2022年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标3解三角

2021

年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标23解三角形

应用举例

［解密考纲］本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，解决实际应用问题.题型一般为填空题或解答题，题目难度中等偏难.

一、选择题

1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( B)

A．北偏东10°B．北偏西10°

C．南偏东10°D．南偏西10°

解析依题意作出图形可知，A在B北偏西10°的地方.

2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为( C)

A．1千米B．2sin 10° 千米

C．2cos 10° 千米D．cos 20° 千米

解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，

∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos 160°＝1＋1－2×1×1×cos(180°－20°)＝2＋2cos 20°＝4cos210°，∴BD＝2cos 10°.

3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( A)

A．10 2 海里B．10 3 海里

C．20 3 海里D．20 2 海里

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解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据

正弦定理得

BC

sin 30°

＝

AB

sin 45°

，解得BC＝102(海里)，故选A．

4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔的高度是( D)

A．100 2 m B．400 m

C．200 3 m D．500 m

解析由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt △ABD中，由已知得BD＝3h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m).

5．长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C 1．4 m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α＝( A)

A．

231

5

B．

5

16

C．

231

16

D．

11

5

解析由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1．4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB ＝π.

由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即 3.52＝1．42＋2.82－2×1．4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝

5

16

，所以sin α＝

231

16

，所以tan α＝

sin α

cos α

实用文档

＝

231

5

.

6．(xx·四川成都模拟)如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，

B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为( A)

A．(30＋303) m B．(30＋153) m

C．(15＋303) m D．(15＋153) m

解析设建筑物高度为h，则

h

tan 30°

－

h

tan 45°

＝60，即(3－1)h＝60，所以建筑物的高度为h＝(30＋303)m.

二、填空题

7．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile，此船的航速是32 n mile/h.

解析设航速为v n mile/h，在△ABS中，AB＝

1

2

v，

BS＝8 2 n mile，∠BSA＝45°，

由正弦定理，得

82

sin 30°

＝

1

2

v

sin 45°

，∴v＝32 n mile/h.

8．某人在地上画了一个角∠BDA＝60°，他从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为16米.

解析如图，设DN＝x米，则142＝102＋x2－2×10×x cos 60°，∴x2－10x－96＝0.

∴(x－16)(x＋6)＝0.∴x＝16.

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∴N与D之间的距离为16米.

9．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M 点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°.从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN

＝150 m.

解析在△ABC中，AC＝1002，在△MAC中，

MA

sin 60°

＝

AC

sin 45°

，解得MA＝1003，在△MNA中，

MN

1003

＝sin 60°＝

3

2

，故MN

＝150，即山高MN为150 m.

三、解答题

10．已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇，岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？

?

?

?

?

?

参考数据：sin 38°＝

53

14

，sin 22°＝

33

14

解析如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5海里，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 120°，所以BC2＝49，

BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得

sin ∠ABC＝

AC·sin ∠BAC

BC

＝

5×

3

2

7

＝

53

14

，

所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.

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实用文档 11．(xx·广东广州模拟)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，DC ＝CE ＝1(百米).

(1)求△CDE 的面积；

(2)求A ，B 之间的距离.

解析 (1)连接DE ，在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°，S △ECD ＝12

DC ·CE ·sin 150°＝12×sin 30°＝12×12＝14

(平方百米).

(2)依题意知，在Rt △ACD 中，AC ＝DC ·tan∠ADC ＝1×tan 60°＝ 3.

在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°.

由正弦定理， 得BC ＝CE sin ∠CBE ·sin ∠CEB ＝1sin 30°×sin 45°＝ 2. 因为cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45° ＝12×22＋32×22＝6＋24

. 连接AB ，在△ABC 中，由余弦定理得，

AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝ (3)2＋(2)2－23×2×

6＋24＝2－3， 所以AB ＝2－3＝6－22

(百米). 12．(xx·河北石家庄重点高中摸底)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE

为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910

km.

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