2012北京市海淀区高三考前查漏补缺题(数学)

高考冲刺用题

数学查漏补缺题

说明：查漏补缺题是在海淀的四次统练基础上的补充，题目以中档题为主，部分题目是弥补知识的漏洞，部分是弥补方法的漏洞，还有一些是新的变式题，请老师们根据学生的情况有选择地使用或改编使用．

最后阶段的复习，在做好保温工作的前提下，指导学生加强反思，梳理典型问题的方法，站在学科高度建立知识之间的联系，融会贯通，以进一步提升学生的分析、解决问题的能力为重点．

1、已知原命题：“若a b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，则原命题与其否命题的真假情况是 （ ）

BD2

，x 1的部分

A． B． C． D． 3、若直线

x 3t, y 1 4t,

(t为参数)与圆

x 3cos , y b 3sin ,

（ 为参数）相切，则b （ ）

A 4或6 6或4 1或9 9或1

4、若sin

A．

π

3 x 4 5

，则sin2x的值为 （ ）

1625

1925

B． C．

1425

D．

725

，b f，

5、定义在R上的函数f(x)满足f(x 1) f(x)，当x∈（0，1]时，f(x) cosx，设a f)50.(

c f，则a，b

，c大小关系是（ ）

B．a c b

C．b c a

D．c b a

A．a b c

6、设集合A {(x,y)y ax}，B {(x,y)y≥x 1或y≥ x 1}． 若A B，则正实数a的取值范围是

A． 0, e

1

B．

1

,e e

C． 1,

2

e

D． e,

高考冲刺用题

7、函数f(x) ex x2的图象是 （ ）

A． B． C． D．

8、若(x2 )5的展开式中不含x ( R)的项，则 的值可能为（ ）

x1

A． 5 B． 1 C． 7 D． 2 9、函数y sin2x 2sinxsin(x

3

)的图象的对称轴是

10、设曲线的极坐标方程为sin2 1，则其直角坐标方程为．

11、以原点为顶点，以x轴正半轴为始边的角 的终边与直线y 2x 1垂直，则cos _____________． 12、 设函数f(x) sin( x )，其中

．若f( ) f(x) f()对任意x R恒成立，则正数 的

6

3

最小值为_________，此时， =____________．

13、在区间 1,1 上随机的取两个数a，b，使得方程bx 2ax 1 0有两个实根的概率为_______．

2

14、从54张扑克牌中抽出一张，抽到的扑克牌为梅花的概率为________, 抽到的扑克牌为K的条件下恰好是梅花的概率为_________．

b满足：15、已知向量a，则a与b的夹角为 ； |a| 1,|b| 6,a (b a) 2，|2a b| ．

16、某单位员工按年龄分为老、中、青三组，其人数之比为1:5:3，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为18的样本，已知老年职工组中的甲、乙二人均被抽到的概率是________人。

17、将一张边长为12cm的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折成一个有底的正四棱锥模型，如图2放置．若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则四棱锥的体积是___________cm3．

128

，则该单位员工总数为

图1 图2 图3

18、一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P处观测到灯一直线上，并与航线成30°角．轮船沿航线前进600米到时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东15°

塔A,B在

达C处，此方向．则两

高考冲刺用题

灯塔之间的距离是__________米． 19、已知点P为曲线y x2与y alnx(a 0)的公共点，且两条曲线在点P处的切线重合，则a= ．

20、如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f(f(0)) ；函数f(x)在x 1处的导数

f (1) ；

6

函数f(x)的极值点是 ； f(x)dx= ．

21、如图， AC是⊙O的一段劣弧，弦CD平分 ACB交 AC于点D，BC切 AC于点C，延长弦AD交

BC

于点B，

（1）若 B 750，则 ADC _____， （2）若⊙O的半径长为

52

，CD 3，则BD _______

22、已知函数f(x) e xsinx（其中e 2.718 ）．

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）求f(x)在[ , )上的最大值与最小值．

23、某班同学寒假期间在三个小区进行了一次有关“年夜饭在哪吃”的调查，若年夜饭在家吃的称为“传统族”，否则称为“前卫族”，这两类家庭总数占各自小区家庭总数的比例如下：

的概率)；

（Ⅱ）在C小区按上述比例选出的20户家庭中，任意抽取3户家庭，其中“前卫族”家庭的数量记为X，求X的分布列和期望EX．

24、申请某种许可证，根据规定需要通过统一考试才能获得，且考试最多允许考四次． 设X表示一位申请者经过考试的次数，据统计数据分析知X的概率分布如下：

（Ⅰ）求一位申请者所经过的平均考试次数；

高考冲刺用题

（Ⅱ）已知每名申请者参加X次考试需缴纳费用Y 100X 30 （单位：元）,求两位申请者所需费用的和小于500元的概率；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下, 4位申请者中获得许可证的考试费用低于300元的人数记为 ，求 的分布列．

25、在 ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c． 满足2acosC ccosA b． （Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求sinAcosB sinB的最大值．

26、设数列 an 的前n项和为Sn，且满足S1 2,Sn 1 3Sn 2(n=1,2,3 )． （Ⅰ）求证：数列 Sn 1 为等比数列； （Ⅱ）求通项公式an；

bn

是首项为a n

（Ⅲ）若数列 1，公差为2的等差数列,求数列 bn 的前n项和为Tn．

27、已知抛物线x2 y，O为坐标原点．

（Ⅰ）过点O作两相互垂直的弦OM,ON,设M的横坐标为m，用m表示△OMN的面积，并求

△OMN面积的最小值；

2

（Ⅱ）过抛物线上一点A 3,9 引圆x y 2 1的两条切线AB、AC,分别交抛物线于点

2

B、C, 连接BC，求直线BC的斜率．

28、若圆C过点M（0，1）且与直线l:y 1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B（A在y轴的右

侧）为曲线E上的两点，点P(0,t)(t 0)，且满足AB PB( 1). （Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N

21

的方程；

（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l上，求证：t与QA QB

均为定值．

高考冲刺用题

参考答案：

1．A 2．C 3．A 4．D 5．B 6．B 7．A 8．D 9． x k (k Z) 10． y x 11．

15．

3

5

或

5

12． 2，

6

13．

19

23

14．

1354

，

14

，

． 解：按分层抽样应该从老年职工组中抽取18

C2Cn

22

2

人，所以不妨设老年职工

组共有n人，人． 17．

3

128

，解得：n 8，所以该单位共有员工8 9 72

18．

900 19． 2e 20． 2， 2， 2， 12 21． 110°,

x

2513

)

22．

（Ⅰ）解：f'(x) esinx ecosx

x

x

e

x

．

令f'(x) 0，解得：x k

因为当x (2k 当x (2k

4

3 4,2k 5 4

4

,k Z

．

4

),k Z

时，f'(x) 0；

,2k ),k Z

时，f'(x) 0，

3 4

k, 2

所以f(x)的单调递增区间是(k2

(k2

4

k Z),

，单调递减区间是

4

k, 2

5 4

k Z)．,

3 4

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在[ , f( ) 0,f()

4

)

上单调递减，在(

3 4)

2

3

,)上单调递增，在(, ]上单调递减．

4443

2

4

, f( ) 0,f(

2

2

3

4

0

4

所以f(x)在[ ,

]

当x [ , )时，

74

，最小值为

4

．

1e

π

1e

x

sinxe

x

1e

x

1e

π

．

因为

e>e

π

34

π

e

π

1

sinx11 4

所以

π

π，即x x π π ，

eee2e

e4e4

1e

π

2

3π

4

，即

4

sinxe

x

2

3π

4

．

2

4

综上所述，当x

时，f(x)在[ ,

)上取得最大值f()

4

；当x 时，f(x)在[ , )

4

3

高考冲刺用题

上取得最小值f( )

4

32

3

4

．

23． 解：

（Ⅰ）记这3个家庭中恰好有2个家庭是传统族为事件M．

P M

12

23

14

12

13

34

12

23

34

1124

．

(Ⅱ) 在C小区选择的20户家庭中, “前卫族”家庭有5户，X的可能取值为0，1，2，3．则

P X 0

C5C15C20C5C15C

3201

230

3

91228

；

P X 1

3576

；

P X 2

C5C15C

3320

21

538

；

P X 3

C5C15C

320

1114

；

所以 X的分布列为

EX 0

91228

1

3576

2

538

1114

5776

3

24． 解：（Ⅰ）由X的概率分布可得

0.1 x 0.1 0.3 1． x 0.5．

E(X) 0.1 1 0.5 2 0.3 3 0.1 4

2.4

．

所以一位申请者所经过的平均考试次数为2．4次．

（Ⅱ）设两位申请者均经过一次考试为事件A，有一位申请者经历两次考试一位申请者经历一次考试为事件B，两位申请者经历两次考试为事件C，有一位申请者经历三次考试一位申请者经历一次考试为事件D．因为考试需交费用Y 100X 30,两位申请者所需费用的和小于500元的事件为A B C D．

P(A B C D) 0.1 0.1 2 0.5 0.5 0.3 0.3 2 0.1 0.3 =0.61

所以两位申请者所需费用的和小于500元的概率为0．61．

（Ⅲ）一位申请者获得许可证的考试费用低于300元的概率为， 的可能取值为0,1,2,3,4．

53

1696 2 1 3 2

P( 0) , P( 1) C4,

625625 5 5 5

43

高考冲刺用题

216 3 2 3 2 216

,P( 3) C43 P( 2) C

625 5 5 5 5 625

2

4

2

2

3

81 3

． P( 4)

5625

4

的分布列为

25． 解：（Ⅰ）由正弦定理及2acosC ccosA b得， 2siAncCo ssCinA cos．B 在 ABC中，A B C ， A C B，即sin(A C) sinB．

2sinAcosC sinCcosA sin(A C) sinAcosC sinB sinAcosC sinB

os 0 sinAcC

又 0 A ，0 C ，

sinA 0． cosC 0

．

C

2

．

2

（Ⅱ）由（Ⅰ）得C ， A B

2

2

，即B

2

2

A

．

12)

2

sinAcosB sinB cosB sinB sinB sinB 1 (sinB

54

，0 B

2

，

当sinB

12

，即B

6

时，sinAcosB sinB取得最大值

54

．

26． 证明：（Ⅰ）因为 Sn 1 3Sn 2,

所以

Sn 1 1Sn 1

3Sn 2 1Sn 1

3

．

又S1 1 3,

所以 Sn 1 是首项为3，公比为3的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn 3n 1,n N*．

当n 1时，a1 S1 2．

当n 1时，an Sn Sn 1 (3n 1) (3n 1 1) 3n 1(3 1) 2 3n 1． 故an 2 3n 1,n N*．

高考冲刺用题

（Ⅲ）因为 数列 所以

bnan

bn

是首项为 an

1，公差为2的等差数列，

1 2(n 1) 2n 1．

所以 bn 2(2n 1) 3n 1．

所以 Tn 2 1 30 2 3 31 2(2n 1) 3n 1．

所以 3Tn 2 1 31 2 3 32 2(2n 3) 3n 1 2(2n 1) 3n．

所以 2Tn 2 4 31 4 32 4 3n 1 2(2n 1) 3n 2 2 3n 6 2(2n 1) 3n (4 4n) 3n 4．

所以 Tn 2 (2n 2) 3n．

27． 解：（Ⅰ）设M(x1,x12),N(x2,x22)．由OM ON得x1x2 1． 因为 x1 m,所以x2

1m

．

所以

OM ON

．

所以

S OMN

12

OMON

1．

所以 当m 1时，△OMN面积取得最小值1．

（Ⅱ）设B(x3,x32),C(x4,x42)，直线AB的方程为y 9 k1(x 3)，AC的方程为y 9 k2(x 3)． 因为 直线AB、AC与圆x y 2 1相切，

2

2

所以

1．

所以 4k12 21k1 24 0,4k22 21k2 24 0． 所以 k1,k2是方程4k2 21k 24 0的两根． 所以 k1 k2

214

．

2

y x,

由方程组 得x2 k1x 9 3k1 0．

y 9 k1(x 3)

所以 x3 3 k1，同理可得：x4 3 k2．

高考冲刺用题

所以 直线BC的斜率为

x4 x3

22

x4 x3

x4 x3 k1 k2 6

34

．

28． 解、（Ⅰ）因为点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，根据抛物线定义可知，点C的轨迹

是以点M为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为：x2 4y．

（Ⅱ）因为t=6，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程是y

21

12x 6

．

1

y x 6,

由 得点A，B的坐标分别是(6,9),( 4,4)． 2

x2 4y

因为 y'

12

x

，所以 抛物线x2 4y在点A处切线的斜率为 6 3．

2

1

1

所以 直线NA的方程为y x 11．

3

由线段AB的中点(1,

132

)

得线段AB的垂直平分线方程为y

132

2(x 1)

，即y 2x

172

．

13 y x 11,x , 323 32由 得 即N( ,)．

22 y 2x 17 y 23.

2 2

所以 圆C的方程为(x )2 (y

2

3232

) ( 4

2

32

) (4

2

232

)

2

1252

．

（Ⅲ）设A(x1,

x12

x14

2

),B(x2,

x24

2

2

),Q(m, 1)．

+1+1

x2x4 , 由可知，x1,x2是方程即x2 2mx 4 0的两根，所以

x1 m2x2 m2x m2

x1

x1 x2 2m,x1x2 4．

+1

x2

x

2

t

又因为A，P，B共线，所以．

x2 x1x1

x2

2

x1

2

x1

2

即x1x2 4t． 所以 4t 4．

即 t 1． 所以

22 x1x2

QA QB (x1 m, 1) (x2 m, 1)

44

(x x1x2 m1

2

2

x1x2

x) m2

16

2

22

x 1

2

x24

2

1

4 2m m 1 所以 t与QA QB均为定值．

4m 8

4

2

1 0．

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