湖州市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

湖州市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为棱A1B1中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，若

?PBQ??PBD1，则动点Q的轨迹所在曲线为（ ）

A.直线 B.圆

C.双曲线 D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.

2． 直线： （为参数）与圆：（为参数）的位置关系是（ ）

A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心 3． 复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（ ） A．1

4． 已知x，y∈R，且积为（ ） A．4

﹣

B．4

﹣

C．

D．

+

B．﹣1

C．i

D．﹣i

，则存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P（x，y）构成的区域面

5． 如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（ ）

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A．

B． C． D．

6． 若椭圆A．1

+=1的离心率e=

B．

或

，则m的值为（ ）

C．

D．3或

7． 下列函数在（0，+∞）上是增函数的是（ ） A．

B．y=﹣2x+5

C．y=lnx

D．y=

8． 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则异面直线EF和BC1所成的角是（ ）

A．60° B．45° C．90° D．120° 9． 用反证法证明命题“a，b∈N，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是如果ab可被5整除，那么a，（ ） A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不能被5整除 D．a，b有1个不能被5整除 10．函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（ ） A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，3）

36p， 11．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段AC11的中点，若四面体M-ABD的外接球体积为则正方体棱长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 12．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（89）+f（90）为（ ）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

二、填空题

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13．抛物线y=x2的焦点坐标为（ ） A．（0，

）

B．（

，0）

C．（0，4） D．（0，2）

14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为 ． 15．函数f?x??log2x在点A?1,2?处切线的斜率为 ▲ ．

16．若正数m、n满足mn﹣m﹣n=3，则点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离最小值是 ． 17．AA1=2cm， 长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB=AD=4cm，则点A1到平面AB1D1的距离等于 cm．

18．设a抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为 ．

三、解答题

19．已知椭圆Γ：M．

（a＞b＞0）过点A（0，2），离心率为

，过点A的直线l与椭圆交于另一点

（I）求椭圆Γ的方程；

（II）是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆Γ的右焦点F且与直线 x﹣2y﹣2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

20．已知

，且

．

，求sinβ的值．

（1）求sinα，cosα的值； （2）若

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21．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点． （1）求椭圆C的方程；

求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

22． （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF?平面ABCD，EF//AB，

（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，

AD?2,AB?AF?2EF?1，点P在棱DF上.

（1）求证：AD?BF；

（2）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （3）若FP?1FD，求二面角D?AP?C的余弦值. 3

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23．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是

月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）． （1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式； 利润预计最大是多少元？

24．在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点(2,0)且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨 迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；111]

（2）过点(1,0)作互相垂直的两条直线，，与曲线C交于A，B两点与曲线C交于E，F两点， 线段AB，EF的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．

且x≤12），该商品的进价q（x）元与

（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月

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湖州市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C.

【解析】易得BP//平面CC1D1D，所有满足?PBD1??PBX的所有点X在以BP为轴线，以BD1所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q的轨迹为该圆锥面与平面CC1D1D的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q的轨迹是双曲线，故选C. 2． 【答案】D

【解析】【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化 【试题解析】将参数方程化普通方程为：直线：圆心（2,1），半径2． 圆心到直线的距离为：

圆

：

，所以直线与圆相交。

又圆心不在直线上，所以直线不过圆心。 故答案为：D 3． 【答案】A

【解析】解：由复数虚部的定义知，i﹣1的虚部是1， 故选A．

【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．

4． 【答案】 A

若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立， 则令sinα=则方程等价为即sin（α+θ）=﹣

（

cosθ+，则cosθ=

sinθ）=﹣1， ，

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，

sin（α+θ）=﹣1，

，

∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立， ∴|﹣

|≤1，即x2+y2≥1，

则对应的区域为单位圆的外部，

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由，解得，即B（2，2

×

）， =4

，

A（4，0），则三角形OAB的面积S=直线y=则∠AOB=

x的倾斜角为

，

，

﹣

，即扇形的面积为

则P（x，y）构成的区域面积为S=4故选：A

，

【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．

5． 【答案】C

【解析】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱， 底面是一个边长是侧棱长是

，

×2=6+

，

的等边三角形，

∴三棱柱的面积是3×故选C．

【点评】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查由三视图确定几何图形，考查三角形面积的求法，本题是一个基础题，运算量比较小．

6． 【答案】D

【解析】解：当椭圆由e=

，得

=+

，b=

，c=

=1的焦点在x轴上时，a=，即m=3

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当椭圆由e=即m=故选D

+=1的焦点在y轴上时，a=

=

，

，b=

，c=

，得．

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题时要对椭圆的焦点在x轴和y轴进行分类讨论．

7． 【答案】C

【解析】解：对于A，函数y=

在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；

对于B，函数y=﹣2x+5在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意； 对于C，函数y=lnx在（0，+∞）上是增函数，∴满足题意； 对于D，函数y=在（0，+∞）上是减函数，∴不满足题意． 故选：C．

【点评】本题考查了基本初等函数的单调性的判断问题，是基础题目．

8． 【答案】A

【解析】解：如图所示，设AB=2，

则A（2，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（2，2，1）． ∴∴∴

=（﹣2，0，2），

==60°．

=（0，1，1），

=

=，

∴异面直线EF和BC1所成的角是60°． 故选：A．

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【点评】本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9． 【答案】B

【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．

命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．

故应选B．

【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．

10．【答案】C

【解析】解：∵f（1）=1＞0，f（2）=1﹣2ln2=ln＜0， ∴函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（1，2）． 故选：C．

【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．

11．【答案】C

12．【答案】D

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【解析】解：∵f（x+2）为奇函数， ∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）， ∵f（x）是偶函数，

∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）=f（x﹣2）， 即﹣f（x+4）=f（x），

即函数f（x）是周期为8的周期函数， 则f（89）=f（88+1）=f（1）=1， f（90）=f（88+2）=f（2）， 由﹣f（x+4）=f（x）， 则f（2）=0， 故选：D．

则f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），

得当x=﹣2时，﹣f（2）=f（﹣2）=f（2）， 故f（89）+f（90）=0+1=1，

【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．

二、填空题

13．【答案】D

22

【解析】解：把抛物线y=x方程化为标准形式为x=8y，

∴焦点坐标为（0，2）． 故选：D．

【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．

14．【答案】 平行 ．

【解析】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，

AB1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，AB1∩AD1=A C1D?平面BC1D，BC1?平面BC1D，C1D∩BC1=C1 由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D 故答案为：平行．

【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．

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15．【答案】【解析】 试题分析：

1 ln2f??x??11?k?f??1?? xln2ln2考点：导数几何意义

【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 16．【答案】

．

，

【解析】解：点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离为d=∵mn﹣m﹣n=3，

∴（m﹣1）（n﹣1）=4，（m﹣1＞0，n﹣1＞0）， ∴（m﹣1）+（n﹣1）≥2∴m+n≥6， 则d=故答案为：

．

≥3

．

，

【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．

17．【答案】

【解析】解：由题意可得三棱锥B1﹣AA1D1的体积是三角形AB1D1的面积为4则h=

．

，设点A1到平面AB1D1的距离等于h，则

=

，

，

故点A1到平面AB1D1的距离为故答案为：

18．【答案】

． ．

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【解析】解：∵a是甲抛掷一枚骰子得到的点数， ∴试验发生包含的事件数6，

2

∵方程x+ax+a=0 有两个不等实根， 2

∴a﹣4a＞0，

解得a＞4， ∵a是正整数， ∴a=5，6，

即满足条件的事件有2种结果， ∴所求的概率是=， 故答案为：

【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）依题意得，解得，

所以所求的椭圆方程为；

（Ⅱ）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x﹣2y﹣2=0相切，

因为以AM为直径的圆C过点F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM， 又由

=﹣1，所以直线MF的方程为y=x﹣2， 消去y，得3x﹣8x=0，解得x=0或x=，

2

，

所以M（0，﹣2）或M（，），

22

（1）当M为（0，﹣2）时，以AM为直径的圆C为：x+y=4，

则圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==≠

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所以圆C与直线x﹣2y﹣2=0不相切；

），半径为r=

=

=

，

（2）当M为（，）时，以AM为直径的圆心C为（

=r，

所以圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d=

所以圆心C与直线x﹣2y﹣2=0相切，此时kAF=

综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为x+2y﹣4=0．

，所以直线l的方程为y=﹣

+2，即x+2y﹣4=0，

【点评】本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在，由此推理，若符合题意，则存在，否则不存在．

20．【答案】 【解析】解：（1）将sin

∴sinα=， ∵α∈（∴cosα=﹣（2）∵α∈（∴α+β∈（

+cos

=

两边平方得：（sin

=﹣

；

），

=﹣，

+cos

22

）=sin

+2sincos

+cos2

=1+sinα=，

+

=

．

，π），

，π），β∈（0，，

），

∵sin（α+β）=﹣＜0， ∴α+β∈（π，∴cos（α+β）=﹣

），

则sinβ=sin=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×（﹣

）﹣（﹣）×=

【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．

21．【答案】

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【解析】解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为F（﹣2，0），从而有

（a＞0，b＞0），且可知左焦点为

，解得c=2，a=4，

．

2222

又a=b+c，所以b=12，故椭圆C的方程为

（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，

由22

得3x+3tx+t﹣12=0，

因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）﹣4×3（t﹣12）≥0，解得﹣4

2

2≤t≤4

，

另一方面，由直线OA与l的距离4=由于±2

?[﹣4

，4

，从而t=±2，

]，所以符合题意的直线l不存在．

【点评】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．

22．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查了线面垂直、线线垂直等位置关系及线线角、二面角的度量，突出考查逻辑推理能力及利用坐标系解决空间角问题，属中等难度.

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（3）因为AB?平面ADF，所以平面ADF的一个法向量n1?(1,0,0).由FP?且此时P(0,1FD知P为FD的三等分点32222,).在平面APC中，AP?(0,,)，AC?(1,2,0).所以平面APC的一个法向量3333n2?(?2,1,?1).……………………10分

所以|cos?n1,n2?|?|n1?n2||n1||n2|?6，又因为二面角D?AP?C的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为36.……………………………………………………………………12分 323．【答案】

【解析】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37.

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当2≤x≤12时，

且x≤12）

（舍

22

验证x=1符合f（x）=﹣3x+40x，∴f（x）=﹣3x+40x（x∈N*且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为

g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），

322

令h（x）=6x﹣185x+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得

去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0． 综上，5月份的月利润最大是3125元.

∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．

【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．

24．【答案】（１） y2?4x；（２）证明见解析；(3,0)． 【解析】

（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，A(x1,y1)，B(x2,y2)， 则直线：y?k(x?1)，M(x1?x2y1?y2,)， 22?y2?4x,2222由?得kx?(2k?4)x?k?0， ?y?k(x?1),??(2k2?4)2?4k4?16k2?16?0，

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考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．

【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当f(x)不含参数时，可通过解不等式f'(x)?0(f'(x)?0)直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件

f'(x)?0(f'(x)?0),x?(a,b)恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意

参数的取值是f'(x)不恒等于的参数的范围．

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