高考数学 数列问题的题型与方法

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第11讲数列问题的题型与方法

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，

等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

一、知识整合

1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；

2．在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．3．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．

二、方法技巧

1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：

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2 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。

(2)通项公式法：

①若

= +（n-1）d= +（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列； ②若 ，则{}n a 为等比数列。

(3)中项公式法：验证中项公式成立。

2. 在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当1a >0,d<0时，满足1

00m m a a +≥??≤?的项数m 使得m S 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足100m m a a +≤??≥?的项数m 使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

三、注意事项

1．证明数列{}n a 是等差或等比数列常用定义，即通过证明11-+-=-n n n n a a a a 或

1

1-+=n n n n a a a a 而得。 2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵

活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

3．注意n s 与n a 之间关系的转化。如：

n a =1100n n S S S -≤??-≥? 2

1≥=n n ， n a =∑=--+n k k k a a a 211)(．

4．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极

限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．

5．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．

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3 四、例题解析

例1．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，其前n 项和为S n ．

(2)过点Q 1(1，a 1)，Q 2(2，

a 2

)作直线12，设l 1与l 2的夹角为θ，

证明：(1)

因为等差数列{a n }的公差d ≠0，所以

Kp 1p

k

是常数(k=2，3，…，n)．

(2)直线l 2的方程为y-a 1=d(x-1)，直线l 2的斜率为d ．

例2．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，

⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2

==n a c n n n ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +-S 1n +作切入点探索解题的途径．

解：(1)由S 1n +=4a 2n +，S 2n +=4a 1n ++2，两式相减，得S 2n +-S 1n +=4(a 1n +-a n )，即

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4 a 2n +=4a 1n +-4a n ．(根据b n 的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)

a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n )，又

b n =a 1n +-2a n ，所以b 1n +=2b n ①

已知S 2=4a 1+2，a 1=1，a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5，b 1=a 2-2a 1=3 ②

由①和②得，数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故b n =3·21n -．

当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=21n -(3n-4)+2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式．

综上可知，所求的求和公式为S n =21n -(3n-4)+2．

说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n 项和。解决本题的关键在于由条件241+=+n n a S 得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

例3．（04年浙江）设数列{a n }的前项的和S n =

3

1（a n -1） (n ∈N +),（1）求a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列。 解: (Ⅰ)由)1(3111-=

a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21- 又)1(3

122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得4

12=a . (Ⅱ)当n >1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a 得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为2

1-的等比数列.

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5 例4、（04年重庆）设a 1=1,a 2=35,a n +2=35a n +1-3

2a n (n =1,2,---),令b n =a n +1-a n (n =1,2---)求数列{b n }的通项公式，(2)求数列{na n }的前n 项的和S n 。

解：（I ）因121+++-=n n n a a b 1115222()3333

n n n n n n a a a a a b +++=

--=-= 故{b n }是公比为32的等比数列，且故,32121=-=a a b ),2,1()3

2( ==n b n n （II ）由得n n n n a a b )32(1=-=+ )()()(121111a a a a a a a a n n n n n -++-+-=--++

])3

2(1[232)32()32()32(21n n n -=++++=- 注意到,11=a 可得),2,1(3

231 =-=-n a n n

n

记数列}32{11

--n n n 的前n 项和为T n ，则 1222222212(),2()()333333

n n n n T n T n -=+?++?=+?++? 2112222221()()()3[1()](),3333333

n n n n n T n n -=++++-=--两式相减得 1

112122(3)29[1()]3()93333(3)223(12)2(1)1823

n

n n n n n n n n n n T n n S a a na n T n n -+-+=--=-+=+++=+++-=++-故从而

例5．在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，

对一切正整数n ，点n P 位于函数4133+

=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以2

5-为首项，1-为公差的等差数列{}n x 。

⑴求点n P 的坐标；

⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n

c 的顶点为n P ，且过点)1,0(2+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：n

n k k k k k k 13221111-+++ 。

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6 ⑶设{}{}1,4|,1,,2|≥==≥∈==n y y y T n N n x x x S n n ，等差数列{}n a 的任一项T S a n ?∈，其中1a 是T S ?中的最大数，12526510-<<-a ，求{}n a 的通项公式。 解：（1）2

3)1()1(25--=-?-+-=n n x n 1353533,(,3)4424

n n n y x n P n n ∴=?+=--∴---- （2）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P .∴设n c 的方程为：

,4

512)232(2+-++=n n x a y 把)1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：1)32(22++++=n x n x y 。

32|0'+===n y k x n ，)3

21121(21)32)(12(111+-+=++=∴-n n n n k k n n n n k k k k k k 13221111-+++∴ )]3

21121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n =6

41101)32151(21+-=+-n n （3）}1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x S ，

}1,),512(|{≥∈+-==n N n n y y T }1,,3)16(2|{≥∈-+-==n N n n y y ,S T T ∴=T 中最大数171-=a .

设}{n a 公差为d ，则)125,265(91710--∈+-=d a ，由此得

).(247,24),(12,129

248**N n n a d N m m d T a d n n ∈-=∴-=∴∈-=∴∈-<<-

又 说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出n k ，解决（3）的关键在于算出S T 及求数列{}n a 的公差。

例6．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈

⑴求数列{}n a 的通项公式；

⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；

⑶设n b =)

12(1n a n -)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>

n T 32m 成立若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。 解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ， 由题意得2382-=?+=d d ，n n a n 210)1(28-=--=∴.

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7 （2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时

21281029,2

n n a a a n n n +-=+++=

?=- 6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 76521 4092)(2555+-=-=--=n n S S S S S n n

故=n S 40

9922

+--n n n n

65≥≤n n （3）)1

11(21)1(21)12(1+-=+=-=n n n n a n b n n ∴n T )]1

11()111()4131()3121()211[(21+-+--++-+-+-=n n n n .)1(2+=n n 若32m T n >对任意*N n ∈成立，即16

1m n n >+对任意*N n ∈成立， )(1*N n n n ∈+ 的最小值是21，,2

116<∴m m ∴的最大整数值是7。 即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32m T n > 说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。.

五、强化训练

（一）用基本量方法解题

1、（04年浙江）已知等差数列的公差为2，若a 1,a 3,a 4成等比数列，则a 2= （B ）

A －4

B －6

C －8

D －10

（二）用赋值法解题

2、（96年）等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（C ）

A 130

B 170

C 210

D 260

3、（01年）设{a n }是公比为q 的等比数列， S n 是{a n }的前n 项和,若{S n }是等差数列，则q =__1_

4、设数列{a n }的前项的和S n =

2)13(1-n a （对于所有n ≥1），且a 4=54,则a 1=__2___

（三）用整体化方法解题 5、（00年）已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a 101=0,则有（C ）

A a 1+a 101>0

B a 2+a 100<0

C a 3+a 99=0

D a 51=51

6、（02年）若一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，

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8 则这个数列的项数为（A ）

A 13

B 12

C 11

D 10

7、（03年上海）在等差数列{a n }中a 5=3，a 6=-2,a 4+a 5+…+a 10=-49

（四）用函数方法解题

8、（04年天津）已知数列{a n },那么“对任意的n ∈N +,点P n (n ,a n )都在直线y =x +1上”是“{a n }为等差数列”的（ B ）

A 必要条件

B 充分条件

C 充要条件

D 既不充分也不必要条件

9、（99年上海）已知等差数列{a n }满足3a 4=7a 7,且a 1>0,S n 是{a n }的前n 项和，S n 取得最大值，则n =___9______.

10、（01年上海）已知数列{a n }中a n =2n -7,(n ∈N +),1a +2a +--+15a =_153___

（五）用递推方法解题

11、（03年全国）设{a n }是首项为1的正项数列，且（n +1）a 2n +1-na n 2+a n +1a n =0,求它的通项公式是__1/n

12、（04年全国）已知数列{a n }满足=1,a n =a 1+2a 2+3a 3+---+(n -1)a n -1 (n >1),则{a n }的通项a n =______a 1=1;a n =2

!n n ≥2 13、（04年北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为__3___，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为__当n 为偶数时，S n n =52；当n 为奇数时，S n n =-5212

14. （04年全国）已知数列{a n }中，a 1=1，a 2k =a 2k -1+(-1)K ,a 2k +1=a 2k +3k ,其中k =1,2,3，…。

(1)求a 3,a 5； （2）求{a n }的通项公式

解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0, a 3=a 2+31==a 3+(－1)2=4 a 5=a 4+32

=13, 所以，a 3=3,a 5=13. (II) a 2k +1=a 2k +3k = a 2k －1+(－1)k +3k , 所以a 2k +1－a 2k －1=3k +(－1)k ,

同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1, a 3－a 1=3+(－1).

所以(a 2k +1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)

=(3k +3

k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)],

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9 由此得a2k+1－a1=

2

3

(3k－1)+

2

1

[(－1)k－1],

于是a2k+1=.1

)1

(

2

1

2

31

-

-

+

+

k

k

a2k=a2k－1+(－1)k=

2

1

2

3

+

k

(－1)k－1－1+(－1)k=

2

1

2

3

+

k

(－1)k=1.

{a n}的通项公式为：

当n为奇数时，a n=;1

2

1

)1

(

2

3

2

1

2

1

-

?

-

+

-

+

n

n

当n为偶数时，.1

2

1

)1

(

2

3

2

2

-

?

-

+

=

n

n

n

a

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