2013年北京昌平区高三二模理科数学试题

昌平区2013年高三二模数学试卷（理科）

2013.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)

（1）已知集合A?{x|2x?1}，B?{x|x?1}，则A?B?

A. {x|x?1} B. {x|x?0} C. {x|0?x?1} D. {x|x?1} （2）已知命题 p:?x?R，x≥2，那么下列结论正确的是

A. 命题?p:?x?R，x≤2 B．命题?p:?x?R，x?2 C．命题?p:?x?R，x≤?2 D．命题?p:?x?R，x??2 (3)圆x?(y?2)?1的圆心到直线?22?x?3?t,（t为参数）的距离为

?y??2?tA. 2 B.1 C.2 D. 22 2(4)设??x?y?0,与抛物线y2??4x的准线围成的三角形区域（包含边界）为D，P(x,y)?x?y?0为D内的一个动点，则目标函数z?x?2y的最大值为

A. ?1 B. 0 C. 2 D. 3

(5) 在区间?0,??上随机取一个数x，则事件“tanxgcosx?1”发生的概率为 21123A. B. C. D.

3234(6) 已知四棱锥P?ABCD的三视图如图所示， 则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 A．3 B．25 C．6 D．8

俯视图24正视图222侧视图33

1

（7）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，?BAD?60，E为CD的中点，

?DEC????????则AE?BD的值为

AB A．1 B．3 C．5 D．7

(8)设等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1?1，

a99a100?1?0，

a99?1?0.给出下列结论：

a100?1① 0?q?1； ② a99?a101?1?0；

③ T100的值是Tn中最大的；④ 使Tn?1成立的最大自然数n等于198. 其中正确的结论是

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

3（9）二项式(2x?)的展开式中x的系数为___________.

1x5（10）双曲线x?2y?1(b?0)的一条渐近线方程为y?3x，则2bDECOA2Bb? .

（11） 如图，AB切圆O于点A,AC为圆O的直径，

BC交圆O于点D，E为CD的中点，且

2

BD?5,AC?6,则CD?__________； AE?__________.

（12）执行如图所示的程序框图，

开始 若①是i?6时，输出的S值为 ；

若①是i?2013时，输出的S值为 .

i?1,S?0?4(x?4)?1?,f(x)?（13）已知函数 ?x??log2x,(0?x?4)若关于x的方程f(x)?k有两个不同的实根，则实数

ai?cosi??12i?i?1 是 S?S?ai ① 否 k的取值范围是 .

（14）曲线C是平面内到直线l1:x??1和直线

输出S 结束 图1

l2:y?1的距离之积等于常数k2?k?0?的点的轨迹.给出下列四个结论：

①曲线C过点(?1,1)； ②曲线C关于点(?1,1)对称；

③若点P在曲线C上，点A,B分别在直线l1,l2上，则PA?PB不小于2k.

④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线x??1、点(?1,1)及直线y?1对

2称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0PP12P3的面积为定值4k.

其中，所有正确结论的序号是 .

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）

已知函数f(x)?sin(??2x)?23cos2x,x?R.

3

（Ⅰ）求f()；

?6（Ⅱ）求f(x)的最小正周期及单调递增区间.

（16）（本小题满分14分）

如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形, 侧面PAD?底面ABCD，且PA?PD?2AD, 2PDAFBECE、F分别为PC、BD的中点． (Ⅰ) 求证：EF //平面PAD； (Ⅱ) 求证：面PAB?平面PDC；

(Ⅲ) 在线段AB上是否存在点G,使得 二面角C?PD?G的余弦值为

1？说明理由. 3

（17）（本小题满分13分）

某市为了提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，对市民进行了“生活满意”度的调查．现随机抽取40位市民，对他们的生活满意指数进行统计分析，得到如下分布表： 满意级别 非常满意 满意指数（分） 90 满意 60 一般 30 不满意 0 15 17 6 2 人数（个）

（I）求这40位市民满意指数的平均值；

（II）以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数，若从全市市民（人数很多）中任选3人，记?表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数．求?的分布列；

（III）从这40位市民中，先随机选一个人，记他的满意指数为m，然后再随机选另一个人，记他的满意指数为n，求n?m?60的概率．

（18）（本小题满分13分）

4

已知函数f(x)?12x?alnx(a?0). 2（Ⅰ）若a?2,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)在区间[1,e]上的最小值；

（III）若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，求a的取值范围.

（19）（本小题满分13分）

yMNPA FOHlBxx2y2如图，已知椭圆2?2?1(a?b?0)的长

ab轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率e?Q3，F为椭圆的左焦点，且2 .

AF?BF?1（I）求此椭圆的方程；

（II）设P是此椭圆上异于A,B的任意一点，PH?x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP?PQ. 连接AQ并延长交直线l于点M,N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

（20）（本小题满分14分）

设数列{an}对任意n?N都有(kn?b)(a1?an)?p?2(a1?a2??an)(其中k、b、

*p是常数) ．

（I）当k?0，b?3，p??4时，求a1?a2?a3???an；

（II）当k?1，b?0，p?0时，若a3?3，a9?15，求数列{an}的通项公式； （III）若数列?an?中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭

5

数列”.当k?1，b?0，p?0时，设Sn是数列?an?的前n项和，a2?a1?2，试问：是否存在这样的“封闭数列” ?an?，使得对任意n?N*，都有Sn?0，且

1111111．若存在，求数列?an?的首项a1的所有取值；???????12S1S2S3Sn18若不存在，说明理由．

6

参考答案及评分标准

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．) 题 号 答案 （1） C （2） B （3） A （4） D （5） C （6） C （7） A （8） B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） （9）80 （10）3 （11）4 ；26 （12）5；2013 （13）(1, 2) （14） ②③④

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

（15）(本小题满分13分) 解：

（

Ⅰ

）

??f(x)?sin(??2x)?23cos2x?sin2x?3cos2x?3?2sin(2x?)?3..4分

3???3 ?f()?2sin(?)?3?2??3?23..6分

6332?2???.??????????8分 （Ⅱ）f(x)?2sin(2x?)?3的最小正周期T?32???5???x?k??(k?Z)可得 又由2k???2x??2k???k??23212125???? 函数f(x)的单调递增区间为?k??,k???(k?Z).???13分

1212??

（16）(本小题满分14分)

(Ⅰ)证明：连结AC?BD?F，

ABCD为正方形，F为AC中点， E为PC中点.

∴在?CPA中，EF//PA ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分

且PA?平面PAD，EF?平面PAD ∴EF//平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 (Ⅱ)证明：因为平面PAD?平面ABCD， 平面PAD?面ABCD?AD

ABCD为正方形，CD?AD，CD?平面ABCD 所以CD?平面PAD.

7

∴CD?PA ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

又PA?PD?且?APD?2AD，所以?PAD是等腰直角三角形， 2 即PA?PD

?2 CD?PD?D，且CD、PD?面PDC

?PA?面PDC

又PA?面PAB，

∴面PAB?面PDC.????..9分 (Ⅲ) 如图,取AD的中点O, 连结OP,OF. ∵PA?PD, ∴PO?AD. ∵侧面PAD?底面ABCD,

zPDOAxGFBECy平面PAD?平面ABCD?AD,

∴PO?平面ABCD,

而O,F分别为AD,BD的中点,∴OF//AB, 又ABCD是正方形,故OF?AD. ∵PA?PD?2AD,∴PA?PD,OP?OA?1. 2以O为原点,直线OA,OF,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则有A(1,0,0),F(0,1,0),D(?1,0,0),P(0,0,1). 若在AB上存在点G,使得二面角C?PD?G的余弦值为设G(1,a,0)(0?a?2).

1 ，连结PG,DG. 3????由(Ⅱ)知平面PDC的法向量为PA?(1,0,?1).

?????????设平面PGD的法向量为n?(x,y,z).∵DP?(1,0,1),GD?(?2,?a,0),

???????????x?0?y?z?02∴由n?DP?0,n?GD?0可得?,令x?1,则y??,z??1,

a??2?x?a?y?0?z?0

8

???????????2n?PA故n?(1,?,?1)∴cos?n,PA????????anPA22?2?4a2?1?, 42?23a2解得，a?1. 2所以，在线段AB上存在点G(1,,0),使得二面角C?PD?G的余弦值为 .．．．．．．．．．．．．．14分

（17）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）记X表示这40位市民满意指数的平均值，则

121. 3X?1(90?15?60?17?30?6?0?2)?63.75（分）…………………2分 40（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3.

104013P(??0)?C3()()?55125

1214112 P(??1)?C3()()?551254148P(??2)?C32()2()1?55125

6434310 P(??3)?C3()()?55125?ξ的分布列为 ξ P 0 1 2 3 1 12512 1254864 125125?????8分

（Ⅲ）设所有满足条件n?m?60的事件为A

1①满足m?0且n?60的事件数为：A21A17?34 1②满足m?0且n?90的事件数为：A21A15?30 1③满足m?30且n?90的事件数为：A61A15?90

?P(A)?34?30?9077? 2A40780

9

所以满足条件n?m?60的事件的概率为

（18）（本小题满分13分） 解：（I）a?2,f(x)?77.……………………13分 780122x?2lnx,f'(x)?x?, 2x1f'(1)??1,f(1)?,

2f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x?2y?3?0.………………………..3分

ax2?a. （Ⅱ）由f'(x)?x??xx由a?0及定义域为(0,??)，令f'(x)?0,得x?a.

①若a?1,即0?a?1,在(1,e)上，f'(x)?0，f(x)在[1,e]上单调递增， 因此,f(x)在区间[1,e]的最小值为f(1)?1. 2②若1?a?e,即1?a?e2,在（1,a)上，f'(x)?0，f(x)单调递减；在（a,e)上，

f'(x)?0，f(x)单调递增，因此f(x)在区间[1,e上的最小值为f(a)?1a(1?lna). 2③若a?e,即a?e2,在(1,e)上，f'(x)?0，f(x)在[1,e]上单调递减， 因此,f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(e)?综上，当0?a?1时，fmin(x)?2当a?e时，fmin(x)?12e?a. 2112；当1?a?e时，fmin(x)?a(1?lna)； 2212e?a. ……………………………….9分 22(III) 由（II）可知当0?a?1或a?e时，f(x)在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.

当1?a?e时，要使f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，则

2

10

?1?2a(1?lna)?0,??a?e112??e?a?e. ∴?f(1)??0, 即?，此时，1222a?e???212?f(e)?e?a?0,?2?所以，a的取值范围为(e,12e).…………………………………………………………..13分 2（19）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题意可知，A(?a,0), B(a,0)，F(?c,0)， AFgBF?(a?c)(a?c)?1

?a2?c2?b2?1

c2a2?b2a2?1332?2? ，解得a2?4 又e?， e?2?2aaa42x2?y2?1…………………………5分 所求椭圆方程为4 （Ⅱ）设P(x0,y0)，则Q(x0,2y0)(x0?2,x0??2)

由A(?2,0),得kAQ?2y0 x0?22y0(x?2) x0?2所以直线AQ方程y?由B(?2,0),得直线l的方程为x?2,

?M(2,8y04y0) ?N(2,) x0?2x0?2 由 kNQ4y0?2y0x0?22xy??200

2?x0x0?422又点P的坐标满足椭圆方程得到：x0+4y0?4 ，

11

所以 x02?4??4y02 kNQ?2x0y02x0y0x0 ???x02?4?4y022y0x0(x?x0) 2y0 ?直线NQ的方程：y?2y0??化简整理得到：x0x?2yy0?x02?4y02?4 即x0x?2yy0?4 所以点O到直线NQ的距离d?4x0+4y022?2?圆O的半径

?直线NQ与AB为直径的圆O相切.……………………………………. 13分

（20）（本小题满分14分）

解：（I）当k?0，b?3，p??4时，

3(a1?an)?4?2(a1?a2??an)， ①

用n?1去代n得，3(a1?an?1)?4?2(a1?a2??an?an?1)， ②

②—①得，3(an?1?an)?2an?1，an?1?3an，???????????2分 在①中令n?1得，a1?1，则an?0，∴

an?1?3， an∴数列{an}是以首项为1，公比为3的等比数列，

3n?1∴a1?a2?a3???an=???????????????????.4分

2（II）当k?1，b?0，p?0时，n(a1?an)?2(a1?a2??an)， ③ 用n?1去代n得，(n?1)(a1?an?1)?2(a1?a2??an?an?1)， ④

④—③得， (n?1)an?1?nan?a1?0， ⑤. 用n?1去代n得，nan?2?(n?1)an?1?a1?0， ⑥

⑥—⑤得，nan?2?2nan?1?nan?0，即an?2?an?1?an?1?an，. ∴数列{an}是等差数列.∵a3?3，a9?15，

12

∴公差d?a9?a3?2，∴an?2n?3????????????????9分 9?3（III）由（II）知数列{an}是等差数列，∵a2?a1?2，∴an?a1?2(n?1). 又?an?是“封闭数列”，得：对任意m,n?N*，必存在p?N*使

a1?2(n?1)?a1?2(m?1)?a1?2(p?1)，

得a1?2(p?m?n?1)，故a1是偶数， ············· 10分 又由已知，

18181111?a1?12.一方面，当?a1?12时，，故??111112S118?0，对任意n?N*，都有Sn?n(n?1a?1)111111???????. S1S2S3SnS112另一方面，当a1?2时，Sn?n(n?1)，则

11111， ??????1?S1S2S3Snn?1111， ??Snnn?1取n?2，则

111211??1???，不合题意. S1S233181111?(?)，则 Sn3nn?3当a1?4时，Sn?n(n?3)，

111111111111， ???????(??)?S1S2S3Sn183n?1n?2n?318当a1?6时，Sn?n(n?a1?1)?n(n?3)，

1111?(?)， Sn3nn?3111111111111???????(??)?， S1S2S3Sn183n?1n?2n?318又

18?a1?12，∴a1?4或a1?6或a1?8或a1?10?????????.14分 11

13

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