广东省中山市2014届高三数学综合试题 - 图文

广东省中山市2014届高三数学综合试题

理科

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.) 1.若复数z满足iz?2?4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是 A . ?2,4? B．?2,?4?

C．?4,?2?

D．?4,2?

2. 已知直线l,m和平面?， 则下列命题正确的是

A．若l//m,m??，则l//? B．若l//?,m??，则l//m C．若l?m,l??，则m//? D．若l??,m??，则l?m 3. 已知a,b是实数，则”a?2且b?3”是“a?b?5”的（ ）

A． 充分不必要条件 C． 充分必要条件 B． 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 4.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（ ） A.12 B.13 C.14 D.15

5．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与 俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ） A.

6622 B . C . D . 2424N?xa?x?6 ,且 M6．已知集合M?x|x?4|?|x?1|?5，

A．6 B．7 C．8 D．9

????N??2,b?,则a?b?

x2y27．已知双曲线2?2?1（a?0，b?0），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于

abM,N两点，O为坐标原点，若OM?ON，则双曲线的离心率为（ ）

A．1?31?5?1?3?1?5 B． C． D．

22228．将边长为2的等边三角形PAB沿x轴滚动，某时刻P与坐标原点重合（如图），设顶点

P(x,y)的轨迹方程是y?f(x)，关于函数y?f(x)有下列说法：

①f(x)的值域为[0,2]； ②f(x)是周期函数； ③f(?1.9)?f(?)?f(2013)； ④其中正确的说法个数为:

A.1 B.2 C.3 D. 4

二、填空题：(本大题共6小题,每小题5分,满分30分．) （一）必做题（8～13题）

69．二项式(2x?)的展开式中常数项是 。

y B ?609f(x)dx??.

2O P A x 第8题图

1x10．某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表： x y 10 62 20 30 75 40 81 50 89 由最小二乘法求得回归方程为y?0.67x?54.9，现发现 表中有一个数据丢失了，请推断该点数据的值为 11．某程序框图如图1所示，则输出的结果S= 12.已知x?0,y?0，且

16??1，则2x?3y的最小值为 xy13.下图所示一系列数表依次是三项(a?b?c)n(n?0,1,2,3,数表6的第5行第3个数为______.

)展开式系数按一定规律排列

所得，可发现数表的第k行共有k个数。依此类推, 数表6的第3行第1个数为______，

（二）选做题：考生从下面两题中任选一题。两题都选者按14题给分。 14．在极坐标系中，过点(3,

?3

)且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是

15. 如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠CAD，⊙O是以 AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于 点E. 若EB＝6，EC＝6

2，则BC的长为 ．

三、解答题：（共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.） 16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?Asin(4x??)(A?0,0????)在x?（1）求f(x)的解析式； （2）若??[?

?16时取得最大值2．

?1?6?,0],f(??)?，求sin(2??)的值． 24165417.（本小题满分12分）某厂家将一批产品卖给某商家时，商家按合同规定需随机抽取一定数量的产品进行检验.

（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率都为0.8，商家对其中的任意3件产品进行检验.求恰有2件是合格品的概率；

（2）若厂家发给商家10件产品，其中有2件不合格，若该商家从中任取2件进行检验。设该商家可能检验出不合格产品的件数为?，求?的分布列及期望E?。

18. (本小题满分14分)

在如图所示的几何体中，四边形ABDE为直角梯形，AE?AB,AE//BD， AC?BC，

AC?BC?BD?2AE?2，CE?5，M是AB的中点。

（1）求证：平面ABDE?平面ABC； （2）求二面角D?CE?M的余弦值； （3）求三棱锥D?CME的体积。

DEACMB

19．（本小题满分14分）椭圆的中心在原点，它的短轴长是22，一个焦点F(c,0)(c?0)，

a2直线l:x?与x轴相交于点A，OF?2FA，过点A的直线与椭圆相交于P,Q两点。

c（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若OP?OQ?0,求直线PQ的方程。

20．（本小题满分14分） 已知正项数列的前项和为

，且

.

（1）求

的值及数列的通项公式；

（2）求证：

；

（3）是否存在非零整数，使不等式

对一切都成立？若存在，求出

的值；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分14分）

设g(x)?ex，f(x)?g[?x?(1??)a]??g(x)，其中a,?是常数，且0???1． （1）求函数f(x)的单调递增区间；

ex?1（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式?1?a成立；

x（3）设?1,?+2?R，且?1??2?1，

证明：对任意正数a?11,a2都有：a1a?22??1a1??2a2．

中山市实验中学2013—2014学年度高三数学（理科）答案

题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 A 5 B 6 B 7 D 8 B

9. ?160； 10. 68 ； 11. 57； 12. 32 ；

13. 10 , 30 ； 14. ?cos??

3 15. 23. 216．（本小题满分12分）． （1） f（x）的解析式是 解：（2）==； （6分） ．（12分） 17．解：（1）记“厂家任取3件产品检验，恰有2件是合格品”为事件A 则P（1-0.8）=3?0.82?0.2=0.384 …………（5分） ?A??C32?(0.8)2?（2）?可能的取值为0,1,2 ………………………………（6分）

112C8228C2C816C21P???0??2??P??2??，P???1??，………（9分） ??22C1045C1045C1045所以，?的分布列为（略） …………………………（10分）

E??0?281612?1??2?? ………………………………（12分） 4545455DE?AE2?AC2?CE2，18.解：（1）AC?2AE?2，CE?5，即AE?AC；

又，AE?AB,AB?AC?C；?AE?平面ABC；

ACAE?平面ABDE；?平面ABDE?平面ABC…（4分）

MB（2）解法一：(解题思路)连接DM,可证得ＤＭ?平面ＣＭＥ，过Ｍ作ＭＦ?ＣＥ交ＣＥ于点Ｆ，连接ＤＦ，则?ＤＦＭ即为二面角D?CE?M的平面角。 计算得：DM?6,MF?66MF6。?cos?DFM?………（9分） ?,DF?DF655解法二：以Ｃ为原点，ＣＡ，ＣＢ分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系。 计算得，平面CDE的法向量m?(1,2,?2)；平面CEM的法向量n?(1,?1,?2)。

cos?m,n???66，所以，二面角D?CE?M的余弦值为 。

66解法三：以M为原点，MB，MC分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系。

计算得，平面CDE的法向量m?(?1,3,22)；平面CEM的法向量n?(1,0,2)。

cos?m,n??（3）VD?CME??66，所以，二面角D?CE?M的余弦值为 。

661111?S?CMEMD???MC?ME?MD??2?3?6?1……（14分） 3326（此题还有其它正确做法，请酌情给分）

a219．解：（1）?b?2,A(,0)----------------------------------（1分）

ca2?c)，即c2?2b2,?c2?4--------(2分) 而OF?2FA ，?c?2(cx2y2c6?a?6 ?椭圆方程为-----（4分） ??1,e??62a32（2）设PQ与椭圆交于P?x1,y1?,Q?x2,y2?，PQ方程为y?k?x?3?---------（6分） ?OP?OQ?0 ?OP?OQ-----------(7分)

?y1y2???1 把y?k?x?3?代入x2?3y2?6?0 x1x2

x2?3k2?x?3??6?0

2 ---------(8分)

??18k2x1?x2??2?1?3k2222 ----------（9分） 1?3kx?18kx?27k?6?0 ?2?x?x?27k?612?1?3k2??27k2?618k227k2?6?3?9)?? k?x1?3??k?x2?3???x1x2 k(1?3k21?3k21?3k2227k2?6?54k2?27k2?96?27k222k??3k?6?27k -------(11分) 221?3k1?3k2k2?1 5

?k??5---------------------------(12分) 55?x?3?.-----（14分） 5? 直线PQ的方程为y??a1(a1?2)，解得a1?2或a1?0（舍去）．……1分 4a(a?2)an?1(an?1?2)当n?2时，由an?Sn?Sn?1?nn?an2?an?12?2(an?an?1)， ?44∵an?0，∴an?an?1?0，则an?an?1?2，

20．（1） 当n?1时，a1?S1?∴?an?是首项为2，公差为2的等差数列，故an?2n． ………………4分 另法：易得a1?2,a2?4,a3?6，猜想an?2n，再用数学归纳法证明(略)．

11111111?[?](n?2) ????3322an(2n)8n?n8n(n?1)8(n?1)n(n?1)16(n?1)nn(n?1)11111111∴当n?2时，3?3?3??3?3?3?3??

a1a2a3an246(2n)311111111?3?[(?)?(?)???] 2161?22?32?33?4(n?1)nn(n?1)11111115??[?]????. 8162n(n?1)816232115当n?1时，不等式左边?3??显然成立. ……………… 9分

a1832?an?1（3）由an?2n，得cos?cos(n?1)??(?1)n?1，

2（2）

设bn?1(1?11)(1?)?a1a2?(1?1)an?1an，则不等式等价于(?1)n?1??bn.

an?1bn?12n?12n?24n2?8n?4?????121?bn??(2n?1)(2n?3)1?4n?8n?31?2n?31?a?1????n?1?2n?2??an?1? ∵bn?0，∴bn?1?bn，数列?bn?单调递增. …………………… 11分

假设存在这样的实数?，使得不等式(?1)n?1??bn对一切n?N*都成立，则 ① 当n为奇数时，得??(bn)min?b1?② 当n为偶数时，得???(bn)min综上，??(?23； ……12分 38585，即???. ……13分 ?b2?15158523,)，由?是非零整数，知存在???1满足条件．… 14分 15321．（本题满分14分）

解析：（1）f(x)?g[?x?(1??)a]??g(x)?e?x?(1??)a??ex，-----------1分 所以，

f?(x)??e?x?(1??)a??ex， -----------------2分

?x?(1??)a由f?(x)?0得，?e??ex?0

∴?x?(1??)a?x，即(1??)(x?a)?0，解得x?a ---------------3分 故函数f(x)的单调递增区间是(??,a) -----------------4分

ex?1ex?x?1（2）∵， ?1?xx又当x?0时，令h(x)?e?x?1，则h?(x)?e?1?0，

xx故h(x)?h(0)?0，

ex?x?1?a，即ex?(1?a)x?1?0，----------------6分 因此原不等式化为

xxx令p(x)?e?(1?a)x?1，则p?(x)?e?(1?a)，

x由p?(x)?0得：e?1?a，解得x?ln(1?a)，

当0?x?ln(1?a)时，p?(x)?0；当x?ln(1?a)时，p?(x)?0．

故当x?ln(1?a)时，g(x)取最小值p[ln(1?a)]?a?(1?a)ln(1?a)，-----8分

令s(a)?11aa?ln(1?a),a?0，则s?(a)?????0． 1?a(1?a)21?a(1?a)2故s(a)?s(0)?0，即p[ln(1?a)]?a?(1?a)ln(1?a)?0．

因此，存在正数x?ln(1?a)，使原不等式成立． -------------10分 （3）对任意正数a1,a2，存在实数x1,x2使a1?ex1，a2?ex2，

?1?2则a1a2?e?1x1?e?2x2?e?1x1??2x2，?1a1??2a2??1ex1??2ex2， ?1?2原不等式a1a2??1a1??2a2?e?1x1??2x2??1ex1??2ex2，

?g(?1x1??2x2)??1g(x1)??2g(x2) ---------------12分

由（1）可得f(x)?(1??)g(a)恒成立， 故g[?x?(1??)a]??g(x)?(1??)g(a)，

取x?x1,a?x2,???1,1????2，即得g(?1x1??2x2)??1g(x1)??2g(x2)， 即e?1x1??2x2??1ex1??2ex2，故所证不等式成立． -----------------14分

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