2012年宜宾拔尖人才测试数学试题

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宜宾市2012年拔尖创新人才培养试点班招生文化测试 数学试卷 (考试时间：90分钟；全卷满分100分) 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项填在括号内） 1. 要使153-+-x x 有意义，则实数x 应满足（ ） A ．31≤<x B ．13≠≤x x 且 C ．31<<x D ．31≥<x x 或 2. 若实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式()22c a b a a c b -+--++化简为（

） A ．a 2 B ．b a 2- C ．a 3- D ．a 3. 如图是有16个小正方形拼成的方格图，图上有一深色三角形，若深色三角形的面积为421平方厘米，则此方格图中剩余部分的面积为（A ．12平方厘米 B ．427平方厘米 C ．53平方厘米 D ．9平方厘米 4. 若012=--x x ，则522234+-+-x x x x ＝（ ） A ．0 B ．5 C ．52+ D ．52- 5. 若方程组???+=--=+433235k y x k y x 的解为???==b y a x ，且3<k ，那么b a -的取值范围是（ ） A ．51<-<-b a B ．33<-<-b a C ．11<-<-b a D ．53<-<-b a 6. 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠ABC ＝60°， AD ＝2,CD ＝5，则BD 的长等于（ ） A ．132 B ．34 C ．8 D ．35

7. 设一元二次方程()00232>=-+-m m x x 的两实根分别为1x 、2x 且

0c a 2题图 3题图 6题图 D C B A

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1x <2x

A ．1<C ．1x 8. A 、

B 过点C

CF 、DE ①△③△A C 在题中横线上。

9. 如图，△ABC 的顶点都在正方形格纸的格点上，

则sinA ＝ ；∠ABC ＝ 。 10. 如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是

（1，0），若点A 的坐标是()b a ，，将线段BA 绕点B 顺时针旋转90°得到线段A B ',则点A '的 坐标是 。

11. 如图，BC 是半径为1的⊙O 的直径，点P 在BC 的

延长线上，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，AD ⊥BC 于 点D ，且点D 是OC 中点，则PB ·PC ＝ 。

12. 方程

()()()()3

2

321211

=--+--x x x x 的解是 。13. 如图，P 是矩形ABCD 内一点，若PA ＝3，PB ＝4，PD ＝23,那么

PC ＝ 。

14. 对实数a 和b ，定义运算“?”： ()

()?

??<≥=?b a a b a b b a ，，，设函数

12题图

P

D

C

B

A

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()()x x x y ?-?=20。有下列结论： ①当2=x 时，2-=y ； ②当22≤≤-x 时，函数y 的最小值为－2； ③当02<<-m 时，关于x 的方程()()020=-?-?m x x x 有两个不相等的实数根；其中正确的是 。（写成正确结论的序号） 三、简答题（本大题共6个小题，共58分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （本小题满分8分） 某中学在全校1800名学生中开展“每天锻炼一小时”健身活动，之后随机调查了部分学生每天锻炼的时间情况，将所得数据作为样本统计整理，画出如图所示的统计图。 （1）求样本的众数和中位数； （2）经调查发现参加锻炼时间不足一小时的学生较多，因此，学校进一步要求参加锻炼时间不足55分钟的学生必须增加锻炼时间，请你用样本估计全校有多少学生要增加锻炼时间？ （3）从样本中随机抽取锻炼时间为55分钟的学生2人作为宣传员，小伟是其中之一，求小伟被选中的概率。 16. （本小题满分10分） 某城市计划修建A 型、B 型停车点30个，可提供不超过9500辆自行车和8100辆电动车车位，设一个A 型停车点可停放自行车400辆，电动车250辆；一个B 型停车点可停放自行车150辆，电动车300辆. （1）请你为这个城市设计几种符合条件的停车点修建方案； （2）若修建一个A 型停车点费用是4300元，修建一个B 型停车点费用是5700元，应怎样安排修建，才能使修建费用最低？最低费用是多少？

（3）在（2）的条件下，若修建一个A 型停车点费用提高a 元，修建一个B 型停车点费用不变，又应该怎样安排修建，才能使修建费用最低？

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17. （本小题满分8分）

如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，CD ⊥AB 于D,交AE 于点P ，在BE 上取点F ，使BF ＝CE ，连结PF 。 （1）求证：PC ＝BF ； （2）求证：PF ∥AB 。

18. （本小题满分10分）

我们知道，将一枚硬币沿着直线滚动一圈，那么它滚过的距离正好是它的外沿的圆周长（如图1）。

如果将两枚同样大小的硬币平放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿它的边缘滚动一周（如图2），这是滚动的硬币滚动了多少圈？

小明同学动手实验，结果是滚动了两圈。小明认真思考，发现一个规

律：原来那个滚动的硬币的圆心移动的路程是r π4，而沿着直线滚动时圆心移动的距离是r π2，

请你探究：

（1）如图3，将一个半径为r 的硬币在一段总长度为r π2，且由两条线段组成，其夹角为120°的轨道上滚动，硬币滚动了几圈？请简要说明理由。

F

E P

D

C

B

A

18题图1

18题图3

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（2）如图4，⊙O 沿着凸多边形n n A A A A A 1-321 的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周回到原来位置。 ①当⊙O 和凸n 边形周长相等时，⊙O 自身转动了几圈？ ②当⊙O 的周长为a ，凸n 边形周长为b 时，请直接写 出⊙O 自身转动的圈数。 19. （本小题满分10分）

如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，⊙O 为△ABC 的外接圆，BD 为⊙O 的直径，连结AD 交BC 于

E ，若AE ＝2，ED ＝4。 （1）求AB 的长； （2）过点A 作⊙O 的切线,交DB 的延长线于点

F ，求证：BD BF 21 .

F A n-1A 3218题图4

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20. （本小题满分12分）

如图所示，过点F(0，1)的直线

kx y =1y ）和N （2x ，2y ）两点（其中1<x l ：1-=y 的垂线，垂足分别为1M 和（1）求OA ·OB 的值；

（2）求证：1FM 、1FN 分别是∠MFO （3）是否存在一定直线m ，使m 与以求出这条直线m

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