9.三角函数与平面向量专题复习策略

三角函数与平面向量专题复习策略

九江市同文中学 陈 劲

《三角函数》是高中数学教学重点内容，是以角作为自变量的一类函数，包含了三角公式的变换，三角函数的图像和性质，解三角形及其应用等内容，一直是数学高考的主体内容， 《平面向量》作为课程新增内容，具有代数和几何形式的“双重身份”，这使它成为中学数学知识的一个交汇点，在数学高考高考试题中有着重要的地位。这部分能否得高分对数学成绩是否理想在一定程度上起着决定性的影响.

一、知识结构和考纲要求

2．平面向量

《三角函数》是高中数学教学重点内容，是高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，选择题、填空题、解答题等类型都会出现三角函数的相关知识，难度不大，属“较易”到“中等”，所以是兵家必争之地，大家都希望拿满分。看看江西省近三年高考解答题考点分布情

察要求有所降低，但对三角函数的图像与性质的考察却有所加强，三角题一般两小（或三小）题一大题，占总分的15﹪。从考察的内容看，主要涉及以下四类问题：

（1） 应用同角变换，诱导公式和两角和与差的三角函数公式求值和等式的证明问题； （2） 与三角函数图像，性质有关的问题；

（3） 三角形中的三角函数问题（解三角形及其应用）； （4） 与平面向量，导数的综合问题。

高考试题蕴含着丰富的信息，特别是近三年的高考题融入了教育改革的理念，对教学具 有辐射，导向的作用，如果教师能够认真分析，整合资源，这将是一笔丰厚的财富，一定能得到许多的启示。

《平面向量》作为课程新增内容，具有代数和几何形式的“双重身份”，有着极其丰富的 实际背景，这使它成为中学数学知识的一个交汇点，也成为多项内容的媒介，在高考试题中主要考察有关基础知识，侧重平面向量的数量积以及平面向量的平行，垂直关系的坐标运算。高考考察重点主要体现在平面向量的数量积，坐标运算以及平面向量在三角，解析几何等方面的应用，突出向量的工具作用。考题通常以中等难度为主。在复习中要重视教材的基础作用，加强基本概念，基础知识的复习，做到概念清楚，运算准确，不必追求解难题。

近三年年江西省高考试卷三角函数和平面向量部分试题分布及考查的知识点如下：

三、高考试题的特点分析

近几年来，三角函数和平面向量试题具有以下几个特点：

1、突出基础知识，基本共识与基本技能的考查.即源于基础，又高于基础；稳中有变， 但变中又有“定”.

（1）三角函数内容最大的特点就是公式多，变换的形式多，如何确定变形方法和方向是解题的关键。要求学生对公式要能“正用，逆用，变用，巧用”。应用同角变换，诱导公式，两角和与差的三角函数公式求值，化简和等式的证明问题，是三角函数最常见的考点，此类考题比较简单，源于课本的三角函数公式的习题，但是又高于课本，有些问题带有隐蔽性，需要适当转化才能化归为课本习题.

1

4，则sin2 tan

1111A. B. C. D. 5432

例1：（2012年江西卷理科第4题）若tan

本题考查三角变换公式的应用及转化与化归，整体代换的数学思想。已知某个角的正

切值，求关于正弦，余弦的齐次分式时，常将正弦，余弦转化为正切，即弦化切，来达到简解的目的。也可以利用切化弦的常规转化.

11 tan2 4， 1 tan2 4tan 解一：tan

tan tan sin2 2sin cos

2sin cos 2tan 2tan 1

sin2 cos2 1 tan2 4tan 2

1sin cos sin2 cos2 12

4 解二：tan

tan cos sin sin cos sin cos sin2 sin2

1 2

对于三角函数求值的考查主要集中在同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式上。重点和难点是记忆及熟练运用两角和与差的三角函数公式及二倍角公式。一道选择题启示着我们的教学方向，学习三角函数公式不要只做表面文章，而应深入研究公式，定理的来龙去脉，变化形式，通过训练克服逆向运用这一难点。在教学上让学生熟悉一些常见的恒等变形代换，如“1”的代换，1 sin cos tan cot tan

2

2

4

，

弦切互化，引入辅助角进行“合一变换”等，十分有利于培养学生的计算能力及逆向思维能

力.

例2：（2013年重庆卷理科第9题）4cos50 tan40 （ ）

B.

D.1 2

这道三角函数无条件求值问题，意在考查学生对公式的运用能力。对于三角函数求值问题,关键有“三看”：即（1）看角，关注角和角之间的关系，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，注意拆角，拼角等技巧；例如：已知cos( 学生一般会把cos(

6

)

4

，且 为锐角，求sin 的值。5

6

)展开，教师应引导学生作角度变换的技巧（ (

6

)

6

）并

小结常见的角度变换方法（ ( ) ,

2

(

2

) (

2

)等）。（2）看名称，

把一道等式尽量化为同一名称或相近名称，例如把所有的“切”都转化为相应的“弦”或把

所有的“弦”都转化为相应的“切”；（3）看式子结构，要能“正用，逆用，变用，巧用”三角公式，如何将条件角化为目标角，将目标角用条件角表示。

sin4004sin400cos400 sin400

解：4cos50 tan40 4cos50 00

cos40cos40

3cos100300

2sin80 sin402cos10 sin(30 10)

00

cos40cos40cos400

（2）三角函数图像，性质是三角函数的主体内容，是高考的重点和热点。内容上，主要

考查三角函数的周期性，单调性，奇偶性，对称性，有界性，五点作图法及图形变换等；形式上，一般为选择题，填空题，也可能是解答题，大多为中低档题.

例3：（2013年安徽卷理科第16题）已知函数f(x) cos x sin( x 小正周期为 .

（1）求 的值；

（2）讨论f(x)在区间[0,

4

)( 0)的最

2

]上的单调性.

解：（1

）f(x) cos x sin( x

4

) x cos x

2 x

2 x cos2 x) 2sin(2 x )42

, 1 函数f(x)的最小正周期为 ，且 0， 2

（2）由（1

）知：f(x) 2sin(2x

5

) ，若x [0,]，则 2x ； 42444

]时，f(x)单调递增；

28

5 当 2x ，即x [,]时，f(x)单调递减. 24482

当

4

2x

4

，即x [0,

例4：（2013年江西卷理科第11题）

函数y sin2x 2x的最小正周期为.

解：y sin2x x 2sin(2x

2

3

) 最小正周期T .

这些高考题主要考查了两角和与差公式，三角函数的性质，意在考查转化与化归思想的

运用。高考对于三角函数图像性质的考查通常遵循“先变形，后研究”的模式，变形的目标即为y Asin( x ) B的形式，变形时涉及升（降）次公式，二倍角公式，辅助角公式，图像变换，在此过程中，等价转化思想，数行结合思想，整体代换思想都得到不同程度的考查。在教学中，教师应注意数学思维的训练，克服单向性，定向性。通过训练让学生亲自体会如何利用角之间的倍，半，和，差等关系进行变角，如何进行升（降）次代换。把这些训练落实到平时的教学之中，并注意引导学生及时总结归纳，提高对问题的分析及对知识的灵活运用能力。

（3）高考对解三角形的考查通常分两个层面：知识层面要求“掌握正弦定理，余弦定 理，并能解决一些简单的三角形度量问题“，运用层面要求“能够正弦定理，余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题”。新课标对解三角形要求明显高于以往，总体思路时客观题直接考查正弦定理，余弦定理；解答题则与三角函数，向量等结合，通过边角互化和三角运算化简变形，最后获得问题的解。值得注意的是江西省连续三年都是考查了解三角形问题，很多考生由于处理不当导致三角题成为重要的区分点。

例5：（2013年江西卷理科第12题）在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，

已知cosC (cosAA)cosB 0.

（1）求角B的大小；

（2）若a c 1，求b的取值范围.

本题主要考查了三角变换与解三角形中知识，意在考查学生转化与化归能力及三角计算 的能力。第（1）问先将cosC转化为 cos(A B)，再展开原式求出角B；第（2）问利用余弦定理构造b与a,c的关系，由a c 1及（1）中求得的cosB，将c化去，于是构造出

b关于a的函数式，在利用函数知识即可求得b的取值范围.

解：（1

）由已知得 cos(A B) cosAcosBAcosB 0，即

sinAsinBAcosB 0，因为sinA

0，所以sinBB 0得B

（2）由余弦定理，b a c 2accosB,B

3

。

,a c 1，得：

3

1111

b2 3(a )2 ，又0 a 1，所以 b2 1，即 b 1.

2442

222

高考题中经常将三角变换与解三角形中知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三

角变换中主要是“变角，变函数名和变运算形式”，其中核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据是三角函数公式.

求三角形中的一些基本量，主要是指求三角形的三边，三角及面积等，它的实质是将几何问题转化为代数问题，解题的关键是正确分析边角关系，依据条件合理设计解题程序，利用三角形的内角和定理，正弦定理及余弦定理等进行三角形中边角的互化.

（4）平面向量的概念及线性运算中的加法，减法运算的法则与几何意义以及向量共线 问题是考查热点，且容易出现情境新颖，设计巧妙的新题。平面向量的数量级是高考命题的热点，其考查内容主要有以下三个方面：一是数量级的运算，化简，证明等；二是向量平行，垂直，夹角等问题；三是数量级的综合运用.

例6：（2013年江西卷理科第12题）设e1,e2为单位向量，且e1,e2的夹角为

，若 3

a e1 3e2,b 2e1，则向量a在b方向上的射影为 .

本题考查向量的数量级，向量的射影及模长公式，意在考查学生的运算能力.

解：e1 e2

1，且e1 e2

1a b5,a b 2,所以acos a,b ， 22

b

要注意“向量a在b方向上的射影”与“向量b在a方向上的射影”的区别，前者 为acos a,b ，后者为bcos a,b .

例7：（2012年北京卷理科第13题）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE CB的值为DE DC的最大值为本题考查向量的线性运算，向量的数量级运算等基础知识，考查学生的坐标思想，数形结合思想，等价转换思想及运算能力。通过建立直角坐标系很容易得到DE CB的值为1，

DE DC的最大值1.

由于向量具有代数和几何形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，也 成为多项内容的媒介，解析几何等方面的应用，突出向量的工具作用。

例如2012年江西卷理科第20题已知三点O(0,0),A( 2,1),B(2,1)，曲线C上任意一

点M(x,y)满足MA MB OM (OA OB) 2.（1）求曲线C的方程；（2）略. 这些问题充分体现了向量的工具作用，在平面位置关系中的平行，垂直，夹角及比例关系中都可以利用向量为载体。教学中，在复习“向量”单元时，应注重向量的工具作用，体现向量在平面位置关系中的规范表达，强调向量的几何意义.有时候用几何意义解题，会比用代数方法来的巧妙，可以避免大量繁琐的计算.

2、体现出高考命题灵活的原则。改变基础知识的编排顺序与配合方式，打破学生“记忆式”的解题思路，使题目以全新的面孔出现.

例8：（2012年江西卷理科第17题）在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c， 已知A

4

，bsin(

C) csin( B) a.

44

（1）求证：B C （2

）若a

2

；

ABC的面积.

本题主要考查了三角函数的化简和证明，三角形中的三角函数（正弦定理的应用），

学生分析问题，解决问题及三角计算的能力。第（1）问先由正弦定理化边为角，再化简已知三角式即证；第（2）问直接把B,C算出来，再利用面积公式求值. 解：由bsin(

C) csin( B) a，应用正弦定理，得 44

sinBsin( C) sinCsin( B)

sinA44

sinB C C) sinCB cosB)

22222

整理得：sinBcosC cosBsinC 1，即sin(B C) 1 由于0 B,C

3

，所以B C ； 42

3 5

,C ，

，所以B

24488 asinB5 asinC

2sin 2sin， 由a A ，得b ，c

4sinA8sinA8

15 1

sin sin . 所以

ABC的面积S bcsinA 288882

（2）由B C

，A

，所以B C

我们的学生往往是怕“生”不怕难，第（2）问在遇到非特殊角的情况下思维受阻，

导致丢分，在教学上要让学生学会分析问题，培养克服困难的精神，通过转化使得解题能进行下去.

例9：（2011年江西卷理科第17题）在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c， 已知sinC cosC 1 sin

C

. 2

（1）求证：sinC的值；

（2）若a b 4(a b) 8，求边c的值.

本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，倍角公式，同角三角函数基本关系式及解三角形（余弦定理）等基础知识，考查学生推理论证能力，抽象概括能力，运算能力.转化

2

2

C

1 cosC，在2

CC32C利用倍角公式得sin(2cos 1) 2sin，化简再利用平方关系得sinC ；第（2）2224

与化归思想。第（1）问先对已知等式的结构进行整理，化为sinC sin

问利用a2 b2 4(a b) 8得(a 2)2 (b 2)2 0，但很多考生却没有看出这一变化，2011年我参加了高考阅卷工作，正好改这一题，考生得分很不理想，究其原因，学生总是

在三角函数的有关公式中思考，特别是用余弦定理的方向去思考（可能他们认为结构上有点像），其结果不了了之。这正体现了高考命题灵活的原则，打破那种只凭熟练就能考好的备考模式，让真正有思维的考生能够脱颖而出.

3、反映“在知识交汇处命题”的理念.在知识交汇处命题也是新课标考纲明确提出的，主要考查学生如何将新的问题化归为自己熟悉的问题，渗透了化归思想。这种“交汇”现已突破模块的范围，备受命题者的青睐，这种考题形式更加灵活，内容更加新颖，解法更加灵活，要引起重视。所以我们应该以整个中学数学知识为背景，全方位地复习、巩固“双基”，不能有丝毫的侥幸心理.

例10：（2013年辽宁卷文科第17

题）已知向量a x,sinx)，

b (cosx,sinx),x [0,].

2

（1）若a b，求x的值；

（2）设函数f(x) a b，求函数y f(x)的最大值.

本题主要考查向量的坐标运算，模的定义，向量的数量积运算，三角函数式的化简，以及闭区间上的函数最值问题，意在考查学生三角函数的综合运用能力.

第（1）问：由模长相等可以把向量问题转化为三角函数问题，得到4sinx 1，又

2

1

x [0,]，所以sinx ，则x ；第（2）问：通过降幂公式和二倍角公式可化

226

13

简为f(x) sin(2x ) ，然后结合正弦函数的值域求得最大值为.

622

这道题最大的亮点就是跨章节命题，用平面向量坐标形式呈现，从向量模长相等及向

数量积运算的知识入手，考查三角函数中最常见的求值问题，函数最值问题。体现了以平面向量为载体，三角函数为核心的有机结合.

纵观近三年的高考数学三角函数题可以发现考查的形式多变.三角函数和平面向量结合，和导数不等式结合，和数列结合等.例如：

（2013年北京卷文科第18题）设函数f(x) x xsinx cosx， (1)若曲线y f(x)在点(a,f(a))处与直线y b相切，求a,b的值； （2）若曲线y f(x)与直线y b有两个不同的交点，求b的取值范围. （2013年安徽卷理科科第20题）等.

2

4、重视数学思想的考查。数学思想，特别是函数方程、等价转化、分类讨论、数形结合等，是数学的灵魂，是解答数学题的最高准则，是我们解题行为的总的指导方针。 “数形结合”是非常重要的数学思想方法，该方法运用得当，可以非常巧妙地解出用常规方法很难解的题，在高考试卷中不管大题还是小题都不乏该思想方法的应用。

例11：（2013年湖南卷文科第8题）已知a,b是单位向量，a b 0.若向量c满足

c a b 1，则c的最大值为（ ）

1

1

2

本题主要考查向量的坐标运算，向量模的几何含义与向量模的最值求解，意在考查学 生的转化能力，数形结合思想的运用能力。向量运算，如果能建立坐标系，则优先建系，运用向量坐标运算求解，建立平面直角坐标系，令向量a,b的坐标为a (1,0),b (0,1)，令

22

向量c

(x,y) 1，c的最大值为圆(x 1) (y 1) 1上的

动点到原点距离的最大值，可转化为圆心(1,1)

1。

例12：（2013年福建卷理科第21题）如图：在等要直角三角形 OPQ中，

POQ

900，OP M在线段PQ上.

（1

）若OM PM的长；

（2）若点N在线段MQ上，且 MON 30，问：当 POM取何值时， OMN的面积最小，并求出最小值.

本题要求比较高,主要考查了解三角形，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数等基础知识，考查学生推理论证能力，抽象概括能力，运算能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，转化与化归思想。第（1）问先由余弦定理可求解，第（2）问利用正弦定理及三角形面积公式，得到S OMN与 POM的关系，再利用三角函数的有界性求最大值和最小值.

解：（1）在

OMP中， OPM 450,OM OP ，由余弦定理得：

OM2 OP2 MP2 2 OP MPcos45，得MP2 4MP 3 0，得MP 1或3.

OPsin450（2）设 POM x,0 x 60，在在 OMP中，由正弦定理：OM ，

sin(450 x)

1OPsin450

S OM ONsin MON 同理：ON ， 所以 OMN0

2sin(75 x)

11

sin(450 x)sin(750 x)sin(450 x)sin(450 x 300)00 x 600,300 2x 300 1500, x 300,sin(2x 300) 1，此时， OMN的面积

最小，即当 POM 30时，

OMN的面积最小为8 .

四、2014高考命题趋势分析及备考建议

数学高考专题复习课没有固定的模式，也没有固定的选题，但是有一点是可以肯定的，那就是专题复习绝不是也不应当是第一轮复习的简单重复.

1．回归教材，注重三角函数的概念教学。三角函数大题考查主要在前三题中，难度不 大，但单一型的题目将被更多的综合型题目所取代。特别是选择或填空题，每道题考查的知识点也可能是两个、三个或更多个；容易出现情境新颖，设计巧妙的新题.学生往往容易失分，在单元复习时注重各个单元知识“交汇点”的梳理，形成知识网络，便于在大脑中迅速、准确的提取。在第一轮复习过程中，可设计一些灵活多变的概念题，以选择或填空题的形式让学生反复练习，同时关注学生易错点，同步收集学生错题进行补偿练习.

2．建构知识网络，对章节知识进行全面梳理，明确各知识的之间的联系.例如：从三角函数的定义到诱导公式，从两角和与差的三角函数公式到二倍角公式，利用向量证明正，余弦定理等，同时关注高考热点，分析近三年高考真题，提出命题趋势的把握，对有关题型进行归类整理。以提高学生的训练效率.

3．控制难度，注重教学的层次性.高考命题是以《考试说明》为依据的，高三数学复习要以《考试说明》为指导，注意各知识点的难度控制，要弄清《考试说明》中各项要求的具体落脚点，把握试题改革的新趋势.不要随便扩充和加深。例如三角函数的图像和性质复 习，可以通过由简单到复杂变式教学：“正弦函数，余弦函数和正切函数的图像和性质”到 “y Af( x )型的函数的图像和性质”到“一般三角函数式的图像和性质”，总结解决三角函数图像和性质一般思路和做法，由易到难、循序渐进，并在此基础上提炼转化与化归，数形结合等思想方法。同时，习题课应特别注意例题选择的综合性，习题教学的层次性，注重变式教学，让学生逐步掌握三角函数的基本知识技能，体会基本数学思想方法.

4．规范解题，突出关键步骤。高考阅卷中，学生经常因解题不规范导致“该得分而没有得分”。对数学解答而言，解答过程的叙述要符合逻辑要求，不仅因果顺序不能颠倒，而且要步步有据，跨步要合理，主要步骤（评卷中的得分点）都要明确无误的表达出来.这就要求教师规范地做好示范作用。时间再紧张，也要对学生把得分步骤交代清楚.

5．注意三角函数与其他知识的综合.三角函数和平面向量结合，和导数不等式结合等依然是高考命题的热点，教学上要重视三角函数的工具性作用，让一些有能力的学生进行知识应用的拓展，有意识的注重知识板块的交叉运用，达到板块间的融会贯通.

6．关注教学主体学生对基本知识及基本技能的落实，注重学生自主学习.要求学生对自己的错误进行归纳小结，找出错误的类型和原因，对易错问题要经常练习，对易混淆问题要对比练习，对重点问题要反复练习，对练习后仍没有达到要求的学生要组织相关的训练进行补救，直至完全过关。为了提高辅导的针对性，要坚持采取个别辅导的方式，对一些成绩较差的学生的作业和练习要坚持面批.同时建立“学生练习情况记录表”，将练习、作业、演板、考试中显露出来的问题记录下来，及时掌握学生知识的缺陷和薄弱环节，做好解题后的反思工作，使学生练一次、考一次就能提高一次.

认真研究高考题能给我们许多启示：坚持“最基础的知识才是最有用的知识”的原则， 狠抓基础知识和基本思想方法的教学；重视过程教学，注意知识的发生发展过程，充分挖掘课本中每一个概念的内涵及与他相关联的知识之间的联系，形成知识网络；从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，拓宽题材，多样化，宽角度，多视点地培养学生的数学素养；让学生体验生活背景，丰富数学视野，不断培养学生用数学知识解决现实问题的能力，体现数学的科学价值和人文价值.

二〇一三年十二月六日

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jll1.html