2016五一联赛A题

2016年第十三届五一数学建模联赛

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2016年第十三届五一数学建模联赛

题 目 A题：购房中的数学问题

摘 要

影响消费者选购住房的有平均日照时间、价格、交通、环境和噪音等多方面因素，其中最重要的自然因素莫过于日均采光时间，我们通过建立影子随时间变化的物理模型，给出了一种基于离散思想的日均采光时间的计算方法，并以东经117.17o，北纬34.18o处一高层建筑小区的14-2-802房间(客厅)为例，分别求得

其冬至日9:00-16:00间可以享受日照的时间区间为：9:00-10：20和12：40-1:32和15:36-16：00，全年365天每一天可以享受日照的累计时间为：208110分钟，全年享受日照时间超过6小时的天数和日期为：2月25号到10月16共计235天，并在仅考虑采光影响的条件下给出最优选房方案为：基于以上采光时间的计算结果并结合其他多方面因素，我们建立了个性化选房模型。

针对问题一：由于题设前提不考虑天气等影响日照的因素，因此临近的高层建筑的遮挡是唯一影响采光时间的因素，因此我们建立了障碍物影长随时间变化的物理模型，为避免公式推导太阳及影子变化轨迹引起计算繁琐的情况，我们考虑将太阳位置离散化处理，在保证精度的前提下大幅度简化了运算，据此计算出一日内任意时刻的太阳高度角及太阳方位角，继而根据障碍物高度，楼宇间距等数据计算出其冬至日9:00-16:00间可以享受日照的时间区间为：9:00-10：20和12：40-1:32和15:36-16：00

针对问题二：对同一房间，一年内可能遮挡它的建筑物是固定的，而障碍物的影长随太阳高度角，赤纬角的变化而变化；因此我们根据赤纬角随日期的变化公式，计算了一年内每一天的太阳高度角和赤纬角，带入问题一的模型并求和，即可描述出全年365天每一天可以享受日照的累计时间为：2月25到10月16共计235天 针对问题三：跟据问题仅考虑采光影响前提，我们通过提取小区住宅楼的布局关系，建立了各楼层互相遮挡的关系矩阵，代入问题二的模型得到小区内18栋楼每一层的年日照累计和，结合附件2的已售楼房信息，我们可以确定一批最优选房方案。

针对问题四：我们根据小区平面图对小区各个影响买房的方面做了评估，利用反复取交集的方法为客户选择房子。最终为高层偏好的人选择了9号楼33层，中层偏好的人选择9号楼13层，低层偏好的人选择了5号楼1层。

针对问题五：通过以两个电梯出口为原点建立空间坐标系，计算车位到电梯口的距离和此车位住户到电梯口的距离，发现并不符合最长和最短距离的结合原则，则车位安排不合理。对于安排车位，我们将充分考虑各种因素，包括低层住户长时间等待时是否乘坐电梯，多种电梯的运行模式的选择，出电梯口时距离电梯口的最近车位，车位与住户楼层的最短路距离，得出最优车位。

关键字：影子变化物理模型 离散化处理 个性化选房模型 电梯控制策略 最短路

一、 问题重述

当我们买房时，房子的选择是一件很头疼的一件事，地理位置、周边环境、交通便利性、住房户型、住房价格、采光、噪音污染、空气污染等因素影响我们的选择，同时开发商总会追求利润的最大化，所以现在高楼林立，面对现在的高层建筑，选房的问题变得更加复杂，针对东经117.17o，北纬34.18o地理位置的高层建筑，不考虑天气的影响，正确解决购房问题。

问题一，解决A小区14-2-802房间(客厅)在冬至时特定时间段可以享受到日照的时间段结合附件1和4得出正确结果。

问题二，描绘A小区14-2-802房间(客厅)全年日照累计时间，并得出该房间全年日照时间超过六小时的天数和具体日期。

问题三，在部分房间已售出的情况下，仅考虑光照条件，给消费者提供最佳选房方案。

问题四，在考虑日照条件下，结合价格、交通、环境和噪音的影响，给出此时消费者C最优选房方案。楼价在不同楼层相应有所不同，周围环境，北侧有一条河流，并有若干配套设施：地铁，铁路，国道，发电烟囱。综合各种因素得出最佳选房方案。

问题五，该小区已建成地下停车场，建立合理模型验证该停车场是否合理，如果不合理重新设置该停车位。附件三中方格第一行是车位号，第二行是对应的房间号

二、 问题分析

问题一的分析

在题设前提条件（不考虑天气因素）下，14-2-8-2房间可以享受日照的时间区间仅受前方障碍物遮蔽的影响，根据附件住宅楼分布情况分析，#7和#8楼有可能遮挡#14楼。障碍物的阴影位置与障碍物的尺寸，楼宇密度（前后楼间距），太阳方位，太阳高度等因素有关，其中障碍物尺寸和建筑密度可从附件查得，太阳方位角和太阳高度角可由相关公式推导得到，进而可以建立楼宇遮光时间的物理模型，求得可以获得日照的时间区间。

问题二的分析

相比于问题一，问题二需要考虑日期的变化；根据相关天文学知识，赤纬角随每年积日数近似的周期变化，进而影响日出日落时间和太阳高度角。因此我们考虑将365天每天的赤纬角值代入第一问的模型并求和，即可较精确的得出一年内享受日照的累计时间。随着赤纬角每年的连续性变化，每日日照时间必定是连续变化，且在夏至日最长（>6h），冬至日最短（<6h），因此在夏至与冬至日间使用二分搜索算法，即可快速确定6小时日照时间的分解日期，求得每日日照时间超过6小时的日期及天数。

问题三的分析

相对于问题二，我们需要考虑小区内每一栋楼的每一层的光照时间，因此我们分析并简化了小区住宅楼的相对位置关系，将楼层（1-34）也作为变量代入问题二的模型，即可得到任一栋楼的任一层的年受光累计时间；根据采光因素优先的前提，结合附件二的销售情况，我们即可给出消费者选房的最优方案。

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问题四的分析

问题四要求我们考虑价格，交通，环境与噪音的影响，给出消费者c的最优选房方案。其中价格主要与楼层和是否是河景房有关，交通主要与离车库远近，离地铁远近有关，环境主要与离发电厂和河流远近有关，噪音主要与离马路和高架远近有关。由于权重带有很大主关性，我们买房时总是想所有条件都满足，如果不行的话就退而求其次，在从其中选择最好的。有一些论文可知，用户楼层的选择也反应了用户的偏好。

问题五的分析

针对车位安排是否安排合理，首先建立空间直角坐标系，并以出楼梯口为原点，通过将车位和各住户的高度确定在同一坐标系上，计算图中所给车位到坐标系的距离和楼层的距离，则最佳车位位同事去的最小，将车位的距离做升序排列楼层的高度作降序排列，则最佳排序为两者之和。针对合理安排车位，我们将充分考虑各种因素，包括低层住户长时间等待时是否乘坐电梯，电梯的运行模式的选择，出电梯口时距离电梯口的最近车位，车位与住户楼层的距离，得出最优车位。

三、 模型假设

1 对各个房子的影响因素的评价是正确的。 2 上班高峰期时各楼层乘客充足。

3 楼房的倾斜形状对太阳影子没有影响 。 4 楼房的厚度对太阳影子没有影响。 5地球是球形的 。

6 天气对太阳没有影响。

7 太阳高度角是15度时，光线才足够量。 8 大气层对太阳光线影响忽略。

四、 符号说明

符号 H ? ? t0 A s o 含义 太阳高度角 太阳赤纬 地球纬度 时角 太阳方位角 太阳位置 地球中心 该地的水平面 赤道 楼层高度 电梯运行时间 坐标轴 2 HH' EE' b T1 x

y z lit zit k 坐标轴 坐标轴 车位到坐标轴原点的距离 楼层到坐标轴原点的距离 电梯乘客数极限

五、模型建立与求解

5.1问题一的模型建立与求解 5.1．1问题一的模型建立 5.1．1．1太阳高度角H的计算

太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面的夹角。我们假设太阳光是不存在折射的平行光[1]，参考资料得出太阳高度角H的计算公式；

sinH?sin?sin??cos?cos?cost

式中，太阳赤纬用?表示，地理纬度用?表示（太阳赤纬和地理纬度都是北纬为正，南纬为负），地方时角用t表示。日出或日末的时刻，可有式取H?0,而求得其时角t0，即得：

?sin?sin?cost0???tan?tan?cos?cos?

图一 太阳高度角示意图

又日出或日末似的太阳方位角?0可取H?0， 即得：

sin?0?cos?sint0

求得太阳高度角H， 即得：

H?180??(90?????)?90??(???)

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jmct.html