1-2高等数学—数列的极限

第二节 数列的极限 一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四、数列极限的性质 五、小结

一、概念的引入1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽播放

正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2

R

正 6 2 n 1形的面积 An

A1 , A2 , A3 , , An ,

S

2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为 X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和为 X 2 2 ; 2 2

1 1 1 第n天截下的杖长总和为 X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2

二、数列的定义定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数

x1 , x 2 , , x n ,

(1)

称为无穷数列, 简称数列. 其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n } .例如

2,4,8, ,2 n , ;1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2

{2 } 1 { n} 2

n

1, 1,1, , ( 1)

n 1

, ;

{( 1)

n 1

}

1 4 n ( 1) n 1 2, , , , , ; 2 3 n

n ( 1) n 1 { } n

3, 3 3 , , 3 3 3 , 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 , , x n , .

x3

x1

x2 x4

xn

2.数列是整标函数 x n f ( n).

三、数列的极限( 1) 观察数列 {1 nn 1

} 当 n 时的变化趋势.

播放

问题: 当 n 无限增大时, x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察:

( 1)n 1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于 1. n问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.

xn 1 ( 1)

n 1

1 1 n n

1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000

只要 n 1000时,

1 有 xn 1 , 1000

1 1 给定 , 只要 n 10000时, 有 x n 1 , 10000 10000

给定 0, 只要 n N ( [1])时, 有 x n 1 成立.

定义

如果对于任意给定的正数 ( 不论它多么

小), 总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立, 那末就称常数 a 是数列

x n 的极限, 或者称数列 x n 收敛于 a , 记为lim x n a ,n

或 x n a ( n ).

如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 1.不等式 x n a 刻划了x n与a的无限接近;

2. N与任意给定的正数 有关.

N定义 : lim x n a n

0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.

几何解释:

a x 2 x1 x N 1

2

a x N 2 x3

a

x

当n N时, 所有的点 x n 都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只

有N个) 落在其外.

数列极限的定义未给出求极限的方法. 注意：

n ( 1) n 1 例1 证明 lim 1. n n 1 n ( 1) n 1 1 证 xn 1 n n1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或n , n 1 所以, 取N [ ], 则当n N时,

n ( 1) n 1 就有 1 n

n ( 1) n 1 即 lim 1. n n

例2 设x n C (C为常数), 证明 lim x n C .n

证 任给 0 , 对于一切自然数 n ,

xn C C C 0 成立,所以,

lim x n C .n

说明:常数列的极限等于同一常数.

小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.

例3 证明 lim q 0, 其中q 1.n n n 则 lim q lim 0 0; 若 q 0 , 任给 0 , 证 n n

若0 q 1,ln n , ln q

x n 0 q n , n ln q ln ,ln 取N [ ], 则当n N时, ln q lim q n 0.n

就有 q n 0 ,

四、数列极限的性质1、有界性定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数 n, 恒有 x n M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.

n 例如, 数列 x n ; 有界 数列 x n 2 n .无界 n 1 数轴上对应于有界数列的点x n 都落在闭区间[ M , M ]上.

定理1

收敛的数列必定有界.n

证 设 lim x n a ,

由定义,

取 1,

则 N , 使得当n N时恒有 x n a 1,

即有 a 1 x n a 1.记 M max{ x1 , , x N , a 1 , a 1 },

则对一切自然数n,皆有 x n M , 故 x n 有界.注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.

2、唯一性定理2 每个收敛的数列只有一个极限.n n

证 设 lim x n a , 又 lim x n b,

由定义,

0, N 1 , N 2 .使得 当n N 1时恒有 xn a ;当n N 2时恒有 x n b ; 取N max N 1 , N 2 ,

则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a ) x n b x n a 2 .

上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.

3.收敛数列的保号性定理3 如果 lim xn a , 而且a 0(或a 0),那么n

存在N 0, 使得当n N时，有xn 0(或xn 0).证 不妨设a 0

a 因为xn a 0, 所以取 0, 则 N 0 2 a | xn a | 当n N时，有 从而有 2 a a xn a 0 2 2

推论

0 xn 0) , 如果数列 { xn }从某项起有xn (或 且 lim xn a , 那么a 0(或a 0).n

lim f ( x ) A( A 0), 那么就存在着 推论1 如果 x x0

x0的某一去心邻域 U ( x0 ),当x U ( x0 )时, 就有 A | f ( x ) | | | 2推论2 如果在 x0的某去心邻域内f ( x ) 0(或f ( x ) 0),

0

0

而且 lim f ( x ) A

, 那么A 0(或A 0)x x0

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