中级微观经济学习题（二）

中级微观经济学习题（二）

2、甲公司在它设在浙江的工厂生产高质量的小器械，销往世界各地。小器械的总成本函数为TC?0.25q。小器械的需求地只有澳大利亚（其需求曲线为q?100?2P）和美国（其需求曲线为q?100?4P）。如果该公司能够控制它在每一市场上的供给量，为了使总的利润最大化，它应该在每个地方各出售多少？在每个地方以什么价格出售？

3、假定有1000个相同的厂商生产钻石，每个厂商的总成本曲线为

2C?q2?wq

这里q是厂商的产出水平，是钻石工人的工资率。 1） 如果w＝10，厂商的（短期）供给曲线会如何？行业的供给曲线呢？在每一个

钻石价格为20时，会生产多少钻石？在价格为21时，会生产多少钻石？

2） 假定钻石工人的工资由钻石生产的总量决定，并且这种关系的形式为

w?0.002Q

这里Q为行业总产出，是典型厂商产出的1000倍。

在这种情况下，请说明厂商的边际成本（短期供给）曲线由Q决定，行业的供给曲线是什么？在价格为20时会生产多少？在价格为21时，会生产多少钻石？ 从短期供给曲线的形状看，你能得出什么结论？

4、小麦是在完全竞争市场上生产的。单个的小麦生产者都具有U型长期平均成本曲线，并且，在产量为1000蒲式耳时，达到最低平均成本每蒲式耳3美圆。

1） 如果对小麦的需求曲线为QD?2600000?200000P，这里QD是每年小麦的需求量，P

是每蒲式耳的价格，那么在长期均衡时，小麦的价格会如何？小麦的总需求量会如何？

会有多少个小麦的生产者？

2） 假定需求向外移动到QD?3200000?200000P。如果小麦生产者在短期不能调整其产出，那么伴随新需求曲线的市场价格会是多少？典型的生产者的利润又会有多大？ 3） 在2）中所描述的需求曲线下，新的长期均衡又会怎样？请计算在新情况下市场价格、

小麦产量以及新的均衡的生产者数目。 4） 用图形表示你的结果。

5、某完全竞争行业有大量的潜在进入者，每个厂商都有相同的成本结构，这样，在产出为

20个单位(qi?20)时，长期平均成本最小。.最小平均成本为每单位10元。总市场需求为：

Q?1500?50P

a.求行业长期供给曲线。 b.求长期均衡价格（P*）、行业总产出（Q*）、每个厂商的产出（q*）、厂商数目、每个厂商的利润。

c.与每个厂商长期均衡产出相关的短期总成本曲线为：C?0.5q?10q?200。请计算短期平均成本曲线和边际成本曲线。在什么产出水平上，短期平均成本最低？ d.请计算每个厂商的短期供给曲线和行业短期供给曲线。

e.假定市场需求函数向外移动到：Q?2000?50P。若在极短时间内厂商无法改变产出水平，重新回答b的各项问题。

f.在短期，请用行业短期供给曲线重新回答b的各项问题。 g.对行业来说，新的长期均衡是什么？

6、假定q?LK,0??,??1,????1

2222证明：1）MPL?0,MPK?0,?q/?L?0,?q/?K?0

2??2）RTS只取决于K/L而不依赖生产规模，而且RTS（L对K）随着L/K的增加而递减。 3） 上述柯布道格拉斯函数实际上是一次齐次的，进一步看，如果生产函数是K次

齐次的，即f(tK,tL)?tf(K,L)，2）的结论仍然适用吗？试证明之。

7、证明：对于欧拉定理，它意味着规模报酬不变的生产函数q?f(K,L)有

Kq?fKK?fLL

运用这一结论，证明1）、对于这种生产函数，如果MPL?APL，则MPK必为负数。这意味着生产应在何处进行呢？一个企业能够在APL递增的点进行生产吗？

2）、对于只有两种投入（K、L）的一个规模报酬不变的生产函数，fKL必定为正。解释这一结论。

8、假定q?LK,0??,??1,????1，K和L生产要素的市场价格分别为v和w。 1）、证明：成本最小化要求vK/??wL/?。该厂商的扩张线的形状是什么？ 2）、假定成本最小化，证明总成本可以表述为产出和要素价格的函数：

??TC?Bq1/???w?/???v?/???。其中B是依赖?,?的常量。

3）、证明：如果????1，则TC和q成比例。

4）、计算边际成本曲线。如果eMC,w,eMC,v分别代表边际成本的要素价格弹性，证明：

eMC,w??/(???),eMC,v??/(???)

9、一个富有进取心的企业家购买了两个工厂以生产装饰品。每个工厂生产相同产品而且每个工厂的生产函数都是

q?KiLi，i＝1，2

每个工厂在各自拥有的资本存量方面却不相同。工厂1拥有K1?25，工厂2拥有K2?100。要素价格是w?v?1 1）、如果该企业家试图最小化短期生产总成本，则产出应如何在两个工厂间分配？ 2）、给定两个工厂间的最优产量分配，计算短期总成本、平均成本和边际成本曲线。产量分别为100、125、200时的边际成本是多少？ 3）、在长期，应如何在两个工厂间分配产量？计算长期总成本、长期平均成本和边际成本曲线。 4）、如果两个工厂出现规模报酬递减，则3）将会有何变化？

10、CES

函数

??：

在一个两种要素的世界里，生产函数代表：

???1q?A???K??1???L???,A?0,0???1,-1???0。

?K?Kd???L?L?，证明：该生产函数的替代d?RTS1,2?RTS1,21）定义K和L的替代弹性为：?1,2弹性为常数；

2）证明：从该生产函数中产生的等产量曲线总是严格凸向原点；

3）证明：当0???1,??0时，等产量线可以写成?K中对于任意选定的q?0，Y是一个正的常数；

4）证明：当??1，??0时，该函数是科布—道格拉斯函数；

5）证明：当??0，????时，K和L是完全互补的，即如果K?L，RTS趋向0；如果K?L，RTS趋向正无穷；

6）证明：该函数为线性齐次函数。

???(1??)L???(q/A)???Y，其

微观经济学第二次习题解答

1、

2

、

3

、

4

5

、

7、

8.

1)证明: minvk??l s.t. q?LK

令V（L，K，λ）=vk+wl+λ(q－LK)

?????V?v－λ? K??1L?=0 ?k?V

??－λ? K?L??1=0 ?L?V?q－L?－K?=0 ?

?K=

??..L, 为通过原点的射线，也是等斜线。 ??

2）令TC=?L?vK （ⅰ） 由（1）知K=

????..L，代入q?LK， ?????q=L???( . )?;

??1???

? L=q??( . )???(ⅱ); ??? 同样， K=q1?????( . )??? (ⅲ); ???????由（ⅰ）、(ⅱ)、 (ⅲ)，有 TC ＝q1???????????[()???+()???] ????;其中B＝[()???+()???]，是依赖于?，?的常量。

??? ＝Bq1????????????????1??3）因为TC＝Bq???????????，

??若???＝1，则TC＝q(B????????),即成正比。

1??????4）MC＝dTC＝（1）????dq???Bq???????，

dMC?dMCMC，w ＝

?MC

＝

MC＝

d????;

MC,V＝

?d?????.

9.解答如下：

1）min TC＝TC1+TC2＝25+L1+100+L2

＝125+q2q21225+100;

S.T q1+q2＝Q

令L(Lq221 ,L2)= 125+1q225+100+? ? Q－（q1+q2）?

一阶条件

?L?q? 2q1－?=0 ； 125?L?q?2q2－?=0 ； 2100?L??? Q－（q1+q2）=0；

?q141＝5Q ；q2=5Q。

q12q22122）STC＝125++=125+Q;

2525125SAC＝

125Q2Q+; SMC＝; Q125125?SMC(Q=100)=1.6, SMC(Q=125)=2, SMC(Q=200)=3.2.

3) 长期中要素可变

min LTC＝(K1+ K2+L1 +L2);

s. t. (K1 L1) 1/2 +(K2 L2) 1/2 ?Q

令L(L1 ,L2,K1,K2, ?)= K1+ K2+ L1 +L2+? ? Q―(K1 L1) 1/2― (K2 L2) 1/2 )? 一阶条件

1＝1/2*?*(K1/ L1 ) 1/2

1＝1/2*?*(K2/ L2 ) 1/2

1＝1/2*?*(L1/ K1 ) 1/2

1＝1/2*?*(L2/ K2 ) 1/2

?K1/ L1 =K2/ L2 ，K1=L1 ，K2= L2 所以 L1+L2=Q,分配比例任意

LC(Q)=2(L1+L2) ＝2Q ； LAC＝2 ； LMC＝2.

??4）不妨令qi＝LiKi (????1)

min LTC＝(K1+ K2+L1 +L2);

s. t. q1＝L1K1;q2＝L2K2 Q＝q1+q2;

L(L1 ,L2,K1,K2,?,)= K1+ K2+ L1 +L2+? ? Q―L1K1―L2K2? 由一阶条件

?????????K1=

又由

??；K2?； ?L1?L2min LTC＝(K1+ K2+L1 +L2) ＝( s . t. Q＝q1+q2; 由一阶条件?q1=q2. 10.证明

1） q?A???K????+1) L1+(+1) L2； ????1???L?????1?；

1?q1???1???????1? =MPL＝A（-）?（1―）（—） L??K?1??L??????xK???＝A（1―?）???K??1???L??????1??11??1?L???1；

MPK＝A????K RTS＝- 1,2????1???L???K???1，

L1??dLMPK?＝=（）() ； MPLKdK1???1,2?K?Kd??1?L?L?=； 其中-1???0，故该生产函数的替代弹性?1,2为常数；

d?RTS1,2?RTS1,21??MPLL1??dK?＝=（）()，

KdLMPK1??2） 因为 RTS1,2＝-

当?＞-1时，RTS1,2是递减的，从该生产函数中产生的等产量曲线总是严格凸向原点 3）q?A???K????1???L?????1?q? ?K????1???L??= ()??，A＞0，

A所以，对于任意选定的q?0，Y是一个正的常数；

??4）q?A???K??1???L?????1? ? ㏑ q―㏑A=-

1?????㏑??K?1??L???, ??

??0,lim（㏑q―㏑A） =―lim??0?????ln??K?1??L??????0??K??lnK??1???L??lnL0（型）由洛必达法则，?lim（㏑q―㏑A）=lim ??????0??00?K?(1??)L=?㏑K+(1??)㏑L;

取极限值，㏑q―㏑A=?㏑K+(1??)㏑L ?q＝AKL5) RTS1,2=（

?1??.

L1???）()，当????时，若K＞L，RTS1,2 RTS趋向0；

K1??若K?L，RTS趋向正无穷。故K和L是完全互补的。 6)

??q(tK,tL)?A???1???(tL)?????(tK)??At??????K????1???L??????1????tA???1???L?????K??1??tq(K,L);

故该函数为线性齐次函数。

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