2013考研数学模拟卷数二1答案

一、选择题

(1) D 2013考研数学模拟试卷一【数二】解析

解：lim limx 0 x 05 sin5xcosx(1 sinx)1

sinx 5 1. e

（2）B

解：由limf(x) 1 0，lim(1 cosx) 0，得lim(f(x) 1) 0，而由f (x)连续知f(x)连续，所以x 0x 0x 01 cosx

limf(x) f(0) 1. x 0

f(x) f(0)f(x) 11 cosxx2

lim 0， 于是f (0) limx 0x 01 cosxxx2x

所以x 0是f(x)的驻点.

又由x 0

1，1) 0， x 0

得lim(f (x) 1) f (0) 1 0，即f (0) 1 0， x 0

所以f(x)在点x 0处有f (0) 0，f (0) 1 0，

故点x 0是f(x)的极小值.应选（B).

（3）B

解：由于函数可导（除x 0）且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与x轴有且仅有两个交点，故A，C不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故D不正确。

（4）B

解：当0 p 1时，由积分中值定理得

所以|n 1nn 1sin( x)12( 1)n， n (n,n 1)， dx psin( x)dx xp 1 n 1 n ( np 1) n 1

nsin( x)22， n (n,n 1)， dx| xp 1 ( np 1) ((n 1)p 1)

222~(n )而，发散，所以原级数非绝对收敛. p ((n 1)p 1) np nn 1

又| n 1

nsin( x)2dx| 0(n )， xp 1 ( np 1)

而 n (n,n 1)，即| n 1

nsin( x)dx|单调减少. px 1

由莱布尼茨判别法知原级数收敛，故级数是条件收敛的，应选（B）.

(5) D

解：记A 2

0f(x)dx为常数，于是有Af (x) 8，即f (x) 8，两边积分得 A

88x C，由f(0) 0得C 0，从而f(x) x AA

228216于是A f(x)dx xdx ，即A 4，故 f(x)dx A 4 选（D） 00A0Af(x)

（6）B

解：F(t) 2

0d f(t r)rdr 2 f(t r)rdr， 00tt

令u t r,du dr,F(t) 2

则F (t) 2

（7）A t0(t u)f(u)du 2 t f(u)du 2 uf(u)du。 00tt t0f(u)du,所以F (1) 2 。

解：易知Bx 0的解是ABx 0的解。当A列满秩时，即r(A) n时，齐次线性方程组Ax 0只有零解。于是，若x0为ABx 0的任一解，即ABx0 0，则一定有Bx0 0，从而x0也为Bx 0的解，故组Bx 0与ABx 0同解。

（8）D

解：将AX k 1 2的增广矩阵作初等行变换，

11 12k 1 11 12k 1 [A|k 1 2] 1 21k 3 0 103k 4

1 1 13k 1 0 20k 2 11 12k 1 0 103k 4 ，

000 5k 10

AX k 1 2有解 r(A) r(A|k 1 2)，得k 2，故应选（D）.

二、填空题

（9）

解：y sin(x t)dt sinudu，y sinx，y () 1，y() 2sinudu 1， 00022xx t ux

故过(,1)处的切线方程为y 1 x 2 2

（10）解：方程改写为 y

222xy 3，则通解为 21 xy eln(1 x)[ 3e ln(1 x)dx C] (1 x2)(C 3arctanx)

(11)正确答案：1.

解：

设f(x) 0 0cosxedt，

t2

则f(0)

1edt 0，f() 0， 2 t2

由介值定理知，存在x0 (0,

2 2)，使f(x0) 0.

2又f (x) e cosx

sinx 1，|e cosx sinx| 1，

故f (x) 0，f(x)严格单调增加，f(x) 0只有唯一的根x0.

z z 2z（12）解：由2 2知 2y C1(x)，由fy (x,0) x得C1(x) x，于是 2y x， y y y

从而z y2 xy C2(x)，又f(x,0) 1 C2(x) 1，故z y2 xy 1

（13）解：设阻力为F，铁钉击入木板深度为h时阻力为F=kh ，k为常数

第一次击锤做功：W1 =

第二次击锤做功：W2 = 20Fdh khdh 2k 0

h0kFdh khdh (h02 4) 222h0

2

W1= W2 因此h0 22

0 1 (14)解：系数矩阵0 0

10000 0 a ，因此a 0 00 2 a0 0 2

三、解答题

（15）解：

（1）令x 0，得 g(x)dx 1。 01

（2）对变限积分令t x u,dt du，则有

x f(x)

xg(t x)dt f(x)0g(u)du (2x 1)f(x)，

两边关于x求导，注意到g[f(x)] x，得xf (x) (2x 1)f (x) 2f(x)，

即(x 1)f (x) 2f(x) 0， 则f(x) C。 2(1 x)

1。 2(1 x)

1

x又f(0) 1，所以C 1，于是f(x) f(x)) e3，所以 limx 0x 0xx

f(x)f(x)) 0，即 lim(x ) 0 由于分母极限为0，所以 limln(1 x x 0x 0xx

f(x)lim 0，又因为 f(x)在x 0连续，则 limf(x) f(0) 0 x 0x 0x

f(x)ln(1 x )f(x) f(0)f (0) lim 0，由 lim 3 得 x 0x 0x 0x

f(x)f(x)ln(1 x )x lim lim(1 f(x)) 3，所以 limx 0x 0x 0xxx2

f(x)f (x)f (x) f (0)lim2 2，即 lim 2，由此得 f (0) lim 4 x 0xx 02xx 0x 0（16）解：（1）因为 lim(1 x

limf(x)x 0) e（2）lim(1 x 0x1xln(1 f(x))xln(1 x f(x)) 3 ef(x)limx 0x ex 0limf(x)x2 e2

（17） 证明：在x 0处，将f(x)Taylor展开， f(x) f(0) f (0)2f ( )3x x,( 在x,0之间)，则 23!

f (0)f ( 1) 1 f(1) f(0) ,(0 1 1), 23! f ( 1) f ( 2) 6. 0 f( 1) f(0) f (0) f( 2),( 1 0)2 23!

由f (x)的连续性知，f (x)在[ 1, 2]上有最大最小值，分别设为M,m,则 m 1[f ( 1) f ( 2)] 3 M [ 1, 2] ( 1,1),f ( ) 3. 2

u u u 2u 2u 2u 2u(18)解： ,2 2 2 2， x x

22 u u u 2u 2u2 u2 u， a b, a 2ab b y y2 2 2

2u 2u 2u 2u a2 (a b) b2 x y

将以上各式代入原等式，得

2u 2u 2u2(3a 4a 1)2 [6ab 4(a b) 2] (3b 4b 1)2 0， 2

由题意，令

2 3a 4a 1 0,且6ab 4(a b) 2 0 2 3b 4b 1 0,

1 a 1, a ,故 3 1或 b , 3 b 1,

（19）解：先求ds，ds

总长度l x 2(t) y 2(t)dt 3asintcostdt

2

l 0ds 203x (t) y (t)dt= 23asintcostdt=a 022 l

0l 0xds 203acos3t 3asintcostdt=a2 5 yds 203asin3t 3asintcostdt=a2 5

x y 222a，故，星形线质心为(x,y) (a,a) 555

（20

）解： xy[1 xD2 y]dxdy d 3sin cos [1 r2]dr200

2

sin cos d 2

001133[1 r]dr ( rdr r3dr) 120832

（21）解：取沉放点为原点，Oy轴正向铅直向下，牛顿第二定律得

d2ym2 mg V kv,dt

因此，方程可改写为mvdyv ,dtd2ydvdv v2dtdydtdvdymv mg V kv,即 dydvmg V kv

求得y mm(mg

V)v ln(mg V kv) C 2kk

由初始条件vy 0 0，由此可确定C m(mg V)ln(mg V) 2k

故所求的关系y

(22) mm(mg V)mg V kvv ) kmg Vk2

解：（I）由已知得， A( 1 2 3) 2( 1 2 3)，A( 2 1) ( 2 1)，A( 3 1) ( 3 1)，又因为 1, 2, 3线性无关，所以 1 2 3 0， 2 1 0， 3 1 0

所以 1,2是A的特征值， 1 2 3， 2 1， 3 1是相对应的特征向量。

又由 1, 2, 3线性无关，得 1 2 3， 2 1， 3 1也线性无关，所以 1是矩阵A的二重特征值，即A得全部特征值为 1,2

（II）由 1, 2, 3线性无关，可以证明 1 2 3， 2 1， 3 1也线性无关，即A有三个线性无关的特征向量，所以，矩阵A可相似对角化。

（23）解：将阵( 1, 2, 3, 1, 2, 3)作初等行变换化成阶梯阵。

2 1 131 1 ( 1, 2, 3, 1, 2, 3) 2a 304 6b 4

12b 11a 4 1

1 131 1 2 0a 1 220b 2 。

00b 20a 10

故当a 1,b 2时，R( 1, 2, 3) R( 1, 2, 3) 3，且可以相互线性表示，所以 1, 2, 3与 1, 2, 3秩相等且等价；

当a 1,b 2时，R( 1, 2, 3) R( 1, 2, 3) 2，

等秩且可以相互线性表示；

当a 1,b 2时，R( 1, 2, 3) R( 1, 2, 3) 2，等秩，显然 3不可由 1, 2, 3线性表示，所以不等价；

当a 1,b 2时，R( 1, 2, 3) 2 R( 1, 2, 3) 3，不等秩也不等价。

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