定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为xn?f(n),n?1,2,3??，由于全体自然数可

以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列：x1,x2,??xn??，这就是最常见

的数列表现形式了，有时也简记为?xn?或数列xn。数列中的每一数称为数列的项，第n项xn称为一般项或通项。

注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。如果将xn依次在数轴上描出点的位置，限我们

能否发现点的位置的变化趋势呢？显然，??1??1?是无限接近于0的；?2n?是无增大的；,n????2??n?n?1??(?1)?的项是在1与?1两点跳动的，不接近于某一常数；???无限接近常数1。

nn?1??

对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限问题。

二、数列的极限

定义：若对???0（不论?多么小），总?自然数N?0，使得当n?N时都有xn?a??成立，

这是就称常数a是数列xn的极限，或称数列xn收敛于a，记为limxn?a，或xn?an??（n??）。如果数列没有极限，就说数列是发散的。

注1：?是衡量xn与a的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管?具有任意性，但一经给出，就应视为不变。（另外，?具有任意性，那么代替?）

2：N是随?的变小而变大的，是?的函数，即N是依赖于?的。在解题中，N等于多少关

系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N，使得当n?N时，有xn?a??就行了，而不必求最小的N。

3：有时找N比较困难，这时我们可把xn?a适当地变形、放大（千万不可缩小！），若放大后小于?，那么必有xn?a??。

收敛数列的有关性质：

定理1：（唯一性）数列xn不能收敛于两个不同的极限。

定理2： （有界性）若数列xn收敛，那么它一定有界，即：对于数列 xn，若?正数M，对一切

?2,2?,?2等也具有任意性，它们也可

n，有xn?M。

注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。例如数列xn?(?1)n?1是有界的（xn?1），但数

列不收敛。

第三节 函数的极限

教学目的：使学生理解函数极限的概念 ；理解函数左右极限的概念，以及函数极限

存在与左、右 极限之间的关系。理解函数极限的性质。

教学重点：函数极限的概念。

一、复习数列极限的定义及性质 二、导入新课：

由上节知，数列是自变量取自然数时的函数，xn?f(n)，因此，数列是函数的一种特殊情况。对于函数，自变量的变化主要表现在两个方面：

一、 自变量x任意接近于有限值x0，记为x?x0，相应的函数值f(x)的变化情况。 二、当自变量x的绝对值x无限增大，记x??，相应的函数值f(x)的变化情况。 三、讲授新课：

（一）自变量趋向有限值x0时函数的极限

与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值x0时的函数极限可理解为：当x?x0时，f(x)?A（A为某常数），即当x?x0时，f(x)与A无限地接近，或说f(x)?A可任意小，亦即对于预先任意给定的正整数?（不论多么小），当x与x0充分接近时，可使得f(x)?A小于?。用数学的语言说，即

定义1：如果对???0（不论它多么小），总???0，使得对于适合不等式0?x?x0?? 的一切x所对应的函数值f(x)满足：f(x)?A??，就称常数A为函数f(x)当x?x0时的极限，记为

limf(x)?A，或f(x)?A （当x?x0时）

n??注1：“x与x0充分接近”在定义中表现为：???0，有0?x?x0??，即x?U(x0,?)。

显然?越小，x与x0接近就越好，此?与数列极限中的N所起的作用是一样的，它也依

?

赖于?。一般地，?越小，?相应地也小一些。

2：定义中0?x?x0表示x?x0，这说明当x?x0时，f(x)有无限与f(x0)在x0点（是

否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与f(x0)值也无关）。

3：几何解释：对???0，作两条平行直线y?A??,y?A??。由定义，对此?,???0，当x0???x?x0??，且x?x0时，有A???f(x)?A??。即函数y?f(x)的图形夹在直线y?A??,y?A??之间（f(x0)可能除外）。换言之：当x?U(x0,?)时，f(x)?U(A,?)。从图中也可见?不唯一！

（二）左、右极限

在函数极限的定义中，x是既从x0的左边（即从小于x0的方向）趋于x0，也从x0的右边（即从大于x0的方向）趋于x0。但有时只能或需要x从x0的某一侧趋于x0的极限。如分段函数及在区间的端点处等等。这样，就有必要引进单侧极限的定义：

定义2：对???0，???0，当x0???x?x0时，[当x0?x?x0??时]，有f(x)?A??.这时就称A为f(x)当x?x0时的左[右]极限，记为

x?x0?0?limf(x)?A或f(x?0)?A。

[limf(x)?A或f(x0?0)?A]。

x?x0?0定理：limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A。

x?x0x?x0?0x?x0?0

（三）自变量趋向无穷大时函数的极限

定义3：设f(x)当x?a(a?0)时是有定义的，若对???0,?X(?a)，当x?X时，有

就称A为f(x)当x??时的极限，记为limf(x)?A或f(x)?Af(x)?A??，

x??（当x??时）。

注1：设f(x)在[a,??),((??,b])上有定义，若对???0,?X?0，当x?X(x??X)时，

有f(x)?A??，就称A为f(x)当x???(x???)时的极限，记为limf(x)?A，

x???或f(x)?A（当x???）（limf(x)?A，或f(x)?A（当x???））。

x??? 2：limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A。

x??x???x???

根据定积分的定义? 曲边梯形的面积为 A??af(x)dx? 变速直线运动的路程为 S??T2v(t)dt?

1bT 说明?

(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关? 而与积分变量的记法无关? 即

bbb?af(x)dx??af(t)dt??af(u)du?

(2)和?f(?i)?xi通常称为f (x)的积分和?

i?1n (3)如果函数f (x)在[a? b]上的定积分存在? 我们就说f (x)在区间[a? b]上可积? 函数f(x)在[a? b]上满足什么条件时? f (x)在[a? b]上可积呢？

定理1 设f (x)在区间[a? b]上连续? 则f (x) 在[a? b]上可积?

定理2 设f (x)在区间[a? b]上有界? 且只有有限个间断点? 则f (x) 在[a? b]上可积?

定积分的几何意义?

在区间[a? b]上? 当f(x)?0时? 积分?af(x)dx在几何上表示由曲线y?f (x)、两条直线x?a、

bx?b 与x轴所围成的曲边梯形的面积? 当f(x)?0时? 由曲线y ?f (x)、两条直线x?a、x?b 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方? 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值?

当f (x)既取得正值又取得负值时? 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方? 而其它部分在

?abf(x)dx?lim?f(?i)?xi??lim?[?f(?i)]?xi???a[?f(x)]dx?

??0i?1??0i?1nnbx轴的下方? 如果我们对面积赋以正负号? 在x轴上方的图形面积赋以正号? 在x轴下方的图形面

积赋以负号? 则在一般情形下? 定积分?af(x)dx的几何意义为? 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x?a、x?b之间的各部分面积的代数和?

b用定积分的定义计算定积分?

三、定积分的性质 两点规定?

(1)当a?b时? ?af(x)dx?0? (2)当a>b时? ?af(x)dx???bf(x)dx?

性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 ?a[f(x)?g(x)]dx??af(x)dx??ag(x)dx?

bbbbab

性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即 ?akf(x)dx?k?af(x)dx?

这是因为?akf(x)dx?lim?kf(?i)?xi?klim?f(?i)?xi?k?af(x)dx?

??0i?1??0i?1bnnbbb 性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即

?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx?

这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性? 值得注意的是不论a ?b ?c的相对位置如何总有等式 ?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx 成立? 例如? 当a

?af(x)dx??af(x)dx??bf(x)dx? 于是有

?af(x)dx??af(x)dx??bf(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx? 性质4 如果在区间[a b]上f (x)?1 则 ?a1dx??adx?b?a?

性质5 如果在区间[a? b]上 f (x)?0? 则 ?af(x)dx?0(a?b)?

推论1 如果在区间[a? b]上 f (x)? g(x) 则 ?af(x)dx??ag(x)dx(a?b)? 这是因为g (x)?f (x)?0? 从而

?ag(x)dx??af(x)dx??a[g(x)?f(x)]dx?0? 所以

?af(x)dx??ag(x)dx?

推论2 |?af(x)dx|??a|f(x)|dx(a?b)?

这是因为?|f (x)| ? f (x) ? |f (x)|? 所以 ??a|f(x)|dx??af(x)dx??a|f(x)|dx? 即 |?af(x)dx|??a|f(x)|dx| ?

bbbbbbbcccbbcbbcbcbcbbbbbbbbbbb

性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在区间[a? b]上的最大值及最小值? 则

m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)(a?b)?

证明 因为 m? f (x)? M ? 所以 ?amdx??af(x)dx??aMdx? 从而

bbbb m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)?

性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a? b]上连续? 则在积分区间[a? b]上至少存在一个点x ? 使下式成立? ?af(x)dx?f(?)(b?a)? 这个公式叫做积分中值公式? 证明 由性质6

bbb m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)?

各项除以b?a 得

b m?1?af(x)dx?M?

b?a再由连续函数的介值定理? 在[a? b]上至少存在一点x ? 使

b f(?)?1?af(x)dx?

b?a于是两端乘以b?a得中值公式 ?af(x)dx?f(?)(b?a)? 积分中值公式的几何解释?

应注意? 不论ab? 积分中值公式都成立?

第二节 微积分基本定理 一、变上限积分及其导数

设函数f(x)在区间[a? b]上连续? 并且设x为[a? b]上的一点?[a? x]上的定积分 ?af(x)dx

称为积分上限的函数? 它是区间[a? b]上的函数? 记为 ?(x)??af(x)dx? 或?(x)??af(t)dt?

xxbf(x)在部分区间

x

定理1 如果函数f(x)在区间[a? b]上连续? 则函数

?(x)??af(x)dx

在[a? b]上具有导数? 并且它的导数为

x??(x)?d?af(t)dt?f(x)(a?x

dxx 简要证明： 若x?(a? b)? ????(x? ??af(t)dt??x ??xx??xxx使x?

x??xx?(a? b)?

xx)??(x)??axf(t)dt??af(t)dt

x??xf(t)dt??af(t)dt

f(t)dt?f(?)?x?

应用积分中值定理? 有???f (其中在x 与x?

)x?

x之间? x?0时? ?x ? 于是

??(x)?lim???limf(?)?limf(?)?f(x)?

?x?0?x?x?0??x 若x?a ?

定理2 如果函数f(x)在区间[a? b]上连续? 则函数 ?(x)??af(x)dx

就是f (x)在[a? b]上的一个原函数?

一方面肯定了连续函数的原函数是存在的? 另一方面初步地揭示了积分

学中的定积分与原函数之间的联系?

二、牛顿??莱布尼茨公式

定理3： 如果函数F (x)是连续函数f(x)在区间[a? b]上的一个原函数? 则

xx>0? 则同理可证???(x)? f(a)? 若x?b ? x<0? 则同理可证???(x)? f(b)?

?af(x)dx?F(b)?F(a)?

此公式称为牛顿??莱布尼茨公式? 也称为微积分基本公式? 这是因为F(x)和?(x)??af(t)dt都是f(x)的原函数? 所以存在常数C? 使

xb F(x)??(x)?C (C为某一常数)?

由F(a)??(a)?C及?(a)?0? 得C?F(a)? F(x)??(x)?F(a)? 由F(b)??(b)?F(a)? 得?(b)?F(b)?F(a)? 即

?af(x)dx?F(b)?F(a)?

证明? 已知函数F(x) 是连续函数f(x) 的一个原函数? 又根据定理2? 积分上限函数

b

?(x)??af(t)dt

也是f(x)的一个原函数? 于是有一常数C? 使

x F(x)??(x)?C (a?x?b)?

当x?a时? 有F(a)??(a)?C? 而?(a)?0? 所以C?F(a)? 当x?b 时? F(b)??(b)?F(a)? 所以?(b)?F(b)?F(a)? 即

?af(x)dx?F(b)?F(a)?

为了方便起见? 可把F(b)?F(a)记成[F(x)]ba? 于是 ?af(x)dx?[F(x)]ba?F(b)?F(a)?

进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系?

b

b第三节 定积分换元积分法与分部积分法

一、换元积分法

定理 假设函数f(x)在区间[a? b]上连续? 函数x??(t)满足条件? (1)?( ?)?a ? ?(?)?b?

(2)?(t)在[?? ?](或[?? ?])上具有连续导数? 且其值域不越出[a? b]? 则有

b?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt?

这个公式叫做定积分的换元公式?

二、分部积分法

设函数u(x)、v(x)在区间[a? b]上具有连续导数u?(x)、v?(x)? 由 (uv)??u?v ?u v?得u v??u v?u?v ? 等式两端在区间[a? b]上积分得

ba??au?vdx? 或?audv?[uv]a??avdu? ?auv?dx?[uv]bbbbb?这就是定积分的分部积分公式? 分部积分过程?

ba??avdu?[uv]a??au?vdx? ? ? ? ? ?auv?dx??audv?[uv]bbbbb

f?(x0)?lim

?h?0?0f(x0?h)?f(x0)f(x)?f(x0)。 ?limx?x0?0hx?x0定理1：f(x)在x?x0点可导?f(x)在x?x0点的左导数和右导数均存在，且相等，即 f?(x0)?f?(x0)。

注 1：[例8]也说明左可导又右可导，也不能保证可导； 2：左、右导数统称为单侧导数；

3：若f(x)在(a,b)内可导，且在x?a点右可导，在x?b点左可导，即f?(a),f?(b)存在，就称f(x)在[a,b]上可导。

????四、导数的几何意义

由前面的讨论知：：函数y?f(x)在x?x0的导数f?(x0)就是该曲线在x?x0点处的切线斜率k，即k?f?(x0)，或f?(x0)?tan?,?为切线的倾角。从而，得切线方程为

y?y0?f?(x0)(x?x0)。若f?(x0)??，????2或??2 ?切线方程为：x?x0。过

切点P(x0,y0)，且与P点切线垂直的直线称为y?f(x)在P0点的法线。如果f?(x0)?0，法线的斜率为?11，此时，法线的方程为：y?y0??(x?x0)。

f?(x0)f?(x0) 如果f?(x0)=0，法线方程为x?x0。

五、函数的可导性与连续性之间的关系

定理2：如果函数y?f(x)在x?x0点可导，那么在该点必连续。 注 1：本定理的逆定理不成立，即连续未必可导。 反例：y?x在x?0点连续，但不可导。

导数的概念

一、

导数概念的引入

问题Ⅰ：瞬时速度问题。 直线运动方程s=s(t)

t0?t时间间隔的平均速度v?s(t)?s(t0)

t?t0

t0时刻的瞬时速度v(t0)?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0问题Ⅱ：曲线切线的斜率。y?f(x)

kM0M?tan??y f(x0??x)?f(x0)MN?M0N?xy=f(x)

T M M0 N α φ o x0 x0+△x x

M?M0limkM0M?tan??kM0T?lim导数的定义

?x?0f(x0??x)?f(x0)

?x二、

定义1：设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量在x0取得增量?x时，相应地函数y取得的增量?y?f(x0??x)?f(x0)，若极限lim点x0处可导，称这个极限为y?f(x)在点x0处的导数，记为

?y存在，则称函数y?f(x)在

?x?0?xdydf(x)|x?x0，|x?x0 dxdxf(x0??x)?f(x0)?y?lim即f'(x0)?lim

?x?0?x?x?0?xf(x??x)?f(x)定义2（导函数） f'(x)?lim

?x?0?xf'(x0)，y'|x?x0，

导函数?导数（值） f'(x0)?f'(x)|x?x0

求导法则

一、 函数的线性组合、积、商的求导法则

1．若f(x)??u(x)??v(x)，则f'(x)??u'(x)??v'(x) ?,? 为常数 2．若f(x)?u(x)?v(x)，则f'(x)?u'(x)v(x)?u(x)v'(x) 推广：(uvw)'?u'vw?uv'w?uvw' 3．若f(x)?u(x)u'v(x)，v(x)?0，f'(x)?(x)v(x)?u(x)v'(x)[v(x)]2 二、

反函数的导数

x??(y)在Iy单调、连续?反函数y?f(x)在Ix单调、连续。 ?y?f(x??x)?f(x)?0，

?y?x?1?x?f'(x)?1?'(y) ?y

第二节 函数的求导法则

教学目的：1.使学生掌握函数的和、差、积、商的求导法则；

2使学生掌握反函数的导数法则、复合函数的求导法则；

3使学生熟练掌握初等函数的求导公式。

教学重点：初等函数的求导公式、复合函数的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则

定理 1：若函数u(x)和v(x)在点x0都可导，则f(x)?u(x)?v(x)在x0点也可导，且 f?(x0)?u?(x0)?v?(x0)。

注 1：本定理可推广到有限个可导函数上去。

2：本定理的结论也常简记为(u?v)??u??v?。

定理2：若u(x)和v(x)在x?x0点可导，则f(x)?u(x)v(x)在x0点可导，f?(x0)?u?(x0)v(x0)?u(x0)v(x0)?。

注 1：若取v(x)?c为常数，则有：(cu)??cu?；

2：本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如： (uvw)??u?vw?uv?w?ucw?

(uvws)??u?vws?uv?ws?uvw?s?uvws?等。 且有

定理3：若u(x),v(x)都在x?x0点可导，且v(x0)?0，则f(x)?u(x)在x0点也可导，且v(x)f?(x0)?u?(x0)v(x0)?u(x0)v?(x0)。 2v(x0)11，及[]的求导公式来得； v(x)v(x)

注1：本定理也可通过f(x)?u(x)?2：本公式简化为()??uvu?v?uv?； 2v3：以上定理1~3中的x0，若视为任意，并用x代替，使得函数的和、差、积、商的求导函数公式。

二、反函数的导数法则

定理1：设y?f(x)为x??(y)的反函数，若?(y)在y0的某邻域内连续，严格单调，且，且f?(x0)???(y0)?0，则f(x)在x0（即f(y0)点有导数）

1。

??(y0)注1：x?x0?y?y0，因为?(y)在y0点附近连续，严格单调；

dy11dydx?,均为整体或，其中

??(y)dx(dx)dxdydy 2：若视x0为任意，并用x代替，使得f?(x)?记号，各代表不同的意义；

3：f?(x)和??(y)的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。

三、初等函数的求导公式

1、 常数和基本初等函数的求导公式：

（1）(c)??0 （2）(x)???x???1

（3）(sinx)??cosx （4）(cosx)???sinx （5）(tanx)??secx （6）(cotx)???cscx （7）(secx)??secx?tanx （8）(cscx)???cscx?cotx

22

（9）(ax)??axlna （10）(ex)??ex （11）(logax)??11 （12）(lnx)?? xlnax（13）(arcsinx)??11?x2 （14）(arccosx)???11?x2

11?(arccotx)?? （16）

1?x21?x2（17）(shx)??chx （18）(chx)??shx

1（19）(thx)?? 2chx（15）(arctanx)??（20）(arcshx)??(ln(x?x2?1))??1x?11x?122

（21）(arcchx)??(ln(x?x2?1))??

（22）(arcthx)??(ln

121?x1)?? 1?x1?x2四、复合函数的求导法则

复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。

定理2（复合函数求导法则）：如果u??(x)在x?x0点可导，且y?f(u)在u?u0??(x0) 点

也可导，那么，以y?f(u)为外函数，以u??(x)为内函数，所复合的复合函数

y?f(?(x))在

x?x0点可导，且

dydxx?x0?f?(u0)??(x0)，或

[f(?(x))]?x?x0?f?(u0)??(x0)

注 1：若视x0为任意，并用x代替，便得导函数：

df(?(x))?f?(?(x))???(x)，或[f(?(x))]??f?(?(x))???(x) dxdydydu?? 或。 dxdudx 2：f?(?(x))与[f(?(x))]?不同，前者是对变量u??(x)求导，后者是对变量x求导，注意

区别。

3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。

4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如：