概率论与数理统计教案(48课时)
更新时间:2023-08-13 05:36:01 阅读量: IT计算机 文档下载
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GB8878185555334563BT9125XW
创作者:凤呜大王*
《概率论与数理统计》课程教案
第一章随机事件及其概率
一.本章的教学目标及基本要求
(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念;
(2)掌握随机事件之间的关系与运算,;
(3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算;
(4)理解事件频率的概念,了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5)理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。二.本章的教学内容及学时分配
第一节随机事件及事件之间的关系
第二节频率与概率2学时第三节等可能概型(古典概型) 2 学时第四节条件概率
第五节事件的独立性 2 学时三.本章教学内容的重点和难点
1)随机事件及随机事件之间的关系;
2)古典概型及概率计算;
3)概率的性质;
4)条件概率,全概率公式和Bayes公式
5)独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理
四.教学过程中应注意的问题
1)使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件;
2) 注意让学生理解事件,,,,,A B A B A B A B AB A ???-=Φ…的具体含义,
理解事件的互斥关系;
3) 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律;
4) 古典概率计算中,为了计算样本点总数和事件的有利场合数,经常要用到排
列和组合,复习排列、组合原理;
5) 讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回;
五.思考题和习题
思考题:1. 集合的并运算?和差运算-是否存在消去律?
2. 怎样理解互斥事件和逆事件?
3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点?哪些相同点? 习题:
第二章 随机变量及其分布
一.本章的教学目标及基本要求
(1) 理解随机变量的概念,理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续 型随机变量的概率分布及其性质,会运用概率分布计算各种随机事件的概率;
(2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质;
二.本章的教学内容及学时分配
第一节 随机变量
第二节 第二节 离散型随机变量及其分布
离散随机变量及分布律、分布律的特征
第三节 常用的离散型随机变量
常见分布(0-1分布、二项分布、泊松分布) 2学时
第四节 随机变量的分布函数
分布函数的定义和基本性质,公式
第五节 连续型随机变量及其分布
连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学
时
第六节 常用的连续型随机变量
常见分布(均匀分布、指数分布、正态分布)及概率计算 2学
时
三.本章教学内容的重点和难点
a) 随机变量的定义、分布函数及性质;
b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数,如何用分布律或密度函数
求任何事件的概率;
c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态
分布);
四.教学过程中应注意的问题
a) 注意分布函数(){}F x P X x =<的特殊值及左连续性概念的理解; b)
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c) 构成离散随机变量X 的分布律的条件,它与分布函数()F x 之间的关系; d) 构成连续随机变量X 的密度函数的条件,它与分布函数()F x 之间的关系; e) 连续型随机变量的分布函数()F x 关于x 处处连续,且()0P X x ==,其中x
为任意实数,同时说明了()0P A =不能推导A =Φ。
f) 注意正态分布的标准化以及计算查表问题;
五.思考题和习题
思考题:1. 函数
,0()1,0x x e x F x e x -?<?=?-≥??是否是某个随机变量的分布函数? 2. 分布函数()F x 有两种定义——{}{}P X x or P X x <≤,主要的
区别是什么?
3. 均匀分布与几何概率有何联系?
4. 讨论指数分布与泊松分布之间的关系。
5.列举正态分布的应用。
习题:
第三章 多维随机变量及其分布
一.教学目标及基本要求
(1) 了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质,了解二维离散型和
连续
型随机变量定义及其概率分布和性质,了解二维均匀分布和正态分布。
(2) 会用联合概率分布计算有关事件的概率,会求边缘分布。
(3) 掌握随机变量独立性的概念,掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。
(4) 会求两个独立随机变量的简单函数(如函数X+Y , max(X, Y), min(X, Y))的分
布。
二.教学内容及学时分配
第一节 二维随机变量
二维随机变量及其分布,离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其密度函数、它们的性质、n 维随机变量 2学时
第二节 边缘分布
边缘分布律、边缘密度函数 2学时
第三节 条件分布 1学时
第四节 相互独立的随机变量
两个变量的独立性,n 个变量的独立性 1学时
第四节 二维随机变量的函数的分布
已知(X,Y)的分布率p ij 或密度函数(,)x y ?,求(,)Z f X Y =的分布律或
密度函数()Z z ?。特别如函数形式:
,max(,),min(,)Z X Y Z X Y Z X Y =±==。
2学
时
三.本章教学内容的重点和难点
a) 二维随机变量的分布函数及性质,与一维情形比较有哪些不同之处;
b) 边缘密度函数的计算公式:()(,)X x x y dy
??+∞
-∞=?的运用,特别是积分限的
确定和变量x 的取值范围的讨论;
c) 随机变量独立性的判定条件以及应用独立性简化计算,如由边缘分布律或密
度函数可以确定联合分布律或联合密度函数;
d) 推导Z X Y =+的密度函数的卷积公式:
()(,)X Y t x t x dx ??+∞
+-∞=-?,正确使
用卷积公式; e) 在X ,Y 独立性的条件下,推导max(,),min(,)Z X Y Z X Y ==的密度函数,
注意它们在可靠性方面的应用。
四.教学过程中应注意的问题
a) 注意联合分布函数能决定任意随机变量X 或Y 的分布(边缘分布),反之则
不能确定(X ,Y)的联合分布,由正态分布可以说明;
b) 在判断两个随机变量是否独立过程中,如果存在某点00(,)x y ,使得:
0000(,)()()P X x Y y P X x P Y y ==≠==或0000(,)()()X Y x y x y ???≠,则称变量X 与Y 不独立;
c) 一般计算概率使用如下公式:
(,)((,))(,)x y G P X Y G x y dxdy ?∈∈=
??,注意二重积分运算知识点的复习。 d) 二维均匀分布的密度函数的具体表达形式。
五.思考题和习题
思考题:1. 由随机变量,X Y 的边缘分布能否决定它们的联合分布?
2. 条件分布是否可以由条件概率公式推导?
3. 事件的独立性与随机变量的独立性是否一致?
4.如何利用随机变量之间的独立性去简化概率计算,试举例说明。 习题:
第四章 随机变量的数字特征
一.教学目标及基本要求
(1) 理解数学期望和方差的定义并且掌握它们的计算公式;
(2) 掌握数学期望和方差的性质与计算,会求随机变量函数的数学期望,特别是利用期望或方差的性质计算某些随机变量函数的期望和方差。
(3) 熟记0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期 望和方差;
(4) 了解矩、协方差和相关系数的概念和性质,并会计算。
二.教学内容及学时分配
第一节数学期望
离散型、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、数
学期望的应用、数学期望的性质
3学时
第二节方差
方差的概念及计算、方差的性质、常见分布的数学期望及方差简单归纳
2学时
第三节协方差与相关系数2学时
第四节矩和协方差矩阵1学时
三.本章教学内容的重点和难点
a)数学期望、方差的具体含义;
b)
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c)数学期望、方差的性质,使用性质简化计算的技巧;特别是级数的求和运算。
d)期望、方差的应用;
四.本章教学内容的深化和拓宽
将数学期望拓展到数学期望向量和数学期望矩阵;协方差及相关系数概念和公式拓宽到n维随机变量的协方差矩阵和相关系数矩阵。
五.教学过程中应注意的问题
a)一个随机变量并不一定存在数学期望和方差,也有可能数学期望存在,而方
差不存在,如柯西分布是最著名的例子;
b)数学期望的一个具体的数字,不是函数;
c)由方差的定义知,方差是非负的;
d) 独立性和不相关性之间的关系,一般地,X 与Y 独立,则X 与Y 不相关,
反之则不然,但对于正态分布,两者却是等价的;
六.思考题和习题
思考题:1. 假定一个系统由5个电子元件组装而成,假定它们独立同服从于指
数分布,将它们串接起来,求系统的平均寿命,若将它们并行连接,其系统的平均寿命是多少?并比较其优劣。
2. 方差的定义为什么不是||E X EX -?
3. 工程上经常遇到计算误差,它是否与方差是同一个概念?
4.协方差与相关系数有什么本质上的区别?
5.随机变量X 与Y 独立可以推导cov(,)0X Y =,反之呢?对正态分
布又如何呢?
习题:
第五章 大数定律和中心极限定理
一.教学目标及基本要求
了解切比雪夫不等式、大数定律和中心极限定理。
二.教学内容及学时分配
第一节 大数定律
第二节 中心极限定理 2学时
三.本章教学内容的重点和难点
大数定律和中心极限定理的含义;
四.本章教学内容的深化和拓宽
中心极限定理的条件拓宽。
五.教学过程中应注意的问题
1)大数定律的变形,大数定律的证明关键是使用了切比契夫不等式;
2)注意中心极限定理的条件和结论,如何使用这一结论解决应用题; 习题:
第六章 样本及抽样分布
一.教学目标及基本要求
(1) 理解总体、样本和统计量的概念;了解经验分布函数
(2) 掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。
(3) 了解卡方分布、t-分布和F 分布的定义及性质,了解分位数的概念并会查表计算概率。
(4) 掌握在正态总体下样本均值、样本方差、t 统计量的分布及性质。
二.教学内容及学时分配
(1)
第一节 总体与样本
第二节 统计量(包括经验分布函数) 2学
时
第三节 几个常用的分布
正态分布,2
χ-分布,t-分布,F-分布)、抽样分布定理、分位数 2学时 三.本章教学内容的重点和难点
a) 数理统计与概率论在研究问题和方法上的根本区别;
b) 总体、样本的概念;
c) 统计量的定义和常用的统计量;
d) 正态分布以及由正态分布导出的三大统计分布,抽样分布定理,分位数的概
念。
e) 2χ-分布、t -分布和F -分布的定义
四.教学过程中应注意的问题
a) 正态分布的标准化:若2~(,)X N a σ,则~(0,1)X a
N σ-;
b) “独立正态变量之和仍为正态变量”和中心极限定理的应用;
c) 对三大统计分布定义深入分析,补充例子加以说明,如
14,,X X 取自正态总体2(0,2)N ,的一个样本,令
221234(2)(34)Y a X X b X X =-+-,求系数,a b ,使Y 服从2χ-分布,并求自由度;
d) 查常用分布数值表是实际计算中不可缺少的一步,务必掌握;
e) 掌握统计学的思想应该从正态总体出发,因为数理统计学的许多基本理论是
在正态总体的假定下建立起来的;
六.思考题和习题
思考题:1. 样本平均值、中位数、众数的定义和区别。
2.样本1,,n X X 是相互独立且具有相同分布的,那么顺序统计量
(1)()
,,n X X 是否也是独立同分布的?
3. 经验分布函数是统计量吗?
4. 什么叫上侧分位数? 习题:
第七章 参数估计
一.本章的教学目标及基本要求
(1) 理解总体参数的点估计和区间估计的概念; (2) 掌握求点估计的方法——矩估计法和极大似然法; (3) 了解估计量的评选标准(无偏性、有效性、一致性)。 (4) 会求单个,两个正态总体的均值和方差的置信区间;
二.本章的教学内容及学时分配
第一节 点估计量——矩估计法和极大似然法 2学
时
第二节 估计量的评选标准(无偏性、有效性、一致性) 2学时 第三节 区间估计 1学
时
第四节 单个正态总体参数的区间估计 2 学
时
第五节
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第六节 两个正态总体参数的区间估计 (简介) 1学
时
三.本章教学内容的重点和难点
a) 点估计量的求解方法——矩估计法和极大似然法; b) 估计量评价标准——无偏性;
c) 置信区间的求解方法;
d)正态总体参数的区间估计
四.教学过程中应注意的问题
a)要善于比较矩估计法和极大似然法各自的优良性;
b)强调极大似然函数的正确书写步骤以及典型例子分析步骤;
c)强调估计量的无偏性的实际含义,提出对不满足无偏性的估计量进行修正,
讲解修正的方法;
d)讲清楚区间估计方法的实际含义;
e)对于各正态总体参数的区间估计问题,要讲清楚基本思想,原理,基本流程
及相同之处。
六.思考题和习题
思考题:1. 设X服从如下分布:
利用总体的样本观测值:3,1,3,0,3,1,2,3,求参数θ的矩估计和极大似然估计,如何求?
2.利用参数的置信区间,如何求样本容量n?
3. 比例参数p的置信区间如何求?
习题:
第八章假设检验
一.本章的教学目标及基本要求
(1)理解显著性假设检验的基本思想;
(2)掌握假设检验的基本步骤,了解假设检验可能产生的两类错误。
(3)掌握单个正态总体的均值和方差的假设检验,了解两个正态总体的均值和
方差的假设检验。
二.本章的教学内容及学时分配
第一节假设检验
基本概念与两类错误、假设检验的基本原理和主要步骤2学时
第二节单个正态总体参数的假设检验2学
时
第三节两个正态总体参数的假设检验2学时
三.本章教学内容的重点和难点
假设检验的基本思想和基本检验步骤;
四.本章教学过程中应注意的问题
a)通过举例叙述假设检验的思想;
b)强调典型例子分析,使学生理解假设检验的步骤;
c)对实际问题提出假设(特别是单侧检验)比计算更难;
六.思考题和习题
思考题:1. 怎样计算两类错判概率?列举生活中遇到的1~2个错判事件。
2.为什么说假设检验的基本思想是数学上的反证法?
3. 比例参数p的假设检验怎样进行?
习题:
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