讲义4.1平行四边形的性质及判定

讲义4.1平行四边形的性质及判定

知识要点归纳

1、 平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。 定义的作用：（1）给出一种判定四边形是平行四边形的方法，如果所给四边形的两组对边分别平行，那么它一定是平行四边形；（2）给出了平行四边形的一个重要性质:两组对边分别平行。

例一、 如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD,图中有多少个平行四边形？ 注意：平行四边形的定义是判定四边形是否是平行四边形的方法之一。

2、 平行四边形的性质

（1） 定义性质：平行四边形的两组对边分别平行。 （2） 性质:

A、平行四边形的对角相等。 B、平行四边形的对边相等。

C、平行四边形的对角线互相平分。

（3）平行四边形是中心对称图形，平行四边形绕其对角线的交点旋转180后，与自身重

合，我们说平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。

注意：边：对边平行，对边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平分。

例二、 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，周长为80cm，

?AOB的周长比?BOC的周长大12cm，求这个平行四边形各边的长。

3、 平行四边形的面积

平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积，如图所示,平行四边形ABCD的面积

=BC?AE=CD?BF,也就是平行四边形的面积=底边长×高=ah（其中a是平行四边形的任意一条边长，h必须是a边与其对边的距离。）

注意：同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等，如图所示，平行四边形ABCD与平行四边EBCF有公共边BC，则平行四边形ABCD的面积=平行四边形EBCF的面积。

例三、 如图，已知平行四边形ABCD中的周长是36cm，DE、DF分别是它的两条高，

且DE=43cm,DF?53cm,求平行四边形的面积。

4、 平行四边形的概念和性质在实际应用中易出现的错误

如：平行四边形的一条角平分线分对边为3和4两部分，求平行四边形的周长。

例四、如图，线段AB、AD相交于点A，若过点B作直线BE∥AD，在BE上取一点C，

使BC=AD,连接CD，则AC与BD的关系是 。

5、 运用平行四边形的性质计算

（1） 平行四边形的对边平行

如：如图，在平行四边形ABCD中，CE是?DCB的平分线，F是AB的中点，

AB=6，BC=4，求AE:EF:FB.

（2） 平行四边形的对角相等，对边相等。

如：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE=CF，

已知DE=3cm，求BF.

（3） 平行四边形的对角线互相平分

如：如图，已知O是平行四边形ABCD的对角线交点，AC=38cm，BD=24cm，

AD=14cm，

?AOB与?AOD的周长之差为6cm，求AB的长。

例五、 已知如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别在AD、BC上，E、F在对

角线上，且AM=CN,BE=DF,则MF与NE有怎样的位置关系？并说明理由。

例六、如图，在平行四边形ABCD中，AE∥CF，AE与BD相交于点P,CF与BD相交于点Q，BP与DQ是否相等？请说明理由。

6、开放性思维问题

添加的条件由解题者提供，再利用平行四边形的性质，得到已知结论；或根据题目中的已知条件，同学们自己写出结论，再进行证明或设计一种方案并证明它的正确性。 如：如图，在平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是

?DAB、?ABC、?BCD、?CDA的平分线，AQ与BN相交于P,CN与BQ相交于M,

在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出来的结论，并给出证明过程（要求推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）。

例七、如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，要使?ADF≌?CBE，还需添加一个什么条件？ （只需添加一个条件）

例八、如图，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案是正确的。

7、 构成或转移平行四边形的边和角

应用平行四边形的性质可以证明线段相等，角相等，因此常构造平行四边形，利用平行四边形的对边相等、对角相等来转移边和角，从而把分散的条件集中起来。 如图，平行四边形ABCD中，2AB=AD,AB=AE=BF.求证：EC⊥FD.

注意：（1）证明线段的垂直关系通常可以通过证角等于90；（2）在解决有关平行四边形的问题时，要善于通过平行四边形的性质和全等三角形两种途径寻求等量关系。

例九、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,且AD＞BC，BC=6cm,P、Q分别从A、C同时出

发，P以1厘米/秒的速度由A向D运动，Q以2厘米/秒的速度由C向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？

8、 平行四边形的判定法

（1） 定义判定法：

两组对边分别平行是的四边形是平行四边形。

（2） 定理判定法：

A、 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 B、 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 C、 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

D、 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

例十、若一个四边形的边长是a、b、c、d，其中a、c为对边，满足

a2?b2?c2?d2?2bd?2ac?0，则此四边形是 。

例十一、如图，在?ABC中，AB?AC,P是BC一点，PE∥AC,PF∥AB,分别交AB、AC于E、F，请猜想线段PE、PF、AB之间存在什么关系，并证明你的猜想。

9、 三角形中位线定理

（1） 三角形中位线的定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；

（2） 三角形中位线定理：三角形中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一

半；

（3） 三角形中位线定理的作用：A、位置关系：可以证明两条直线平行；B、数量关

系：可以证明线段的相等或倍分。

（4） 三角形中位线定理的应用：平行四边形的判定。已知DE为

?1?所示，延长中位线?ABC的中位线如图DE至F，使EF?DE,连接CF,则?ADE≌?CFE,有AD平行且等于FC，所以FC平行且等于BD，则四边形

BCFD为平行四边形。

如图（2）所示，延长DE至F，使EF=DE，连接DC、AF、FC,则四边形ADCF为平行四边形，有AD平行且等于FC，所以FC平行且等于BD，则四边形BCFD为平行四边形。

如图（3）所示，过C作CF∥AB交DE的延长线于F，则?ADE≌?CFE,有AD平行且等于CF，所以FC平行且等于BD，则四边形BCFD为平行四边形。

注意：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成了一个新的三角形；（2）要会区别三角形的中线与中位线。

0例十二、如图，三角形ABC中，?BAC?90，延长BA到D，使AD?1AB,点E、F2分别为边BC、AC的中点。

(1) 求证：DF=EB;

(2) 过点A作AG∥BC,交DF于G，求证:AG=DG.

10、 证明四边形为平行四边形的方法

如：如图，在三角形ABC中，?ACB?90,BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E,F在DE的延长线上，并且AF=CE.求证：四边形ACEF

0(1) 证明两组对边分别相等，得平行四边形。

是平行四边形。

(2) 证明两组对边分别平行，得平行四边形。

如：如图，在三角形ABC中，AB=AC，E是AB的中点，D在BC上，延长ED到F，使ED=DF=EB,连接FC。求证：四边形AEFC是平行四边形。

(3) 证明一组对边平行且相等，得平行四边形。

如：已知平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点。求证：

EB=DF.

(4) 证明对角线互相平分，得平行四边形。

如：已知:E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形。

例十三、如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC,点E在BC上，点F在AD上，AF=CE,EF

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