(7)2018高考真题（理）分类汇编 - 直线与圆、圆锥

2018高考真题分类汇编——直线与圆、圆锥曲线

1.（2018北京·理）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x?my?2?0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为（ ） （A）1 （C）3 1.C

（B）2 （D）4

x2y2x2y22.（2018北京·理）已知椭圆M：2?2?1(a?b?0)，双曲线N：2?2?1．若双曲线N

abmn的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________． 2.3?12

3.（2018全国I·理）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为

2的直线与C3交于M，N两点，则FM?FN=（ ） A．5 3.D

B．6

C．7

D．8

x24.（2018全国I·理）已知双曲线C：?y2?1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的

3直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若△OMN为直角三角形，则|MN|=（ ） A．4.B

3 2 B．3 C．23 D．4

x2y25.（2018全国II·理）双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）

abA．y??2x B．y??3x C．y??5.A

23x x D．y??22

x2y26.（2018全国II·理）已知F1，F2是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，A是C的

ab左顶点，点P在过A且斜率为的离心率为（ ） A.2 33的直线上，△PF1F2为等腰三角形，?F1F2P?120?，则C6 B．

1 2

1C．

3 D．

1 46.D

7.（2018全国III·理）直线x?y?2?0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆

?x?2?2?y2?2上，则△ABP面积的取值范围是（ ）

6? A．?2，7.A

8? B．?4，? C．??2，32? ? D．??22，32?

x2y2b?0）的左，右焦点，O是 8.（2018全国III·理）设F1，F2是双曲线C：2?2?1（a?0，ab坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若PF1?6OP，则C的离心率为 （ ） A．5 8.C

B．2

C．3

D．2

x2y29.（2018江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点

abF(c,0)到一条渐近线的距离为3c，则其离心率的值是 ▲ ． 29.2

B(5,0)， 10.（2018江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y?2x上在第一象限内的点，

以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若AB?CD?0，则点A的横坐标为 ▲ ． 10.3

x211.（2018浙江）双曲线 ?y2=1的焦点坐标是（ ）

3A．(?2，0)，(2，0) C．(0，?2)，(0，2) 11.B

B．(?2，0)，(2，0) D．(0，?2)，(0，2)

x22

12.（2018浙江）已知点P(0，1)，椭圆+y=m(m>1)上两点A，B满足AP=2PB，则当

4m=___________时，点B横坐标的绝对值最大． 12.5

x2y213.（2018天津·理）已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为2，过右焦点且垂直

ab于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和

d2，且d1?d2?6，则双曲线的方程为（ ）

x2y2x2y2x2y2x2y2??1 (B) ??1 (C) ??1 (D) ??1 (A)

412124399313.C

14．（2018上海）双曲线14.y=±

15.（2018上海）设P是椭圆（ ） A．215.C

B．2

C．2

D．4

=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为

﹣y2=1的渐近线方程为 ．

16.（2018北京·理）（本小题满分14分）

已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （1）求直线l的斜率的取值范围；

（2）设O为原点，QM??QO，QN??QO，求证：

1??1?为定值．

16.【解析】（1）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2）， 所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．

由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）． ?y2?4x由?得k2x2?(2k?4)x?1?0． ?y?kx?1依题意??(2k?4)2?4?k2?1?0，解得k<0或0

所以

22k?4?x1?1x2?1111112x1x2?(x1?x2)1k2k2=2． ?????????1??1?yM1?yN(k?1)x1(k?1)x2k?1x1x2k?1k2所以

1??1?为定值．

17.（2018全国I·理）（本小题满分12分）

x2?y2?1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为设椭圆C:2(2,0).

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：?OMA??OMB.

17.【解析】（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为(1,2)或2(1,?222x?2或y?x?2. ).所以AM的方程为y??222（2）当l与x轴重合时，?OMA??OMB?0?.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以?OMA??OMB.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y?k(x?1)(k?0)，A(x1,y1),B(x2,y2)， 则x1?2,x2?2，直线MA，MB的斜率之和为kMA?kMB?y1y?2. x1?2x2?2由y1?kx1?k,y2?kx2?k得kMA?kMB?2kx1x2?3k(x1?x2)?4k.

(x1?2)(x2?2)x2?y2?1得(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0. 将y?k(x?1)代入24k22k2?2,x1x2?2所以，x1?x2?.

2k2?12k?14k3?4k?12k3?8k3?4k?0. 则2kx1x2?3k(x1?x2)?4k?22k?1从而kMA?kMB?0，故MA，MB的倾斜角互补，所以?OMA??OMB. 综上，?OMA??OMB.

18.（2018全国II·理）（本小题满分12分）

设抛物线C：y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|?8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

18.【解析】（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y?k(x?1)(k?0)．设A(x1,y1),B(x2,y2)，

?y?k(x?1),2k2?422222??16k?16?0，由?2得kx?(2k?4)x?k?0．故x1?x2?． 2ky?4x?4k2?4所以|AB|?|AF|?|BF|?(x1?1)?(x2?1)?．

k24k2?4?8，解得k??1（舍去）由题设知，k?1．因此l的方程为y?x?1． 2k（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y?2??(x?3)，即y??x?5．设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则

?y0??x0?5,?x0?3,?x0?11,?2解得?或? ?(y0?x0?1)2y?2y??6.?16.?0?0?(x0?1)??2因此所求圆的方程为(x?3)?(y?2)?16或(x?11)?(y?6)?144．

2222

19.（2018全国III·理）（本小题满分12分）

x2y2?1交于A，B两点，线段AB的中点为已知斜率为k的直线l与椭圆C：?43M?1，m??m?0?．

（1）证明：k??1； 2（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP?FA?FB?0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．

x12y12x22y22??1,??1. 19.【解析】（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则4343两式相减，并由

x?xy?y2y1?y2?k?0. ?k得12?143x1?x2由题设知

x1?x2y?y2331?1,1?m，于是k??.①，由题设得0?m?，故k??. 224m22（2）由题意得F(1,0)，设P(x3,y3)，则(x3?1,y3)?(x1?1,y1)?(x2?1,y2)?(0,0). 由（1）及题设得x3?3?(x1?x2)?1,y3??(y1?y2)??2m?0. 又点P在C上，所以m?333，从而P(1,?)，|FP|?. 4222x12xx)?2?1.同理|FB|?2?2. 于是|FA|?(x1?1)?y?(x1?1)?3(1?422221所以|FA|?|FB|?4?1(x1?x2)?3. 2故2|FP|?|FA|?|FB|，即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列.设该数列的公差为d， 则2|d|?||FB|?|FA||?11|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2.② 22将m?3代入①得k??1. 47127x?14x??0. ，代入C的方程，并整理得

44所以l的方程为y??x?

故x1?x2?2,x1x2?

1321321321，代入②解得|d|?.所以该数列的公差为或?. 2828282820.（2018天津·理）（本小题满分14分）

x2x25设椭圆2?2?1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的

ab3坐标为(b,0)，且FB?AB?62. （1）求椭圆的方程；

（2）设直线l：y?kx(k?0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.

若

AQPQ?52sin?AOQ(O为原点) ，求k的值. 4c2520.【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有2?，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由

a9已知可得，FB?a，AB?2b，由FB?AB?62，可得ab=6，从而a=3，b=2．

x2y2?1． 所以，椭圆的方程为?94（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故

PQsin?AOQ?y1?y2．又因为AQ?AQPQ?52sin?AOQ，可得5y1=9y2． 4y2π，而∠OAB=，故AQ?2y2．由sin?OAB4?y?kx，6k?由方程组?x2y2消去x，可得y1?．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方2??1，9k?4?4?9?y?kx，2k程组?消去x，可得y2?．由5y1=9y2，可得5（k+1）=39k2?4，两边平

k?1?x?y?2?0，方，整理得56k2?50k?11?0，解得k?

111111 ，或k?．所以，k的值为或．228228

21.（2018江苏）（本小题满分16分）

1如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点(3,)，

2焦点F1(?3,0),F2(3,0)，圆O的直径为F1F2． （1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P． ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A,B两点．若△OAB的面积为26，求直线l的方程． 721.【解析】（1）因为椭圆C的焦点为F1(? 3,0),F2(3,0)，

1x2y2可设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)．又点(3,)在椭圆C上，

2ab1?3?a2?4,x2?2?2?1,?所以?a，解得?2因此，椭圆C的方程为?y2?1． 4b4??a2?b2?3,?b?1,?因为圆O的直径为F1F2，所以其方程为x2?y2?3．

（2）①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0?0,y0?0)，则x02?y02?3，

?x2?y2?1,?xx3?4所以直线l的方程为y??0(x?x0)?y0，即y??0x?．由?消去y，

x3y0y0y00?y??x?,?y0y0?得(4x02?y02)x2?24x0x?36?4y02?0．（*） 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，

(?24x0)2?4(4x02?y02)(36?4y02)?48y02(x02?2)?0． 所以?? 因为x0,y0?0，所以x0?2,y0?1．因此，点P的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB的面积为1264226AB?OP?，所以 ，从而AB?． 2777设A(x1,y1),B(x2,y2)，由（*）得x1,2?24x0?48y02(x02?2)2(4x02?y02)，

x0248y02(x02?2)所以AB?(x1?x2)?(y1?y2)?(1?2)?．

y0(4x02?y02)2222

16(x02?2)32因为x0?y0?3，所以AB?，即2x04?45x02?100?0， ?22(x0?1)4922210251,)． 解得x02?(x02?20舍去），则y02?，因此P的坐标为(2222综上，直线l的方程为y??5x?32．

22.（2018浙江）（本小题15分）

如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满 PA，PB的中点均在C上．

yAPOMxB

（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

y2（2）若P是半椭圆x+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

42

22.【解析】（1）设P(x0,y0)，A(1212y1,y1)，B(y2,y2)． 4412y?x0因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程y?y02，

()?4?422即y?2y0y?8x0?y0?0的两个不同的实数根．

22

所以y1?y2?2y0．因此，PM垂直于y轴．

?1232?y1?y2?2y0,2|PM|?(y?y)?x?y?（2）由（1）可知?所以12003x，0284yy?8x?y,?00?122|y1?y2|?22(y0?4x0)．

因此△PAB的面积S△PAB31322?|PM|?|y1?y2|?(y0?4x0)2． 242y022因为x??1(x0?0)，所以y0?4x0??4x0?4x0?4?[4,5]．

420因此，△PAB面积的取值范围是[62,

23.（2018上海）（本小题16分）

1510]． 4设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点． （1）用t表示点B到点F的距离；

（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；

（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

23.【解析】（1）方法一：由题意可知：设B（t，2∴|BF|=t+2；

方法二：由题意可知：设B（t，2

t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+

，∴Q（3，

=t+2，∴|BF|=t+2；

t），则|BF|=

=t+2，

（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=），设OQ的中点D，

D（，），kQF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，

整理得3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=×

×=；

（3）存在，设P（，y），E（

，m），则kPF==，kFQ=，

直线QF方程为y=

（x﹣2），∴yQ=（8﹣2）=，Q（8，），

根据+=，则E（+6，），∴（

）2=8（+6），解得：y2=

）．

，

∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，

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